5.1 任意角和弧度制及三角函数的概念-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

该高中数学高考复习讲义围绕任意角和弧度制及三角函数概念核心考点，按“概念定义-公式应用-综合判断”逻辑梳理知识，通过考点清单梳理、解题方法指导、真题例题精讲及分层针对训练，帮助学生构建从基础概念到实际应用的认知链条，突破终边相同角判断、扇形面积最值等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维与数学语言培养，创新采用“分类讨论突破象限角判断”“函数思想解决扇形面积最值”等策略，如例题中通过对k值分类讨论确定角的象限，训练学生逻辑推理能力。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升三角函数综合应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第一节　任意角和弧度制及三角函数的概念 1．任意角 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着__端点__从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的分类：按旋转方向分为__正__角、__负__角、__零__角． (3)与角α终边相同的角的集合：S＝{β|β＝　α＋k·360°，k∈Z　}． 2．弧度制 (1)弧度角：把长度等于__半径__长的弧所对的圆心角称为__1弧度的角__． (2)度与弧度的换算：180°＝__π__rad，1°＝rad，1 rad＝度． (3)扇形的弧长和面积公式： 设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝__Rα__，S＝　lR　. 3．任意角的三角函数 (1)终边与单位圆交点P(x，y)，sin α＝__y__；cos α＝__x__，tan α＝　　(x≠0)． (2)任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么：sin α＝　　，cos α＝　　，tan α＝　　(x≠0)． 1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．若α∈，则tan α>α>sin α. 4．象限角的集合 5．特殊角的三角函数值 α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π sin α 0 1 0 －1 0 cos α 1 0 － － － －1 0 1 tan α 0 1 不存 在 － －1 － 0 不存 在 0 　象限角与终边相同的角 若角α是第二象限角，则是(　　) A．第一象限角　　 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【解析】　因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， 所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z. 当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角． 所以是第一或第三象限角． 【答案】　C 1．终边相同的角的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需角． 2．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 3．求或nθ(n∈N*)所在象限的方法 (1)将θ的范围用含有k的不等式表示． (2)两边同时除以n或乘n. (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． [提醒]　注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在的直线上的角． [针对训练] 1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为__－675°和－315°__. 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)， 得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)， 解得－≤k<－(k∈Z)， 从而k＝－2和k＝－1， 代入得β＝－675°和β＝－315°. 　弧度制、扇形的弧长及面积公式 已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解】　(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)． (2)由已知得，l＋2R＝20， 则l＝20－2R,0<R<10， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10 cm，α＝2 rad. 弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)． (2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒]　运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度． [针对训练] 2．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是(　A　) A．4 B．2 C．8 D．1 解析：设扇形的弧长为l，则l·2＝8，即l＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为＝4.故选A. 　三角函数的定义及其应用 角度一　利用三角函数定义求值 (1)函数y＝loga(x－3)＋2(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sin α＋cos α的值为(　　) A. B. C. D. (2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则tan α＝________. 【解析】　(1)因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝2，所以sin α＝，cos α＝，所以sin α＋cos α＝＋＝.故选D. (2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，所以cos α＝＝－，即x＝， 所以P，所以tan α＝. 【答案】　(1)D　(2) 三角函数的定义中常见的三种题型及 解决方法 (1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值 方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题． (3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值 方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解． 角度二　判断三角函数值的符号 若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】　由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C. 【答案】　C 三角函数值的符号及角的位置的判断 已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况． [针对训练] 3．(2025·江西九江一模)若sin x<0，且sin(cos x)>0，则角x是　(　D　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：因为－1≤cos x≤1，且sin(cos x)>0，所以0<cos x≤1，又sin x<0，所以角x为第四象限角，故选D. 4．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　A　) A. B. C. D. 解析：由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝. 所以Q点的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $