2.2 二次函数与一元二次方程、不等式-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第二节　二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实数根 x1，x2(x1<x2) 有两个相等实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 __{x|x>x2或x<x1}__ 　R　 ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集 __{x|x1<x<x2}__ __∅__ __∅__ 【知识拓展】 1．倒数性质的四个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．简单分式不等式 (1)≥0(≤0)⇔ (2)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． 3．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时，不要忘记讨论当a＝0时的情形． 4．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象确定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 　 一元二次不等式的解法 (1)已知函数f(x)＝则不等式f(x)>3的解集为________． (2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________． (3)解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)． 【解】　(1)由题意，得或解得x>1. 故填{x|x>1}． (2)由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0， 所以 解得 故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0， 解得x≥3或x≤2.故填{x|x≥3或x≤2}． (3)因为12x2－ax>a2， 所以12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－，x2＝. ①当a>0时，－<， 解集为； ②当a＝0时，x2>0， 解集为{x|x∈R，且x≠0}； ③当a<0时，－>， 解集为. 综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为. 1．解一元二次不等式的方法和步骤 2．解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式； (2)判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系； (3)确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式． [针对训练] 1．不等式≥－1的解集为　∪(5，＋∞)　. 解析：将原不等式移项通分得≥0， 等价于 解得x>5或x≤. 所以原不等式的解集为. 　 一元二次不等式恒成立问题 角度一　在R上恒成立问题 (2025·黑龙江大庆实验中学期中)若不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－2,2) D．(－2,2] 【解析】　当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；当a－2≠0，即a≠2时， 有 解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是(－2,2]． 【答案】　D 角度二　在给定区间上恒成立问题 设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于任意x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，则m的取值范围是________． 【解析】　f(x)<－m＋5可化为mx2－mx＋m－6<0，令g(x)＝mx2－mx＋m－6＝m2＋m－6，m≠0，x∈[1,3]．要使g(x)<0在[1,3]上恒成立，则g(x)在[1,3]上的最大值小于零． 当m>0时，易知g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，解得m<，则0<m<； 当m<0时，易知g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0， 解得m<6，所以m<0. 综上所述，m的取值范围是 . 【答案】　 角度三　给定参数范围的恒成立问题 对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． 【解】　f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4， 令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由题意知，在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零， 所以 解得x<1或x>3. 故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零． 1．一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法： (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)． (2)转化为函数的值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，n≤a. 2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． [针对训练] 2．若函数y＝的定义域为R，则m的取值范围是　　. 解析：要使y＝有意义，即mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立， 则解得m≥. 学科网（北京）股份有限公司 $