2.1 不等式性质与基本不等式-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第一节　不等式性质与基本不等式 1．两个实数比较大小的依据 (1)a－b>0⇔a>b. (2)a－b＝0⇔a＝b. (3)a－b<0⇔a<b. 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒__a>c__. (3)可加性：a＞b⇒a＋c__>__b＋c； a＞b，c＞d⇒a＋c__>__b＋d. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc， a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (5)可乘方：a＞b＞0⇒an__>__bn(n∈N，n≥1)． (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)． 3．基本不等式 (1)基本不等式成立的条件：__a>0，b>0__. (2)等号成立的条件：当且仅当__a＝b__. 基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab≤2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)． (2)a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)． 4．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则： (1)如果xy等于定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值　2　(简记：积定和最小)； (2)如果x＋y等于定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值　　(简记：和定积最大)． 三个重要的结论 (1)≥2. (2)＋≥2(ab>0)． (3)≤≤≤ (a>0，b>0)． 学习笔记：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 　 比较大小与不等式的性质 (1)(特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)若a＞0＞b＞－a，c<d<0，则下列结论：①ad＞bc；②＋<0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)．其中成立的个数是(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 【解析】　(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|； 当b>0时，由a>b有|a|>|b|， 所以a>b⇔a|a|>b|b|. 综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C. (2)因为a＞0＞b，c<d<0，所以ad<0，bc＞0，所以ad<bc，故①错误． 因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0， 因为c<d<0，所以－c＞－d＞0， 所以a(－c)＞(－b)(－d)， 所以ac＋bd<0， 所以＋＝<0，故②正确． 因为c<d，所以－c＞－d， 因为a＞b， 所以a＋(－c)＞b＋(－d)， 即a－c＞b－d，故③正确． 因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确．故选C. 【答案】　(1)C　(2)C 运用不等式的性质判断命题真假的策略 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． [针对训练] 1．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　BC　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0 C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a>b，c>d>0，则> 　 利用基本不等式求最值 角度一　配凑法求最值 (1)已知x>，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________． (2)已知0<x<1，则x(3－2x)的最大值为________． 【解析】　(1)因为x>，所以4x－5>0， 所以f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5. 当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号． (2)x(3－2x)＝·2x(3－2x)≤·2＝， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号． 【答案】　(1)5　(2) 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二　常数代换法求最值 (2025·东北三省四市教研联考)若a>0，b>0，a＋b＝2，则＋的最小值为________． 【解析】　法一：＋＝(a＋b)＝≥＝(3＋2)，当且仅当＝， 即a＝2－2，b＝4－2时，等号成立． 法二：＋＝＋＝＋＝＋＋＋1≥＋2＝， 当且仅当＝，即a＝2－2，b＝4－2时，等号成立． 【答案】　＋ 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． [针对训练] 2．已知函数f(x)＝＋x，则(　D　) A．f(x)有最小值 B．f(x)有最小值－ C．f(x)有最大值－ D．f(x)有最大值－ 解析：因为x<， 所以－x>0，f(x)＝＋x＝＋x－＋＝－＋≤－2＋＝－， 当且仅当＝－x，即x＝－时取等号，故f(x)有最大值－.故选D. 3．已知x>0，y>0且x＋y＝5，则＋的最小值为　　. 解析：令x＋1＝m，y＋2＝n， 因为x>0，y>0， 所以m>0，n>0， 则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8， 可以＋＝＋＝×(m＋n)＝≥·(2＋2)＝. 当且仅当＝， 即m＝n＝4时等号成立． 所以＋的最小值为. 　 基本不等式的实际应用 某国营企业集团公司现有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了激发内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润10万元(a>0)，剩余的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数a的取值范围是多少？ 【解】　(1)由题意，得10(1 000－x)(1＋0.2x%)≥10×1 000， 整理得x2－500x≤0， 解得0≤x≤500. 又x>0，x∈N*， 所以0<x≤500，x∈N*， 所以最多调整出500名员工从事第三产业． (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 10x万元，从事原来产业的员工创造的年总利润为10(1 000－x)万元． 则由题意知，当0<x≤500时，恒有10x≤10， 整理得a≤＋＋1在0<x≤500时恒成立． 因为＋≥2＝4， 当且仅当＝， 即x＝500时等号成立， 所以a≤5. 又因为a>0， 所以0<a≤5， 所以a的取值范围是(0,5]． 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； (4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [针对训练] 4．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m2的三级污水处理池，平面图如图所示，水池的深度为1 m．如果水池四周墙的建造费用为400元/m2，中间两道隔墙的建造费用为248元/m2，池底建造费用为80元/m2，水池的所有墙的厚度忽略不计，则最低总造价为__38_880元__． 解析：设污水处理池的宽为x(x>0)m，则长为 m， 则总造价y＝400×＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960＝1 296×＋12 960≥1 296×2＋12 960＝38 880. 当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时，等号成立． 故当长为16.2 m，宽为10 m时，总造价最低，为38 880元． 学科网（北京）股份有限公司 $