高考预测练四十八-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word高考预测练）

高考预测练(四十八)　事件的独立性、条件概率与全概率公式 　 1．(2025·高二单元测试)若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　C　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立 解析：由P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，可得P(A)＝1－P()＝1－＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝≠0，所以事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，则事件A与B不对立．故选C 2．甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从A，B，C，D四个社区中随机选择一个社区，设事件M为“甲和乙至少一人选择了A社区”，事件N为“甲和乙选择的社区不相同”，则P(N|M)＝(　B　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 解析：甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有42＝16(种)，事件M发生的情况共有16－32＝7(种)，事件M和事件N同时发生的情况共有6种，所以P(N|M)＝＝＝.故选B. 3．俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风．已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件A为“8月份某天刮风”，事件B为“8月份某天下雨”，则P(B|A)＝(　B　) A． B． C． D． 解析：根据题意可得P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，利用条件概率公式可得P(B|A)＝＝＝.故选B． 4．已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为(　D　) A． B． C． D． 解析：解法一：设第1次抽到白球为事件A，第2次取到的是黑球为事件B， 则n(A)＝CC＝27，n(AB)＝CC＝21，所以P(B|A)＝＝＝. 解法二：盒中共有10个球，其中3白、7黑，在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球，从中任取一球，取到黑球的概率为P＝.故选D. 5．(2025·辽宁盘锦联考)小张、小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东凤凰山”，事件B：“两家选择景点不同”．则概率P(B|A)＝(　D　) A． B． C． D． 解析：由题意可知：两家都没选择丹东凤凰山，即P()＝×＝，所以P(A)＝1－P()＝，而AB：有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝＝.故选D. 6．(2025·江苏泰州高三统考)袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为____． 解析：记事件A为第1次摸到白球，事件B为第2次摸到黑球，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝. 7．一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A“取出的两个球颜色不同”，记事件B“取出一个蓝球，一个绿球”，则P(B|A)＝____． 解析：事件A“取出的两个球颜色不同”，包括一个黄球一个蓝球，一个黄球一个绿球以及一个蓝球一个绿球，三种情况，则n(A)＝CC＋CC＋CC＝26，事件B“取出一个蓝球，一个绿球”，则n(AB)＝CC＝6，所以P(B|A)＝＝＝. 8．一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是____． 解析：由题意知第一次取出的是黑球，设为事件A，第二次取出红球设为事件B，则P(A)＝＝，则P(B|A)＝，所以第二次才取出红球的概率是P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. 9．(2025·河南南阳联考)已知P(A)＝，P(B|)＝，则P(B)＝____． 解析：因为P(A)＝，则P()＝1－P(A)＝1－＝，所以，P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 10．(多选)已知随机事件A，B，C满足0<P(A)<1，0<P(B)<1，0<P(C)<1，则下列说法正确的是(　ABC　) A．不可能事件∅与事件A互斥 B．必然事件Ω与事件A相互独立 C．P(A|C)＝P(AB|C)＋P(A|C) D．若P(A|B)＝P(|B)，则P(A)＝P()＝ 解析：因为不可能事件∅与事件A不会同时发生，所以互斥，故选项A正确；因为P(Ω)＝1，P(AΩ)＝P(A)，P(A)P(Ω)＝P(A)，所以P(AΩ)＝P(A)P(Ω)，所以必然事件Ω与事件A相互独立，故选项B正确；因为AB∪A＝A，且AB，A互斥，所以P(A|C)＝P(AB|C)＋P(A|C)，故选项C正确；假如做抛掷一枚骰子1次的试验，设事件B为出现点数小于等于4，事件A为出现点数小于等于2，则P(A|B)＝P(|B)，但P(A)＝，P()＝，P(A)≠P()故选项D错误．故选ABC. 11．(多选)某气象台统计，该地区不下雨的概率为；刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮四级以上的风，则(　BD　) A．P(A|B)＝ B．P(B|A)＝ C．P(B|A)＝ D．P(A|B)＝ 解析：由题意可知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝，故选BD. 12．小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学．小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是____． 解析：记事件A为“取出的2本中有1本是数学”，事件B为“另1本是物理或化学”，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝. 13．(2025·陕西汉中高二统考)某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10.设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为__0.012__． 解析：设事件A：“取得一件次品”事件B1：“取得次品是甲厂生产”，B2：“取得次品是乙厂生产”，由题意可知P(B1)＝0.9，P(B2)＝0.1，P(A|B1)＝0.01，P(A|B2)＝0.03，所以由全概率公式知取得次品的概率为P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＝0.01×0.90＋0.03×0.10＝0.012. 14．某次女排比赛的其中一场半决赛在甲、乙两队之间进行，比赛采用五局三胜制．甲队中有一名主力队员，在其上场比赛的情况下，甲队每局取胜的概率为，在其不上场比赛的情况下，甲队每局取胜的概率为，甲队从全队战术、队员体力等各方面综合考量，决定该主力队员每局比赛上场的概率为.已知甲队已经取得了第一局比赛的胜利，则最终甲队以3∶0战胜乙队的概率为__/0.36__． 解析：记事件A＝“每局比赛甲队战胜乙队”，B＝“甲队的主力队员上场比赛”，M＝“甲队第一局获胜的条件下，甲队以3∶0战胜乙队”．由已知得P(A|B)＝，P(A|)＝，P(B)＝，所以P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×＋(1－)×＝，于是P(M)＝P(A)P(A)＝()2＝. 15．(2024·新课标全国Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设0<p<q， ①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ ②为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， ∴比赛成绩不少于5分的概率P＝(1－0.63)(1－0.53)＝0.686. (2)①若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]·p3， ∵0<p<q， ∴p甲－p乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)·[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0， ∴P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛． ②若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X的所有可能取值为0，5，10，15， P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3， P(X＝5)＝[1－(1－p)32]Cq(1－q)2， P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·Cq2(1－q)， P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·q3， ∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q 记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15， 同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p ∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15(p－q)pq(p＋q－3)， 因为0<p<q，则p－q<0，p＋q－3<1＋1－3<0， 则(p－q)pq(p＋q－3)>0， ∴应该由甲参加第一阶段比赛． 学科网（北京）股份有限公司 $