3.8 函数的应用-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第八节　函数的应用 第一课时　函数的零点与方程的解、二分法 1．函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使__f(x)＝0__的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__． 2．函数零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且__f(a)·f(b)＜0__，那么函数y＝f(x)在区间__(a，b)__内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋ bx＋c(a＞0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 两个 一个 无 　函数零点及其所在区间的判断 (一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【解析】　法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内． 法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B. 【答案】　B 判断函数零点所在区间的方法 方法 解读 适合题型 定理法 利用函数零点存在性定理进行判断 能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负 图象法 画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 容易画出函数的图象 [针对训练] 1．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　D　) A．[0,1] B．[1,2] C．[－2，－1] D．[－1,0] 解析：因为f(x)＝3x－x2，所以f(－1)＝3－1－1＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.故选D. 　确定函数的零点个数 (一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】　法一(方程法)：由f(x)＝0， 得或 解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．故选B. 法二(图象法)：函数f(x)的图象如图所示， 由图象知函数f(x)共有2个零点．故选B. 【答案】　B 判断函数零点个数的3种方法 (1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点． (3)图象法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． [针对训练] 2．已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为(　C　) A．0　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 解析：当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.故选C. 　函数零点的应用 (1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C. D. (2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是______． 【解析】　(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.故选D. (2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1. 【答案】　(1)D　(2)[－1，＋∞) 由函数零点个数或所在区间求参数的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围 分离参数法 先将参数分离，然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决 数形结合法 将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解 [针对训练] 3．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　C　) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 解析：由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内， 所以即解得0<a<3， 故选C. 4．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是__(0,1)__． 解析：画出函数f(x)＝的图象，如图所示． 由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0<m<1，即m∈(0,1)． 5．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是　　. 解析：因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解． 方程a＝4x－2x可变形为a＝2－， 因为x∈[－1,1]，所以2x∈，所以2－∈. 所以实数a的取值范围是. 第二课时　函数模型及其应用 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性 __增函数__ __增函数__ __增函数__ 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与__y轴__接近平行 随x值增大，图象与__x轴__接近平行 随n值变化而不同 “对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质 (1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减． (2)当x>0时，x＝时取最小值2； 当x<0时，x＝－时取最大值－2. 　利用函数图象刻画实际问题 (2025·广东广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) 【解析】　水位由高变低，排除C、D.半缸前水位下降速度先快后慢，半缸后水位下降速度先慢后快，故选B. 【答案】　B 判断函数图象与实际问题变化 过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案． [针对训练] 1．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　D　) A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多 C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对． 　已知函数模型求解实际问题 大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R(元)与门面经营天数x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，该门面经营的天数是________． 【解析】　由题意，总利润y＝ 当0≤x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，所以当x＝300时，ymax＝25 000； 当x>400时，y＝60 000－100x<20 000. 综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元． 【答案】　300 求解已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． [针对训练] 2．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 60 100 180 种植成本Q 116 84 116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt. 利用你选取的函数，求： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__120__； (2)最低种植成本是__80__元/100 kg. 解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得 解得 所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg. 　建立函数模型解决实际问题 角度一　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元， 依题意得，当0<x<8时， L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3； 当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－. 所以L(x)＝ (2)当0<x<8时，L(x)＝－(x－6)2＋9. 此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元．当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2 ＝35－20＝15，当且仅当x＝时等号成立，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 即： [提醒]　(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域． (2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件． 角度二　构建指数、对数函数模型 (1)(2025·广西桂林一模)一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变．若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是(　　) A．6 B．5 　C．4 D．3 (2)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍． 【解析】　(1)设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y，则有y＝x.依题意得x≤，整理得22x≥100，解得x≥4，所以至少需要的年数是4，故选C.(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109；5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104.故9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍． 【答案】　(1)C　(2)6　10 000 指数型、对数型函数模型 (1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． (2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义． [针对训练] 3．某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元，该养殖场__10__天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． 解析：设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元． 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417，当且仅当＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． 学科网（北京）股份有限公司 $