精品解析：江苏省扬州市广陵区红桥高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

红桥高级中学2025-2026学年度第一学期 高二数学期中试卷 试卷满分150分；考试时长120分钟； 2025.11 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算先求复数，进而得，即可运算. 【详解】由有. 故选：A. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程得出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系可得答案. 【详解】由直线，可得，斜率为 直线的倾斜角为，则 所以，则 故选：B 3. 若两条直线与相互垂直，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值. 【详解】因为，则，解得或. 故选：C. 4. 抛物线的准线方程是（ ） A. x=-1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出抛物线的标准方程即可得解. 【详解】抛物线的标准方程是， 所以其准线方程为：. 故选：D 5. 作圆上一点处的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由切线可得，则可求的斜率，由可解，且平行线距离转化为点到直线距离，代入公式求解即可. 【详解】由圆可得圆心，则， 由切线可得，则， 由可得，， 则直线与的距离为点到直线的距离， ， 故选：A. 6. 已知圆：和两点，，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得以线段AB为直径的圆的方程，再与圆的方程联立求解. 【详解】因为点，， 所以以线段AB为直径的圆的方程为：， 因为圆上存在点，满足， 联立，得， 因为， 所以，即， 故选：C 7. 设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C. 【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围. 8. 双曲线方程为为其左､右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点A和点，满足，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义确定中的边长后应用余弦定理求得的关系，从而可得离心率． 【详解】由题意，又，∴， 中，由余弦定理得， ，，所以， 故选：C． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得得6分分，部分选对得得部分分，有选错的得得0分. 9. 已知双曲线，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的虚轴长为 C. 双曲线的焦点坐标为 D. 双曲线的渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断. 【详解】双曲线，则， 双曲线的离心率，故A正确； 双曲线的虚轴长为，故B错误； 双曲线的焦点坐标为，故C正确； 双曲线的渐近线方程为，故D正确. 故选：ACD 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是2 B. 直线与平行，则实数的值为1 C. 若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，则m＋n＝3 D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】通过计算可以判定选项BC正确；直线在y轴上的截距是 所以选项A错误；过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为或，所以选项D错误. 【详解】A. 直线在y轴上的截距是 所以该选项错误； B. 直线与平行，则 所以或 当 时，两直线重合，所以舍去.所以实数的值为1.所以该选项正确； C. 若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，所以，则m＋n＝3，所以该选项正确； D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为或，所以该选项错误. 故选：BC 11. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设A，B是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于P点.若弦AB过，则下列说法正确的有（ ） A. 点P在直线y＝－1上 B. 存在点P，使得 C. AB⊥PF D. △PAB面积的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】由导数的几何意义可求得过点和过点的切线方程，由直线与抛物线方程联立，结合韦达定理可得两切线的交点坐标，从而可判断A，由韦达定理可得，从而可判断B，由直线垂直的斜率关系可判断C，由韦达定理表示出三角形的面积，结合函数性质可判断D. 【详解】对于A，由题意，设直线 联立，消去整理得： 设，则， 由抛物线可得，则， 则过点的切线斜率为，易知，即， 则切线方程为: ，即， 同理可得：过点的切线方程为：， 联立，解得，即， 所以点在定直线上，A正确； 对于B，由选项A可知，直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，即，B错误； 对于C，由选项A可知，，则直线的斜率 由，则AB⊥PF，C正确； 对于D，由选项C可知： ， ， 则，当时，有最小值为4，D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点，则双曲线C的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等轴双曲线的性质得出，设出标准方程，将坐标点代入求得和的值，即可得出双曲线C的标准方程. 【详解】解：由题意， 在等轴双曲线C中，对称轴是坐标轴，图像过， 当焦点在x轴时 设，则 ∴解得： ∴， 当焦点在y轴时，不成立， 综上，. 故答案为：. 13. 若曲线上存在不同的两点关于直线对称，则________． 【答案】-4 【解析】 【分析】 曲线上存在不同的两点关于直线对称，因此直线过圆心，代入即得解. 【详解】为圆的一般方程，且圆心为：， 曲线上存在不同的两点关于直线对称，因此直线过圆心， 即： 故答案为：-4 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及圆的对称性，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 14. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，圆，过的直线与抛物线和圆从上到下依次交于四点，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以抛物线方程为， 如下图，， 因为， 设，所以， 所以， 设，所以，，所以， 所以，取等号时， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点，边上的高为且垂足为E. （1）求边上中线所在的直线方程； （2）求点E的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得点坐标，根据两点式求得的方程、 （2）根据求得点的坐标. 【小问1详解】 ，即， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 直线的方程为， 设， 依题意， 所以， ， 即. 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过点A（1，2），B（7，－6），且圆心在直线x＋y－2＝0上. （1）求圆M的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于C，D两点，且CD=2OA，求直线l的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）联立线段AB的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出圆的半径以及圆M的标准方程； （2）设出直线l的方程，由CD=2OA可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l的方程． 【详解】（1）由题意可解得线段AB的垂直平分线所在的方程为：y+2=(x－4)，即，因为圆心在直线x＋y－2＝0上，且圆M过点A（1，2），B（7，－6），则圆心为直线与直线x＋y－2＝0的交点，联立，解得，即圆心M为（4，－2），半径为MA=，所以圆M的标准方程为. （2）由直线l平行于OA，可设直线l的方程为：，则圆心M到直线l的距离为，因为CD=2OA=，所以，所以，则解得m=－20或m=0（舍去）， 则直线l的方程为. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题． 17. 已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点. （1）求抛物线方程； （2）若为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出双曲线的右顶点坐标，抛物线的焦点坐标，求出的值即可求解； （2）设，，直线的方程：与抛物线方程联立，求出、，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得三角形的高，再由三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由双曲线的右顶点为， 由抛物线可得抛物线 的焦点， 所以，，所以抛物线的方程为：. 【小问2详解】 由题意可得：直线的方程：， 将直线与抛物线联立，整理可得， 设，，所以，， 所以， 原点到直线的距离， 所以. 18. 已知双曲线，点在上. （1）求的方程； （2）过点的直线交于不同的两点（均异于点），求直线的斜率之和. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程中可求出，从而可得双曲线方程， （2）设的方程为：，，，将的方程代入双曲线的方程并整理，利用根与系数和关系，再求，化简可得答案 【小问1详解】 ∵点在上，∴，得. ∴双曲线的方程为. 【小问2详解】 过点的直线斜率显然存在， 设的方程为：，，， 将的方程代入双曲线的方程并整理得 依题意，且， 所以且，又， 因此，可得，. 19. 已知椭圆的右顶点为，焦距是，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）直线（均为常数）与椭圆相交于不同的两点（均异于点），若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，试判断直线能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，也请说明理由． 【答案】（1） （2）直线过定点，该定点为 【解析】 【分析】(1) 由题意可得，可得，再由离心率可得答案. (2)将直线的方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由条件可得，将韦达定理代入，可得的关系，从而得到答案. 【小问1详解】 由题意得：，解得 ∴椭圆的方程为：； 【小问2详解】 设，， 由得： ∵直线与椭圆相交于两点， ∴得： （） 由韦达定理：，； ∵以为直径的圆过椭圆的右顶点，∴， 由于，所以 从而 即，即 ∴或，均符合（） 当时，直线，即，所以恒过定点， 当时，直线，过定点，舍去． 综上可知：直线过定点，该定点为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红桥高级中学2025-2026学年度第一学期 高二数学期中试卷 试卷满分150分；考试时长120分钟； 2025.11 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若两条直线与相互垂直，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 抛物线的准线方程是（ ） A. x=-1 B. C. D. 5. 作圆上一点处的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6. 已知圆：和两点，，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为. A. B. C. D. 8. 双曲线方程为为其左､右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点A和点，满足，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得得6分分，部分选对得得部分分，有选错的得得0分. 9. 已知双曲线，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的虚轴长为 C. 双曲线的焦点坐标为 D. 双曲线的渐近线方程为 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是2 B. 直线与平行，则实数的值为1 C. 若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，则m＋n＝3 D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 11. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设A，B是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于P点.若弦AB过，则下列说法正确的有（ ） A. 点P在直线y＝－1上 B. 存在点P，使得 C. AB⊥PF D. △PAB面积的最小值为4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点，则双曲线C的标准方程为______. 13. 若曲线上存在不同的两点关于直线对称，则________． 14. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，圆，过的直线与抛物线和圆从上到下依次交于四点，则的最小值为_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点，边上的高为且垂足为E. （1）求边上中线所在的直线方程； （2）求点E的坐标． 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过点A（1，2），B（7，－6），且圆心在直线x＋y－2＝0上. （1）求圆M的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于C，D两点，且CD=2OA，求直线l的方程. 17. 已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点. （1）求抛物线方程； （2）若为坐标原点，求的面积. 18. 已知双曲线，点在上. （1）求的方程； （2）过点的直线交于不同的两点（均异于点），求直线的斜率之和. 19. 已知椭圆的右顶点为，焦距是，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）直线（均为常数）与椭圆相交于不同的两点（均异于点），若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，试判断直线能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，也请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $