3.3 函数的奇偶性、对称性与周期性-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性、周期性及性质综合应用核心考点，按定义、图象特点、常用结论的逻辑层次梳理知识，通过考点分析、方法指导、真题讲解等环节，帮助学生构建知识网络，突破判断奇偶性、周期性应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义采用一题多解与分层训练结合的教学策略，如通过奇函数求对称区间最值的两种方法培养数学思维，结合2024天津卷、2025全国一卷真题讲解提升数学语言表达能力。设置基础巩固与能力提升练习，助力学生高效掌握解题规律，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第三节　函数的奇偶性、对称性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于__y轴__对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有__(1)f(x＋T)＝f(x)__，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__最小__的正数，那么这个__最小__正数就叫做f(x)的最小正周期． 不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5. 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 　函数的奇偶性 角度一　判断函数的奇偶性 (2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 【解析】　对于A，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数．故选B. 【答案】　B 判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 ①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇； ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． [提醒]　对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数． 角度二　函数奇偶性的应用 (1)(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 (2)(2025·贵州贵阳检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(　　) A．2 B．4 C．－2 D．－4 (3)(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________． 【解析】　(1)因为f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)．所以f(x)是奇函数，－f(x)是奇函数，因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，f(x)|f(x)|是奇函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．故选ABC. (2)根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.故选C. (3)法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x. 又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－2＋， 所以当x<0时，函数f(x)的最大值为. 法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝2－，最小值为－.因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为. 【答案】　(1)ABC　(2)C　(3) 已知函数奇偶性可以解决的3个问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值． [针对训练] 1．(多选)下列函数是偶函数的是(　AD　) A．f(x)＝x2－cos x B．f(x)＝3x－ C．f(x)＝x2＋tan x D．f(x)＝x·ln(－x) 2．(2023·新课标Ⅱ卷，5分)若f(x)＝(x＋a)·ln为偶函数，则a＝(　B　) A．－1 B．0 C. D．1 解析：通解：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为∪，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B. 优解：因为f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，故选B. 　函数的周期性及其应用 (2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x, 则f(－)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【解析】　通解：当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x，所以f＝1－＝－.故选A. 光速解：f＝f＝f＝5－2×＝－. 【答案】　A 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性时证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． [针对训练] 3．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝__1__，f(20)＝　－　. 解析： 因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝－＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期T＝4. f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1. f(20)＝f(4×4＋4)＝f(4)＝f(2＋2) ＝－＝－＝－. 　函数性质的综合应用 角度一　单调性与奇偶性的综合问题 已知定义域为(－1,1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)<0，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，3) B．(3，) C．(2，4) D．(－2,3) 【解析】　由f(a－3)＋f(9－a2)<0得f(a－3)<－f(9－a2)．又由奇函数性质得f(a－3)<f(a2－9)．因为f(x)是定义域为(－1,1)的减函数，所以解得2<a<3.故选A. 【答案】　A 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． 角度二　周期性与奇偶性的综合问题 (2025·武昌区调研考试)(一题多解)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数y＝f(x－1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则f＝________. 【解析】　法一：因为f(x)是R上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期T＝4.因为0≤x≤1时，f(x)＝x3，所以f＝f＝f＝－f＝－f＝f＝－f＝－. 法二：因为f(x)是R上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)． 由题意知，当－1≤x<0时，f(x)＝x3，故当－1≤x≤1时，f(x)＝x3.当1<x≤3时，－1<x－2≤1，f(x)＝－(x－2)3， 所以f＝－3＝－. 【答案】　－ 函数性质综合应用的注意点 (1)函数单调性与奇偶性综合：注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性综合：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。 (3)周期性、奇偶性与单调性综合：解决此类问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． [针对训练] 4．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)(　B　) A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数 解析：由f(x)＝f(2－x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $