3.4 幂函数与二次函数-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

该高中数学讲义聚焦幂函数与二次函数两大高考核心考点，按“定义-图象-性质-应用”逻辑层次梳理知识，通过表格对比二次函数性质、总结幂函数指数与图象关系等考点分析，结合3道典型例题的方法指导与真题训练，形成“梳理-讲解-练习”的系统复习链，针对性突破图象识别、解析式求解等难点。 资料以“数学思维”培养为核心，创新采用一题多解（如二次函数解析式的一般式、顶点式、零点式求法）和对比辨析（幂函数指数正负与单调性关系），设计基础巩固到能力提升的分层练习。通过图象特征分析、逻辑推理训练，帮助学生快速构建解题模型，既保障复习效率，又为教师把控复习节奏提供清晰路径，有效提升学生应考能力。

第四节　幂函数与二次函数 1．幂函数的图象与性质 (1)常见的5种幂函数的图象 (2)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内． 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 奇偶性 当__b＝0__时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 　　 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 　幂函数的图象与性质 (1)已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 (2)已知，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．c<a<b (3)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 【解析】　(1)设f(x)＝xα，由已知得α＝，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．故选A. (2)因为，由幂函数y＝在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C. (3)幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0，综上所述，故选D. 【答案】　(1)A　(2)C　(3)D 幂函数的指数与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式再判断． (3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. [提醒]　在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． [针对训练] 1．(多选)已知幂函数y＝xα(α∈R)的图象过点(2,8)，下列说法正确的是(　AD　) A．函数y＝xα的图象过原点 B．函数y＝xα是偶函数 C．函数y＝xα是单调减函数 D．函数y＝xα的值域为R 解析：因为幂函数y＝xα的图象过点(2,8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以y＝x3.函数y＝x3的图象过原点，所以A选项中说法正确；函数y＝x3是奇函数，所以B选项中说法错误；函数y＝x3在R上递增，所以C选项中说法错误；函数y＝x3值域为R，所以D选项中说法正确． 　二次函数的图象与解析式 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【解】　法一(利用一般式)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得 解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用顶点式)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.又根据题意函数有最大值8.所以n＝8， 所以f(x)＝a2＋8. 因为f(2)＝－1， 所以a2＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零点式)： 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8， 即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 所以所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下： [针对训练] 2．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1,11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是(　A　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以－＝1　①.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6　②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2，故选A. 　二次函数的性质及其应用 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)求使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数的实数a的取值范围； (2)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间． 【解】　(1)函数f(x)＝x2＋2ax＋3的图象的对称轴为直线x＝－＝－a， 要使f(x)在[－4,6]上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6. 故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (2)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3 ＝ 画出f(|x|)的图象(图略)． 所以f(|x|)的单凋递减区间是[－4，－1)和(0,1)，单调递增区间是[－1,0]和[1,6]． 1．二次函数单调性问题的求解策略 (1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解． (2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较． 2．求二次函数在闭区间上最值的三种类型及策略 (1)类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动． (2)策略：不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． [针对训练] 3．函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1,3]上为增函数的充要条件是(　D　) A．a＝0 B．a<0 C．0<a≤ D．a≥1 解析：当a＝0时，f(x)为减函数，不符合题意；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－2x＋3的图象的对称轴为x＝，要使f(x)在区间[1,3]上为增函数，则或解得a≥1.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $