高考预测练十六-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word高考预测练）

课时作业(十六)　导数与函数的极值、最值、综合应用

1．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　AD　)

A．当a>1时，f(x)有三个零点

B．当a<0时，x＝0是f(x)的极大值点

C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴

D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心

解析：由题可知，f′(x)＝6x(x－a)．

对于A，当a＞1时，由f′(x)＜0得0＜x＜a，由f′(x)＞0得x＜0或x＞a，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→－∞，f(0)＝1，f(a)＝－a3＋1＜0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故f(x)有三个零点，A正确；对于B，当a＜0时，由f′(x)＜0得a＜x＜0，由f′(x)＞0得x＞0或x＜a，则f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故x＝0是f(x)的极小值点，B错误；

对于C，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→－∞时，f(x)→－∞，故曲线y＝f(x)必不存在对称轴，C错误；

对于D，解法一(配方、平移)　f(x)＝2x3－3ax2＋1＝2(x－)3－a2(x－)＋1－，令t＝x－，则f(x)可转化为g(t)＝2t3－a2t＋1－，由y＝2t3－a2t为奇函数，且其图象关于原点对称，可知g(t)的图象关于点(0,1－)对称，则f(x)的图象关于点对称，故存在a＝2，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，D正确．故选AD.

解法二(二级结论)　任意三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象均关于点成中心对称，D正确．故选AD.

2．已知函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处有极大值，则m的值为(　C　)

A．1  B．2

C．3  D．1或3

解析：∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，∴f′(1)＝(1－m)(3－m)＝0，

∴m＝1或m＝3，

当m＝1时，f′(x)＝(x－1)(3x－1)，

令f′(x)>0，得x<或x>1；令f′(x)<0，得<x<1；

从而f(x)在单调递增，在单调递减，在(1，＋∞)单调递增，所以f(x)

在x＝1处有极小值，不合题意，

当m＝3时，经检验，满足题意；综，m＝3.

故选：C.

3．若函数f(x)＝x3－ax2＋4x－8在x＝2处取得极小值，则a＝(　A　)

A．4  B．2

C．－2  D．－4

解析：由题意可得f′(x)＝3x2－2ax＋4，则f′(2)＝3×22－4a＋4＝0，解得a＝4.

当a＝4时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(x－2)(3x－2)，

当x<或x>2时，f′(x)>0，则f(x)在，(2，＋∞)单调递增，

当<x<2时，f′(x)<0，则f(x)在单调递减，

所以，函数f(x)＝x3－ax2＋4x－8在x＝2处取得极小值，此时a＝4.

故选：A.

4．(多选)(2025·哈尔滨高三哈师大附中质量检测)如图所示是y＝f(x)的导数y＝f′(x)的图象，列结论中正确的有(　BC　)

A．f(x)的单调递增区间是(－1,2)∪(4，＋∞)

B．x＝－1是f(x)的极小值点

C．f(x)在区间(2,4)单调递减，在区间(－1,2)单调递增

D．x＝2是f(x)的极小值点

解析：由导函数的图象可知，当－3<x<－1或2<x<4时，f′(x)<0；当－1<x<2或x>4时，f′(x)>0；所以f(x)的单调递增区间为(－1,2)和(4，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)和(2,4)．故A错误，C正确；所以x＝－1或x＝4是f(x)的极小值点；故B正确；所以x＝2是f(x)取得极大值点；故D错误．故选：BC.

5．已知函数f(x)＝x3－2x2＋2ax－3，若函数f(x)在(0,2)有极值，则实数a可以为(　BC　)

A．0  B．1

C.  D．2

解析：由题意知，f′(x)＝x2－4x＋2a在(0,2)有变号零点，

又易知f′(x)＝x2－4x＋2a在(0,2)单调递减，故f′(x)∈(2a－4,2a)，

可得解得0<a<2.故选：BC.

6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)(2,0)，如图所示，则列说法中正确结论的序号为__②③④__.

①当x＝时函数取得极小值；

②f(x)有两个极值点；

③当x＝2时函数取得极小值；

④当x＝1时函数取得极大值．

解析：由图象可知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.

所以函数f(x)在(－∞，1)单调递增，在(1,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，

所以函数f(x)有两个极值点，当x＝1时函数取得极大值，当x＝2时函数取得极小值，故①错误，②③④正确．故答案为：②③④.

7．若函数f(x)＝x3－12x2＋36x＋1，则f(x)的极大值点为__2__.

解析：f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，

令f′(x)＝0，解得x＝2或6，

当x<2或x>6时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当2<x<6时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

故f(x)在x＝2取得极大值，故极大值点为2.

故答案为：2.

8．已知函数f(x)＝x3－3x－1在区间[－3,2]的最大值为M，最小值为N，则MN＝__－19__.

解析：因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，

x∈[－3,2]，

f′(x)>0,1<x≤2或－3≤x<－1，

f′(x)<0，－1<x<1，

所以f(x)在[－3，－1)，(1,2]单调递增，

在[－1,1]单调递减．

因为f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，