3.7 函数的图象-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第七节　函数的图象 1．利用描点法作函数的图象的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)化简函数的解析式． (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)． (4)描点连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换： y＝f(x)y＝__f(x－a)__； y＝f(x)y＝__f(x)＋b__. (2)伸缩变换： y＝f(x)y＝__Af(x)__． (3)对称变换： y＝f(x)y＝__－f(x)__； y＝f(x)y＝__f(－x)__； y＝f(x)y＝__－f(－x)__． (4)翻折变换： y＝f(x)y＝__f(|x|)__； y＝f(x)y＝__|f(x)|__. 　作函数的图象、函数图象的识别与辨析 作出下列函数的大致图象． (1)y＝；(2)y＝|x＋1|； (3)y＝|log2x－1|；(4)y＝x2－2|x|－1. 【解】　(1)易知函数y＝的定义域为{x|x∈R且x≠－1}，y＝＝－1＋.由y＝的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y＝的图象，如图①所示． 　 (2)先作出y＝x，x∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y＝|x＋1|的图象，如图②所示． (3)先作出y＝log2x的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到y＝|log2x－1|的图象，如图③所示． 　 (4)y＝x2－2|x|－1＝的图象如图④所示． 作函数图象的一般方法 (1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出； (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响。 (2025·山东潍坊模拟)(多选)函数f(x)＝的图象可能是(　　) 【解析】　函数f(x)＝， 若a＝0，则f(x)＝＝，故C中图象可能； 若a>0，则函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝0，故B中图象可能； 若a<0，则x≠±，故A中图象可能， 故选A、B、C. 【答案】　ABC 辨别函数图象的策略 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． [针对训练] 1．(2025·湖北省部分重点中学4月联考)已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象大致是(　D　) 解析：先画出函数f(x)＝的图象，如图①所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)的图象，即g(x)的图象，如图②所示．故选D. 　函数图象的应用 角度一　研究函数的性质 对于函数f(x)＝lg(|x|＋1)，给出如下三个命题： ①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 【解析】　作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．故选B. 【答案】　B 对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： ①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性； ③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． 角度二　解不等式 函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为(　　) A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1) 【解析】　作出函数f(x)的图象如图所示． 当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．所以x∈(－1,0)∪(1,3)．故选C. 【答案】　C 利用函数的图象研究不等式的思路 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解． 角度三　求参数的取值范围 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．　 【解析】　画出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示． 由图可知，当0<k<1时，y＝k和y＝f(x)的图象有三个交点，即方程f(x)＝k有三个不同的实根． 【答案】　(0,1) 当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围． [针对训练] 2．(2025·福建厦门双十中学月考)(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，F(x)＝min{f(x)，g(x)}，则(　ABD　) A．F(x)是偶函数 B．方程F(x)＝0有三个不同的实根 C．F(x)在区间[－1,1]上单调递增 D．F(x)有4个单调区间 解析：根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个不同的实根，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在(－1, 0)上单调递减，在[0,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确。 3．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　B　) A.　　　　　　 B. C．(1,2) D．(2，＋∞) 解析：先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为.故选B. 4．函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为__(－3,0)∪(0,3)__． 解析：函数f(x)的图象大致如图所示． 因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]<0， 所以2xf(x)<0. 由图可知，不等式的解集为(－3,0)∪(0,3)． 学科网（北京）股份有限公司 $