1.2 常用逻辑用语-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第二节　常用逻辑用语 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件 p是q的__充分不必要__条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的__必要不充分__条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的__充要__条件 p⇔q p是q的__既不充分也不必要__条件 p⇒/ q且q⇒/ p 不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题． 2．全称量词和存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词。用符号“__∀__”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“__∃__”表示． 3．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 存在量词命题 存在M中的元素x，使p(x)成立 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 　 充分条件、必要条件及充要条件的判断 (2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C. 【答案】　C 充分必要条件的判断方法 利用定义判断 直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么 从集合的角度判断 利用集合中包含思想判定，即可解决充分必要性的问题 利用等价转化法 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 小积累：利用集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，则： ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的充分不必要条件； ④若BA，则p是q的必要不充分条件； ⑤若A＝B，则p是q的充要条件； ⑥若A⃘B且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件． [针对训练] 1．(1)(2025·江西南昌模拟)若集合A＝{2,4}，B＝{1，m2}，则“A∩B＝{4}”是“m＝2”的(　B　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(多选)下列叙述中不正确的是(　ABC　) A．若a≠0，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0” B．若a，b，c∈R，则“ac2>bc2”的充要条件是“a>b” C．“a<0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件 D．“a>1”是“<1”的充分不必要条件 　 全称量词命题、存在量词命题 (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 【解析】　因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以綈p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以綈q为假命题，所以綈p和q都是真命题，故选B. 【答案】　B 1．判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；判定存在量词命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可． 2．含量词的命题中参数的取值范围问题，可根据命题的含义，利用函数的最值求解． [针对训练] 2．下列四个命题： p1：对任意x∈R，都有2x>0； p2：存在x∈R，使得x2＋x＋1<0； p3：对任意x∈R，都有sin x<2x； p4：存在x∈R，使得cos x>x2＋x＋1. 其中的真命题是 (　D　) A．p1，p2　　　 B．p2，p3 C．p3，p4 D．p1，p4 　 充分、必要条件的应用 已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范围． 【解】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， 所以P＝{x|－2≤x≤10}． 由p是q的必要条件，知S⊆P， 则所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件， 即所求m的取值范围是[0,3]． 根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意事项 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． [针对训练] 3．(1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　C　) A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10 (2)若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为__3__. 解析：(1)选C.命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1,3]，x2≤a”⇔9≤a.则a≥10是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C. (2)由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3. 因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $