高考预测练十五-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word高考预测练）

高考预测练(十五)　导数与函数的单调性

 

 

1．(2025·陕西渭南模拟)已知函数f(x)＝ex(ax－1)的大致图象如图所示，则不等式f(x)f′(x)＜0的解集为(　B　)

A．(－2，－1)     B．(1，2)

C．(－，1)     D．(2，＋∞)

解析：由f(x)＝ex(ax－1)，得f′(x)＝ex(ax－1＋a)，

由题图知x＝1是函数f(x)的极小值点，

则f′(1)＝e(2a－1)＝0，解得a＝，

当x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0，

则x＝1是函数f(x)的极小值点，

故f(x)＝ex(x－1)，f′(x)＝ex(x－)，

不等式f(x)f′(x)＜0⇔e2x(x－1)(x－2)＜0，解得1＜x＜2，所以不等式f(x)f′(x)＜0的解集为(1，2).故选B.

2．(2025·河北沧州质量检测)函数f(x)＝2x－5ln x－4的单调递减区间是(　D　)

A．(0，3)     B．(3，＋∞)

C．(－∞，)     D．

解析：f′(x)＝2－，定义域为(0，＋∞)，令f′(x)<0，解得0<x<，所以f(x)在单调递减．故选：D.

3．若函数f(x)＝(x＋1)ln x－ax在(0，＋∞)具有单调性，则a的取值范围是(　C　)

A．(2，＋∞)     B．[2，＋∞)

C．(－∞，2]     D．(－∞，2)

解析：由f(x)＝(x＋1)ln x－ax⇒f′(x)＝ln x＋＋1－a，当函数f(x)＝(x＋1)ln x－ax在(0，＋

∞)单调递增时，f′(x)≥0恒成立，得a≤ln x＋＋1，设g(x)＝ln x＋＋1⇒g′(x)＝－＝，当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝2，因此有a≤2，当函数f(x)＝(x＋1)ln x－ax在(0，＋∞)单调递减时，f′(x)≤0恒成立，得a≥ln x＋＋1，设g(x)＝ln x＋＋1⇒g′(x)＝－＝，当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝2，显然无论a取何实数，不等式f′(x)≤0不能恒成立，综所述，a的取值范围是(－∞，2)，故选：C.

4．(多选)(2025·吉林外国语学校校考质量检测)函数f(x)＝x ln x的一个单调递增区间是(　ABD　)

A．(e，＋∞)     B．

C．(0，)     D．(，1)

解析：由题意f′(x)＝ln x＋1，f′(x)＝ln x＋1>0，x>，因此f(x)的增区间是，因此ABD正确，C错误．故选：ABD.

5．(预测)(多选)(2025·浙江杭州二模)设函数f(x)＝(x3－x)ln x，则(　BD　)

A．f(x)是偶函数

B．f(x)≥0

C．f(x)在区间(0，1)上单调递增

D．x＝1为f(x)的极小值点

解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，故f(x)为非奇非偶函数，故A错误；f(x)＝(x3－x)ln x＝x(x＋1)(x－1)ln x，且x>0，故x＋1>0，当x>1时，ln x>0，此时f(x)>0，当0<x<1时，ln x<0，此时f(x)>0，当x＝1时，f(x)＝0，因此f(x)≥0，B正确；f′(x)＝(3x2－1)ln x＋x2－1，当x∈(，1)时，3x2－1>0，ln x<0，x2－1<0，此时f′(x)<0，因此f(x)在(，1)上单调递减，故C错误；f′(x)＝(3x2－1)ln x＋x2－1，当x>1时，3x2－1>0，ln x>0，x2－1>0，故f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)上单调递增，由C知f(x)在(，1)上单调递减，故x＝1为f(x)的极小值点，D正确．故选BD.

6．已知函数y＝ln x＋在[2，＋∞)单调递增，则实数a的取值范围是__a≤2__．