3.5 指数、指数函数-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

该高中数学讲义聚焦指数与指数函数高考核心考点，按根式概念、分数指数幂运算、指数函数图象性质的逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理、方法提炼、真题精讲及分层训练，帮助学生系统掌握运算规律与函数性质，突破应用难点。 资料以数学思维培养为核心，创新采用“概念辨析-例题建模-规律总结”教学链，如通过指数函数单调性比较幂值大小，结合复合函数值域求解实例，提升学生抽象能力与解题效率。分层训练匹配高考难度，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应试能力。

第五节　指数、指数函数 1．根式的概念及性质 (1)概念：式子叫做　根式　，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂__没有意义__． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝__①ar＋s__(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝__ars__(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝__arbr__(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的定义、图象与性质 (1)定义：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 图象 a>1 0<a<1 图象特征 在x轴__上方__，过定点(0,1) 当x逐渐增大时，图象逐渐上升 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 R 值域 __(0，＋∞)__ 单调性 __单调递增__ __单调递减__ 函数值变化规律 当x＝0时，__y＝1__ 当x<0时，__0<y<1__； 当x>0时，__y>1__ 当x<0时，__y>1__； 当x>0时，__0<y<1__ 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1(两种情况)来研究． 　指数幂的化简与求值 (1)计算：－－2＋＋＝________. (2)化简的结果为________． (3)计算：－3π0＋＝________. (4)已知，则x2＋x－2＋3＝________. 【解析】　(1)原式＝－2＋＋＝－＋＋10＝10. (2)原式＝＝－6ab－1＝－. (3)原式＝－3＋ ＝＋100＋－3＋＝100. (4)由得x＋x－1＋2＝9， 所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49， 所以x2＋x－2＝47，所以x2＋x－2＋3＝50. 【答案】　(1)10　(2)－　(3)100　(4)50 [针对训练] 1．化简下列各式： 　指数函数的图象及应用 (1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　) (2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________． 【解析】　(1)函数f(x)＝21－x＝2×x，单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求． (2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]． 【答案】　(1)A　(2)(－∞，0] 应用指数函数图象的3个技巧 (1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. (2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除． (3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． [针对训练] 2．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　D　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.故选D. 　指数函数的性质及应用 角度一　比较指数幂的大小 已知则下列关系式中正确的是(　　) A．c<a<b B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 【解析】　把b化简为b＝，而函数y＝x在R上为减函数，又>>，所以，即b<a<c. 【答案】　B 比较指数幂大小的常用方法 一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底． 二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，然后得出大小关系． 三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小． 角度二　解简单的指数方程或不等式 不等式＋ax<2x＋a－2恒成立，则a的取值范围是________． 【解析】　由题意，y＝x是减函数， 因为<2x＋a－2恒成立， 所以x2＋ax>2x＋a－2恒成立， 所以x2＋(a－2)x－a＋2>0恒成立， 所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0， 即(a－2)(a－2＋4)<0， 即(a－2)(a＋2)<0， 解得－2<a<2，即a的取值范围是(－2,2)． 【答案】　(－2,2) 解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 角度三　研究指数型函数的性质 (1)函数f(x)＝的单调递减区间为________． (2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________． 【解析】　(1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝u在R上为减函数，所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]， 所以函数f(x)的减区间为(－∞，1]． (2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]． 【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4] 求指数型复合函数的单调区间和值域的方法 (1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域． (2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；当0<a<1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反． [针对训练] 3．函数y＝的值域是(　C　) A．(－∞，4) B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞) 解析：设t＝x2＋2x－1，则y＝t.因为0<<1，所以y＝t为关于t的减函数．因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0<y＝t≤－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．故选C. 4．已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1<bx<ax，则(　C　) A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 解析：因为x>0时，1<bx，所以b>1.因为x>0时，bx<ax，所以x>0时，x>1，所以>1，所以a>b.所以1<b<a.故选C. 5．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为__{x|x>4或x<0}__． 解析：因为f(x)为偶函数， 当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4. 所以f(x)＝ 当f(x－2)>0时，有或 解得x>4或x<0. 所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}． 学科网（北京）股份有限公司 $