3.6 对数、对数函数-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

该高中数学讲义聚焦对数与对数函数高考核心考点，按概念、性质、运算、函数图象与性质的逻辑层次架构知识体系，通过考点梳理（含换底公式、运算性质等）、方法指导（如对数式化简技巧）、真题训练（2024年全国甲卷等题解）等环节，帮助学生构建知识网络，突破运算与函数性质应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用“真题引领-方法提炼-分层落实”教学策略，如在对数函数性质应用中，通过对比a>1与0<a<1时的图象特征，结合2024天津卷比较大小题培养数学思维，设置基础巩固与能力提升训练落实核心素养。能有效提升学生解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力高效备考。

第六节　对数、对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝__logaN__，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质： ①＝__N__； ②logaab＝b(a>0，且a≠1)． (2)换底公式： logab＝(a，c均大于0且不等于1，b>0)． (3)对数的运算性质： 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝__logaM＋logaN__； ②loga＝__logaM－logaN__； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：__(0，＋∞)__ 值域：R 过定点__(1,0)__ 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是__增函数__ 在(0，＋∞)上是__减函数__ 4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称． 1．换底公式的三个重要结论 ①logab＝；②logambn＝logab； ③logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大． 　对数式的化简与求值 (2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________. 【解析】　根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64. 【答案】　64 1．在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并． 2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数，然后逆用对数的运算法则，化为同底对数真数的积、商、幂再运算． 3．ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化． [针对训练] 1．计算：＋2log31－3log77＋3ln 1＝__0__. 解析：原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 　对数函数的图象及其应用 (1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　) (2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为____________． 【解析】　(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数．又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称，因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B. (2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax， 当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在上的图象，可知，只需两图象在上有交点即可， 则f≥g， 即2≥loga，则a≤， 所以a的取值范围为. 【答案】　(1)B　(2) 1．在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． 2．常把一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [针对训练] 2．(2025·安徽亳州二模)在同一个平面直角坐标系中，函数f(x)＝与g(x)＝lg的图象可能是(　A　) 解析：由题意，a>0且a≠1，所以函数g(x)＝lg单调递减，故排除B、D； 对于A、C，由函数f(x)＝的图象可知0<a<1，对于函数g(x)＝lg，g(1)＝lg a<0，故A正确，C错误． 　对数函数的性质及其应用 角度一　比较对数值的大小 (2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c　　　　 B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 【解析】　由函数y＝4.2x单调递增可知，0<a<1<b，又c＝log4.20.2<0，故b＞a＞c，选B. 【答案】　B 比较对数值的大小的方法 角度二　解简单的对数不等式或方程 (一题多解)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f<f，则f>0的解集为(　　) A．(0,1) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 【解析】　法一：因为函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而<且f<f，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，结合对数函数的图象与性质可得f(2x－1)>0⇒2x－1>1，所以x>1.故选C. 法二：由f<f知loga<loga， 所以loga2－1<loga3－1， 所以loga2<loga3，所以a>1. 由f(2x－1)>0得loga(2x－1)>0， 所以2x－1>1，即x>1.故选C. 【答案】　C 解对数不等式的函数方法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式． 角度三　对数型函数的综合问题 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为0，求a的值． 【解】　(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1， 所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3， 即函数f(x)的定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3. 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在[1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是[1,3)． (2)若f(x)的最小值为0， 则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1， 因此应有解得a＝. 故实数a的值为. 解决对数函数性质的综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)． (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行． (3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性． [针对训练] 3．若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是(　C　) A．(0,1) B. C. D．(0,1)∪(1，＋∞) 解析：由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga 2a<0，所以0<a<1，且2a>1，所以a>.故a的取值范围是.故选C. 4．(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　BCD　) A．f(x)在(2,6)上单调递减 B．f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2 C．f(x)在(2,6)上无最小值 D．f(x)的图象关于直线x＝4对称 解析：f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，由得函数的定义域为(2,6)．令t＝(x－2)·(6－x)，因为二次函数t＝(x－2)(6－x)＝－x2＋8x－12在(2,4)上单调递增，在(4, 6)上单调递减，且当x＝4时，t＝4，所以t＝(x－2)(6－x)∈(0,4]．又函数y＝ln t在t∈(0,4]上单调递增，所以由复合函数的单调性可得f(x)在(2, 4)上单调递增，在[4, 6)上单调递减，故A错误．因为t∈(0,4]，所以y＝ln t∈(－∞，2ln 2]，即f(x)∈(－∞，2ln 2]，所以f(x)在(2, 6)上的最大值为2ln 2，无最小值，故B、C正确．因为f(4－x)＝ln(4－x－2)＋ln(6－4＋x) ＝ln (2－x)＋ln (2＋x)，f(4＋x)＝ln(4＋x－2)＋ln(6－4－x)＝ln(2＋x)＋ln(2－x)，所以f(4－x)＝f(4＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，故D正确．故选BCD. 5．已知函数f(x)＝loga(ax2－x)． (1)若a＝，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝时，f(x)＝ (x2－x)，由x2－x>0，得x2－2x>0，解得x<0或x>2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)． 利用复合函数单调性可得函数f(x)的增区间为(－∞，0)，减区间为(2，＋∞)． (2)令g(x)＝ax2－x，则函数g(x)的图象开口向上，对称轴为x＝. ①当0<a<1时，要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，则g(x)＝ax2－x在[2,4]上单调递减，且g(x)min>0，即此不等式组无解． ②当a>1时，要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，则g(x)＝ax2－x在[2,4]上单调递增，且g(x)min>0， 即解得a>. 又a>1，所以a>1. 综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $