4.1 导数的概念及运算-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第一节　导数的概念及运算 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝　　无限趋近于一个__常数A__，则称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0) 记法 当Δx→0时，　　→__A__ 几何 意义 是曲线y＝f(x)在点__(x0，f(x0))__处的__切线斜率__，相应的切线方程为__y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__. 2.函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝　 　为f(x)的导函数． 函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 3．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__0__ f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝__nxn－1__ f(x)＝sin x f′(x)＝__cos_x__ f(x)＝cos x f′(x)＝__－sin_x__ f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝__axln_a__ f(x)＝ex f′(x)＝__ex__ f(x)＝loga x (x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝　　 f(x)＝ln x(x>0) f′(x)＝　　 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；周期函数的导数还是周期函数． 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__． (4)′＝　(g(x)≠0)　. 5．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__y′u·u′x__ 　导数的计算 (多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x 【解析】　对于A，y＝cos，则y′＝sin，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误，对于D，y＝xsin 2x，则y′＝sin 2x＋xcos 2x，故错误． 【答案】　ACD 函数求导应遵循的原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． [提醒]　当函数解析式中含有待定系数(例如f′(x0)，a，b)等)，求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可． [针对训练] 1．(多选)下列求导运算不正确的是(　ABC　) A.′＝x B．(x2ex)′＝2x＋ex C．(xcos x)′＝－sin x D.′＝1＋ 解析：对于A：′＝－·(ln x)′＝－， 对于B：(x2ex)′＝(x2＋2x)ex， 对于C：(xcos x)′＝cos x－xsin x， 对于D：′＝1＋.故选ABC. 　导数的几何意义 角度一　求切线方程 (1)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________． (2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________． 【解析】　(1)因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x. (2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，所以设切点为(x0，y0)． 又因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x. 所以由 解得x0＝1，y0＝0. 所以直线l的方程为y＝x－1， 即x－y－1＝0. 【答案】　(1)y＝3x　(2)x－y－1＝0 求曲线切线方程的步骤 (1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率． (2)由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． [注意]　“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点． 角度二　求切点坐标 若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________． 【解析】　设切点P的坐标为(x0，y0)， 因为y′＝ln x＋1， 所以切线的斜率k＝ln x0＋1， 由题意知k＝2，得x0＝e， 代入曲线方程得y0＝e. 故点P的坐标是(e，e)． 【答案】　(e，e) 求切点坐标的思路 (1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标。 (2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标，列出切线方程，将切点代入曲线方程，已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标． 角度三　已知切线方程求参数 (2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________. 【解析】　由题，令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g′(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln＋a，所以a＝ln 2. 【答案】　ln 2 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 提醒　(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． [针对训练] 2．已知函数y＝x2与y＝ln x＋a的图象在交点处有公共的切线，则a＝(　A　) A. B. C．1＋ D．1－ 解析：函数y＝x2与y＝ln x＋a的导函数分别为y′＝2x，y′＝.设切点的横坐标为t(t>0)， 则解得a＝.故选A. 3．已知函数f(x)＝e2x，则过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为__2ex－y＝0__. 解析：设切点坐标为(t，e2t)， 因为f(x)＝e2x，所以f′(x)＝2e2x，f′(t)＝2e2t，则曲线y＝f(x)在点(t，e2t)处的切线方程为y－e2t＝2e2t(x－t)． 由于该直线过原点，故－e2t＝－2te2t，得t＝，则过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝2ex，即2ex－y＝0. 4．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝__4__． 解析：设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为(x0，ex0＋x0＋a)，由y＝ex＋x＋a得y′＝ex＋1，所以y′|x＝x0＝ex0＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为(0，1＋a)，又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $