高考预测练十五-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word高考预测练）

高考预测练(十五)　导数与函数的单调性 1．(2025·陕西渭南模拟)已知函数f(x)＝ex(ax－1)的大致图象如图所示，则不等式f(x)f′(x)＜0的解集为(　B　) A．(－2，－1) B．(1，2) C．(－，1) D．(2，＋∞) 解析：由f(x)＝ex(ax－1)，得f′(x)＝ex(ax－1＋a)， 由题图知x＝1是函数f(x)的极小值点， 则f′(1)＝e(2a－1)＝0，解得a＝， 当x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0， 则x＝1是函数f(x)的极小值点， 故f(x)＝ex(x－1)，f′(x)＝ex(x－)， 不等式f(x)f′(x)＜0⇔e2x(x－1)(x－2)＜0，解得1＜x＜2，所以不等式f(x)f′(x)＜0的解集为(1，2).故选B. 2．(2025·河北沧州质量检测)函数f(x)＝2x－5ln x－4的单调递减区间是(　D　) A．(0，3) B．(3，＋∞) C．(－∞，) D． 解析：f′(x)＝2－，定义域为(0，＋∞)，令f′(x)<0，解得0<x<，所以f(x)在单调递减．故选：D. 3．若函数f(x)＝(x＋1)ln x－ax在(0，＋∞)具有单调性，则a的取值范围是(　C　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，2] D．(－∞，2) 解析：由f(x)＝(x＋1)ln x－ax⇒f′(x)＝ln x＋＋1－a，当函数f(x)＝(x＋1)ln x－ax在(0，＋∞)单调递增时，f′(x)≥0恒成立，得a≤ln x＋＋1，设g(x)＝ln x＋＋1⇒g′(x)＝－＝，当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝2，因此有a≤2，当函数f(x)＝(x＋1)ln x－ax在(0，＋∞)单调递减时，f′(x)≤0恒成立，得a≥ln x＋＋1，设g(x)＝ln x＋＋1⇒g′(x)＝－＝，当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝2，显然无论a取何实数，不等式f′(x)≤0不能恒成立，综所述，a的取值范围是(－∞，2)，故选：C. 4．(多选)(2025·吉林外国语学校校考质量检测)函数f(x)＝x ln x的一个单调递增区间是(　ABD　) A．(e，＋∞) B． C．(0，) D．(，1) 解析：由题意f′(x)＝ln x＋1，f′(x)＝ln x＋1>0，x>，因此f(x)的增区间是，因此ABD正确，C错误．故选：ABD. 5．(预测)(多选)(2025·浙江杭州二模)设函数f(x)＝(x3－x)ln x，则(　BD　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)≥0 C．f(x)在区间(0，1)上单调递增 D．x＝1为f(x)的极小值点 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，故f(x)为非奇非偶函数，故A错误；f(x)＝(x3－x)ln x＝x(x＋1)(x－1)ln x，且x>0，故x＋1>0，当x>1时，ln x>0，此时f(x)>0，当0<x<1时，ln x<0，此时f(x)>0，当x＝1时，f(x)＝0，因此f(x)≥0，B正确；f′(x)＝(3x2－1)ln x＋x2－1，当x∈(，1)时，3x2－1>0，ln x<0，x2－1<0，此时f′(x)<0，因此f(x)在(，1)上单调递减，故C错误；f′(x)＝(3x2－1)ln x＋x2－1，当x>1时，3x2－1>0，ln x>0，x2－1>0，故f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)上单调递增，由C知f(x)在(，1)上单调递减，故x＝1为f(x)的极小值点，D正确．故选BD. 6．已知函数y＝ln x＋在[2，＋∞)单调递增，则实数a的取值范围是__a≤2__． 解析：由y＝ln x＋得y′＝－， 由于函数y＝ln x＋在[2，＋∞)单调递增，故y′＝－≥0在x∈[2，＋∞)恒成立，因此在a≤x对任意的x∈[2，＋∞)恒成立，所以a≤2，故答案为：a≤2. 7．若函数f(x)＝(x－m)2＋ln x在区间(1，2)有单调递增区间，则实数m的取值范围是____． 解析：f′(x)＝2(x－m)＋(x>0)，由题意f′(x)>0在(1，2)有解， 即m<x＋在(1，2)有解， 根据对勾函数的性质可知，y＝x＋在(1，2)单调递增，所以在x＝2时取最大值， 故m<2＋＝，故实数m的取值范围是. 故答案为： 8．若函数f(x)＝2ax－(x＋2)ln x是(0，＋∞)的减函数，则实数a的最大值为__1＋ln_/ln_＋1__． 解析：由函数f(x)＝2ax－(x＋2)ln x是(0，＋∞)的减函数， 则f′(2)＝2a－ln x－≤0在(0，＋∞)恒成立， 即2a≤ln x＋在(0，＋∞)恒成立， 设g(x)＝ln x＋1＋，则g′(x)＝－＝， 当x∈(0，2)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， 可得g(x)min＝g(2)＝2＋ln 2，所以a≤1＋ln ，即实数a的最大值为1＋ln . 故答案为：1＋ln . 9．(2025·陕西咸阳高三统考质量检测)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)若a＝1，求函数f(x)的极值； (2)求函数f(x)的单调区间． 解析：(1)当a＝1时，f(x)＝ln x－x，其定义域为(0，＋∞)， ∴f′(x)＝－1＝. 令f′(x)＝＝0，则x＝1. ∴当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， ∴函数f(x)的极大值为f(1)＝－1，无极小值． (2)∵f(x)＝ln x－ax， ∴f′(x)＝－a＝， 当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)单调递增； 当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝， 若0<x<，则f′(x)>0，若x>，则f′(x)<0，f(x)单调递减， 当a>0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为， 综，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. 答案：(1)函数f(x)的极大值为－1，无极小值 (2)答案见解析 10．已知函数f(x)＝－2a2ln x＋x2＋ax(a∈R). (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝－2ln x＋x2＋x， f′(x)＝－＋x＋1，所以f′(1)＝－2＋1＋1＝0，f(1)＝，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝. (2)f′(x)＝＝， ①当a＝0时，f′(x)＝x>0，所以函数在(0，＋∞)单调递增； ②当a>0时，令f′(x)＝0，则x1＝－2a(舍)或x2＝a， f′(x)<0，0<x<a，当x∈(0，a)时，函数f(x)单调递减； f′(x)>0，x>a，当x∈(a，＋∞)时，函数f(x)单调递增． ③当a<0时，令f′(x)＝0，则x1＝－2a或x2＝a(舍)， f′(x)<0，0<x<－2a，当x∈(0，－2a)时，函数f(x)单调递减； f′(x)>0，x>－2a，当x∈(－2a，＋∞)时，函数f(x)单调递增． 综所述：当a＝0时，函数在(0，＋∞)单调递增； 当a>0时，当x∈(0，a)时，函数f(x)单调递减 当x∈(a，＋∞)时，函数f(x)单调递增； 当a<0时，当x∈(0，－2a)时，函数f(x)单调递减； 当x∈(－2a，＋∞)时，函数f(x)单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 $