高考预测练十九-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word高考预测练）

高考预测练(十九)　三角恒等变换 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　A　) A．－3m B．－ C. D．3m 解析：由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin α sin β＝m　①.由tan αtan β＝2得＝2　②，由①②得，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin α sin β＝－3m，故选A. 2．已知cos2＝，则sin 2α＝(　B　) A. B．－ C. D．－ 解析：cos2＝＝＝，解得：sin 2α＝－.故选：B. 3．已知α为锐角，cos α＝，则sin＝(　D　) A. B. C. D. 解析：因为cos α＝1－2sin2＝，而α为锐角，解得：sin＝＝＝. 故选：D. 4．函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期是(　A　) A．π B. C．2π D. 解析：由f(x)＝sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 故函数的最小正周期为＝π. 故选：A. 5．(2025·泰州中学质量检测)如图，在半径为R、圆心角为的扇形AB弧任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA，点M、N在OB，则这个矩形面积的最大值为(　B　) A．(2－)R2 B.R2 C.R2 D.R2 解析：设∠POB＝a，矩形PNMQ面积为S， ∵扇形AB的半径为R，圆心角为， 所以QM＝PN＝Rsin α，ON＝Rcos α，OM＝QMtan＝Rsin α， 所以S＝Rsin α＝R2sin 2α－R2. 化简得：S＝R2sin－R2，α∈， 当α＝，即∠AOP＝时， S取最大值R2. 故选：B. 6．若cos α＝－，则的值可能为(　CD　) A. B．2 C．－ D．－2 解析：＝＝ ＝ ＝， ∵cos α＝－，∴sin α＝±， 当cos α＝－，sin α＝－1时，＝＝－；当cos α＝－，sin α＝时，＝＝－2. 故选：CD. 7．已知sin －cos＝－，450°<α<540°，则tan 的值为__2__. 解析：由题意得2＝，即1－sin α＝， ∴sin α＝，∵450°<α<540°，∴cos α＝－， ∵tan＝＝＝2. 故答案为：2. 8．已知sin α＝－，则tan＝　－或－2　. 解析：方法一：因为sin α＝－，所以cos α＝±. 由sin α＝－，可得＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z， 则＋kπ<<＋kπ，k∈Z，所以tan<0. 故tan＝－， 将cos α＝代入可得tan＝－＝－， 将cos α＝－代入可得tan＝－＝－2－2， 故tan＝－或－2； 方法二：因为sin α＝－，所以cos α＝±. 若cos α＝，则tan＝＝＝－； 若cos α＝－，则tan＝＝＝－2. 故答案为：－或－2. 9．函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x的单调减区间为　，k∈Z　. 解析：因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝sin＋， 则函数的单调减区间为：＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得：＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 故答案为：，k∈Z. 10．函数f(x)＝sin ωx＋cosωx(ω>0)在x∈[0，π]恰有2个零点，则ω的取值范围是　　. 解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin， 当x∈[0，π]时，ωx＋∈， ∵f(x)在[0，π]恰有2个零点，∴2π≤ωπ＋<3π，解得：≤ω<， 即ω的取值范围为. 故答案为：. 11．(预测)(2025·山西临汾适应性训练(一))田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐威王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜．该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a＝cos θ，b＝tan θ，c＝sin θcos θ，对方的三个数以及排序如表： 第一局 第二局 第三局 对方 sin θ sin2θ－cos2θ 当<θ<时，我方必胜的排序可以是(　A　) A．c，b，a B．a，c，b C．b，a，c D．c，a，b 解析：当<θ<时，a＝cosθ∈(，)，b＝tan θ∈(1，)，<2θ<，c＝sin θcos θ＝sin 2θ∈(，)，又sin θ∈(，)，sin2θ－cos2θ＝－cos2θ∈(0，)所以c∈(，)<sin θ＝(，)，b∈(1，)>，a∈(，)>sin2θ－cos2θ∈(0，)，故我方必胜的排序可以是c，b，a.故选A. 12．如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． 解析：在Rt△OBC中，OB＝2cos α，BC＝2sin α，，在Rt△OAD中，＝tan ＝1， ∴OA＝DA＝BC＝2sin α， ∴AB＝OB－OA＝2cos α－2sin α， 设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB·BC＝(2cos α－2sin α)2sin α＝4sin a cos a－4sin2α ＝2sin 2α－2(1－cos 2α)＝2sin2α＋2cos 2α－2 ＝2sin－2， 由0<α<，得<2α＋<， 所以当2α＋＝，即a＝时，Smax＝2－2， 因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为2－2. 学科网（北京）股份有限公司 $