专题01 整式的乘法 8大高频考点（期末真题汇编）八年级数学上学期新教材人教版

专题01 整式的乘法 8大高频考点概览 考点01同底数幂的乘法 考点02幂的乘方和积的乘方 考点03单项式乘以单项式 考点04单项式乘以多项式 考点05多项式乘以多项式 考点06同底数幂的除法 考点07平方差公式 考点08完全平方公式 地 城 考点01 同底数幂的乘法 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方，解题关键是熟练掌握相关运算法则．根据同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方运算法则对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C正确，符合题意； D、，故选项D错误，不符合题意； 故选：C ． 2．（24-25八年级上·四川乐山·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 3．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，根据同底数幂的乘法，合并同类项法则逐一排除即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）若实数x满足，则的值为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】本题考查的是代数式的求值，同底数幂的乘法逆用，找到整体进行降次是解题的关键．把化为：代入降次，再把代入求值即可． 【详解】解：由得：， 所以： ． 故选C． 5．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则是解题的关键； 根据同底数幂的乘法的逆用法则，将变形为 然后把代入计算即可解． 【详解】解：， 把代入得 ． 故选：D． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法法则，将表示为，然后代入已知数值计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：6． 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握计算公式是解题的关键． 直接利用同底数幂的乘法计算公式求解． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若，，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 15 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运用，幂的乘方的逆用，同底数幂相除的逆运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 将化为，即可求解；将化为，即可求解 【详解】解：， ， 故答案为：15；． 10．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）计算 （计算结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，掌握“一个大于10的数记成（，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法”是解题关键． 本题根据单项式乘单项式法则计算，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·陕西延安·期末）若，求的值． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．先根据已知等式可得，再根据，计算幂的乘方、同底数幂的乘法即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 12．（24-25八年级上·河南许昌·期末）已知，． (1)直接写出结果：__________； (2)求的值； (3)利用乘法公式计算：的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)12 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据得出即可； （2）根据得出，然后根据得出答案即可； （3）根据，，变形求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：4； （2）解：∵， ∴， ， ∵， ， ， ． （3）解：，， ． 13．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）根据乘方的意义可知： 一般地，对于任意不为0的底数a与任意正整数m，n，． 同理，我们有（，m，n都是正整数，并且）． 例如：． 根据所学知识，解决以下问题： (1)已知，则_______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，，请解关于s的方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法，即可得到结果； （2）根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用化简原式，然后代入已知条件，即可得到结果； （3）根据题意，由同底数幂的乘法得到，由同底数幂的除法得到，然后利用幂的乘方及幂的乘方的逆用对方程进行变形，再将，代入到方程中，解方程，即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：，，，， ，， 即：，， ， ， 即：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，幂的乘方的逆用，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的运算法则及一元一次方程的解法是解题的关键． 14．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】 我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： _____； _____； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，， 例如，． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算，写出计算过程； （3）猜想，并说明理由． 【答案】（1）3，4；（2）；（3）6 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法及题意是解题的关键； （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解； （3）设，，则，，进而根据新定义运算及同底数幂的除法可进行求解 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为3，4； （2）设，，则，， 因为，所以， 所以； （3）， 理由如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以． 地 城 考点02 幂的乘方和积的乘方 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算．直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故选：A． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知，则“”内填（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算法则，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题关键． 根据幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：， ，解得：“”内填． 故选：D． 3．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项；根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A． ，不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；      B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可得解． 【详解】解：， 故选：C． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算，其中第①步运算的依据是(　　) A．幂的乘方法则 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，掌握积的乘方运算法则是解题的关键．根据积的乘方运算法则解答即可． 【详解】解：，其运算的依据是积的乘方运算法则． 故选：C． 6．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25八年级上·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方和单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·吉林白城·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算．逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·四川绵阳·期末） ；若，则 ． 【答案】 / 8 【分析】本题考查了幂的运算．根据积的乘方，同底数的除法法则计算即可求解． 【详解】解：； 若，则 故答案为：；． 11．（24-25八年级上·辽宁·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，根据，然后把，代值计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，根据题意得出，进而将已知代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级上·广东湛江·期末）（1）若，求m的值； （2）若n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）m的值为15；（2）512 【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到，再解方程即可； （2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值． 【详解】（1）解：原式 即，则，即， ∴m的值为15； （2）解：原式． ∴的值为512． 14．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)72 (2)3 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 16．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： (1)已知，试用含m，n的代数式表示； (2)已知，试用含m，n的代数式表示； (3)已知，试将用含a、b、c的代数式表示出来． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方及积的乘方的逆运算法则，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方逆运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则变形即可； （2）先根据幂的乘方法则变形，再根据同底数幂的乘法逆运算法则变形即可求解； （3）先根据同底数幂的乘除法法则变形，再根据幂的乘方逆运算法则变形即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 地 城 考点03 单项式乘以单项式 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东汕头·期末）计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的法则，根据单项式与单项式的乘法运算法则，系数与系数相乘作为系数，相同的字母相乘，同底数的幂相乘，底数不变指数相加，计算求解，即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南周口·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘以单项式、同底数幂乘法、幂的乘方和完全平方公式运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故原运算错误，不符合题意； B、，故原运算错误，不符合题意； C、，故该运算正确，符合题意； D、，故原运算错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式、同底数幂乘法、幂的乘方和完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握相关的运算法则． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的混合运算，计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A．，故该选项正确，不符合题意； B．，故该选项正确，不符合题意； C．，故该选项正确，不符合题意； D．，故该选项错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·天津滨海新·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·全国·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，单项式乘以单项式，掌握运算法则是解决问题的关键． 先进行积的乘方，然后利用单项式相乘的乘法法则运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·全国·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则直接进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．单项式乘单项式，就是把系数和相同字母分别相乘，作为积的因式，对于只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式，由此计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方和单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·四川巴中·期末）我国陆地面积约是，平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量约相当于燃烧煤所产生的能量，求在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧 吨煤所产生的能量． 【答案】 【分析】根据每平方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×105吨煤所产生的能量乘以我国陆地面积，计算即可得到所求的结果． 【详解】根据题意得：（）×（1.3×105）＝． 故答案为： 【点睛】此题考查了整式的混合运算，是一道应用题，弄清题意是解本题的关键． 三、解答题 10．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，合并同类项，单项式乘单项式．先根据单项式乘单项式、单项式除以单项式的法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 11．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算： 【答案】 【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加减，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； 地 城 考点04 单项式乘以多项式 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）一个长方体的长，宽，高分别是3m，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）为做好乡村振兴工作，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所．已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘以多项式与几何图形的面积，根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选A． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算、整式乘法的应用，熟练掌握运算法则，理解新定义是解题的关键． 根据题意列出算式， 求出的值，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵均为整数，且，，，， ∴或 或 ， 当 时，，，此时幸运数为， 当时，，，此时幸运数为， 当 时，，，此时幸运数为， 则满足条件的“幸运数”有个， 故选：． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图是边长分别为a和b的两个正方形，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，单项式与多形式的乘法，利用正方形、三角形面积计算方法表示出各部分的面积，正确利用面积的和差求阴影部分面积是解题的关键． 根据题意，结合图形，，分别表示出各部分面积，即可得到结果． 【详解】解：如图， ． 故选：D． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）计算： ． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的法则计算即可． 本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现规定一种新的运算，，其中，为实数，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算和信息获取能力，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解题的关键．根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，再减去1，列出算式，然后根据单项式乘多项式的法则去掉括号，再加减计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为： 8．（24-25八年级上·广东汕头·期末）图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法的实际运用，解题关键是准确识图，熟练运用长方形面积公式列出代数式并进行计算．根据图形可知阴影部分是两个矩形面积的和，根据矩形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：阴影部分的面积为． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． (1)被污染的整式________；________； (2)已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)与的和大于1，见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的混合运算法则计算即可得解； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：，； （2）解：与的和大于1 与的和大于1． 10．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了列代数式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，空地的长比宽的2倍少1米，设空地的宽是米，则分别表示出花圃的宽和长，再根据面积公式列式，即可作答． （2）由（1）得花圃的面积为平方米，先整理得，然后代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，空地的长为米， ∵周边道路的宽度是米， ∴花圃的宽是米，花圃的长是米， ∴花圃的面积为平方米； （2）解：∵花圃的宽是米，且要求花圃的宽是米， ∴， 则， ∴花圃的面积为平方米． 11．（24-25八年级上·黑龙江·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 12．（24-25八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先去括号合并同类项，然后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 13．（24-25八年级上·全国·期末）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【答案】(1)4或2；或 (2)A与B是关于1的单位数．理由见解析 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵或， ∴3与4或2是关于1的单位数； ∵，， ∴与或是关于1的单位数， 故答案为：4或2；或； （2）解： ； 故与是关于1的单位数． 14．（24-25八年级上·全国·课后作业）如下是明明的课后作业，阅读并完成下列任务： 化简：． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)任务一：上述化简过程在第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)任务二：写出正确的化简过程． 【答案】(1)二；括号前是负号，去括号时未变号 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据去括号法则即可得在第二步开始出现错误，去括号时未变号； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算多项式除以单项式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：上述化简过程在第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是负号，去括号时未变号， 故答案为：二；括号前是负号，去括号时未变号． （2）解：原式 ． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式运算与图形面积，涉及三角形面积公式、不规则图形面积求法及整式的混合运算等知识，数形结合，准确表示出三角形面积是解决问题的关键． （1）根据三角形面积公式进行计算即可； （2）用含有的代数式分别表示三个阴影部分三角形的面积即可； （3）根据题意得出，再进行化简即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由三角形面积公式代值可得： ； （2）解：如图所示： ； （3）解：由（2）可知阴影部分面积的代数式为，4张小正方形的面积总和为， 则， 即， ， ， 即． 地 城 考点05 多项式乘以多项式 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式． 将左边多项式展开，与右边对应项系数比较即可确定和的值． 【详解】解：等式左边， 等式右边， 比较系数可得一次项系数：；常数项：， ，． 故选：． 2．（24-25八年级上·青海海北·期末）下列各式中，两式相乘得的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的乘法，根据多项式乘以多项式运算法则计算出各选项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C不符合题意； D. ，故选项D不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 【答案】A 【分析】本题考查整式乘法中多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答关键．将原式按整式乘法运算展开，与的每一项一一对应即可． 将左边的多项式展开后，与右边的多项式对应项系数比较，即可确定m和n的值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，． 故选：A． 二、解答题 4．（25-26八年级上·河南新乡·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘多项式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 5．（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的乘除运算法则． 先根据整式的乘除运算法则进行化简，再代入、的值计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 6．（24-25八年级·江苏盐城·期末）[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出与的值是解题的关键． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程，再求出与的值； （2）把a与b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 所以①；② 由②得，代入①得， 所以， 所以， 所以． （2）解：由（1）得． 8．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，现有一块长为米、宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间预留边长为米的正方形修建一座雕像． (1)求绿化的面积（用含的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本是200元/平方米，则完成绿化共需要多少元． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查整式的乘法与图形面积、代数式求值的应用，解题的关键是用代数式表示出绿化的面积． （1）用代数式表示出长方形和正方形的面积，求差即可； （2）将a，b的值代入（1）中结论可求出绿化的面积，乘以单价即可求出总费用． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ∴长方形孔部分的面积为 （2）当，时，原式 即完成绿化共需要（元) 9．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2)165 (3)15 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算． （1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、； （2）根据，将，，代入进行计算即可； （3）根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：， ∵，， ∴； （3）解：由图可得，， ∵， ∴． 10．（24-25八年级上·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； 【详解】（1）解：根据图1可得， 故答案为：． （2）解：根据图形可得， 故答案为：． （3）解：如图所示， 11．（24-25八年级上·四川泸州·期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 【答案】（1），；（2）；；；；（3）①；；②． 【分析】本题考查了规律的探究，整式的运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式的乘法运算法则，仿照示例，可得到规律，根据所得到规律得； （2）根据（1）中的规律，即可求解； （3）①根据所得到的规律逆向运算，得到因式分解的结果， ②根据规律，分解因式即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴， 类似地，， 故答案为：，； （2）， ， ， ， 故答案为：；；；； （3）①； ； 故答案为：；； ② ． 地 城 考点06 同底数幂的除法 2025年11月16日初中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方，解题关键是熟练掌握相关运算法则．根据同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方运算法则对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C正确，符合题意； D、，故选项D错误，不符合题意； 故选：C ． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，包括合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方等知识．根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方法则逐项分析即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故不正确；     B．，故不正确；     C．，故不正确；     D．，故正确； 故选D． 3．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方等．根据相关运算法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知，，，则的值是（   ） A．212 B．54 C．31 D．27 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，熟知同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法是正确解决本题的关键． 逆用幂的运算，把变形成，再代入计算即可． 【详解】解：， ，，， ， 故答案为：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·全国·期末） 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，熟记任何非零数的零次幂都等于1是解题的关键． 根据零指数幂的法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 6．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若，则a＝ ． 【答案】或2或0 【分析】本题主要考查了零次幂、有理数乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据任何非零数的零次幂为1、1的任何次幂均为1、的偶次方为1成为解题的关键． 【详解】解：由题意可得或，解得或； 当时，． 综上，a可取值或2或0． 故答案为：或2或0． 7．（24-25八年级上·湖南永州·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题可根据同底数幂的除法运算法则，将转化为，再代入已知条件进行计算．本题主要考查了同底数幂的除法法则，熟练掌握同底数幂的除法法则（是解题的关键． 【详解】解：∵  ， ， ∴ 故答案为：． 8．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂和逆用积的乘方幂，根据零指数幂和积的乘方计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 9．（24-25八年级上·河南辉县市·期末），，则的值为 【答案】/ 【分析】此题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，解题的关键是掌握运算法则． 首先利用幂的乘方的逆运算得到，然后根据同底数幂的除法的逆运算求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据乘方，零指数幂运算法则计算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 11．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的计算，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可； （2）根据积的乘方和同底数幂的除法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（24-25八年级上·广东湛江·期末）（1）若，求m的值； （2）若n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）m的值为15；（2）512 【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到，再解方程即可； （2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值． 【详解】（1）解：原式 即，则，即， ∴m的值为15； （2）解：原式． ∴的值为512． 13．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）在数学研究活动中，老师给学生们布置了一些有趣的数学题目．小明和小红是研究活动中的积极成员，他们决定一起讨论并解决这些问题．请你帮助他们完成这些计算． (1)小明在活动中遇到了一道题目：已知，，求的值．请你帮助小明解答这个问题． (2)小红在活动中也遇到了一道题目：已知，，求的值．请你帮助小红解答这个问题． 【答案】(1) (2)26 【分析】本题考查幂的运算，完全平方公式变形计算： （1）利用幂的乘方和同底数幂的除法的逆用进行计算即可； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·河南南阳·期末）（阅读理解问题）认真阅读下面材料，回答问题： 例如：已知，求的值． 解：，． 回答问题： (1)若，求的值； (2)如果，求的值 【答案】(1)； (2) 【分析】（）由可得，再仿照阅读材料解答即可求解； （）利用幂的乘方和同底数幂乘法的逆运算可得，进而即可求解； 本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和除法的逆应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 15．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）一般地，个相同的因数相乘，记为，其中称为底数，称为指数；若已知，易知，若，则该如何表示？一般地，如果且，那么叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．如，则叫做以为底的对数，记为；故中，． (1)熟悉下列表示法，并填空： ， ， ， ， ， ， ， ______，计算：______； (2)观察（1）中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现______；（用对数表示结果） (3)于是我们猜想：______且，，请你请根据幂的运算法则及对数的含义证明你的结论； (4)根据之前的探究，直接写出______． 【答案】(1)4，5 (2) (3)，证明见解析 (4) 【分析】（1）根据指数和对数的定义进行解答即可； （2）由（1）中结果可得答案； （3）利用“指数”和“对数”的定义，以及同底数幂的乘法进行计算即可； （4）利用（3）中的方法以及同底数幂的除法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：由（1）可得，， 故答案为：； （3）解：， 证明：设，则， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为：； （4）解：， 证明：设，则，， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，掌握同底数幂的乘除法的计算法则以及指数与对数的定义是正确解答的前提． 地 城 考点07 平方差公式 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．由题意得，将代入计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 故选：B ． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的运算以及平方差公式．根据多项式乘多项式法则，可得，从而求出a，b的值，进而代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，例如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（   ） A．255048 B．257024 C．257048 D．255024 【答案】D 【分析】先根据平方差公式推导出“和谐数”的表达式，然后确定其取值范围，最后进行求和计算．本题主要考查了平方差公式的应用以及数列求和，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：设两个连续奇数分别为和（为正整数） “和谐数” “和谐数”不超过 为正整数 的最大值为 所有“和谐数”之和为 故选：D． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，解答即可． 本题考查了平方差公式，熟练掌握公式的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，得． 故选：D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·全国·期末）若且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用能力，解题的关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算，运用平方差公式进行计算、求解． 【详解】解：， ， 故答案为：2． 6．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，先把原式变形为，然后利用平方差公式计算，即可得出答案．解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题可先根据平方差公式计算，再根据单项式乘多项式法则计算，最后合并同类项得到结果． 本题主要考查了平方差公式和单项式乘多项式法则，熟练掌握平方差公式以及单项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解： 故填： 8．（24-25八年级上·全国·期末）若，则值为 ． 【答案】9 【分析】利用平方差公式，进行变形，再将数值代入求解． 本题主要考查平方差公式，利用整体代入求解是求解的关键，也是解此题的难点． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）小江将展开后得到，小华将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为 ． 【答案】4043 【分析】根据完全平方公式展开求出，，根据平方差公式求值即可． 本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟悉公式的结构特点是解题的关键． 【详解】解：∵展开后得到， ∴； ∵展开后得到， ∴， ∴ ． 故答案为：4043． 10．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）若实数满足方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，平方差公式，将原式进行适当的变形是解答关键． 将方程组中的第二个方程整理后求出的值，再利用平方差公式进行变形，将各自的值代入求解． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴，， 即，， ∴ 故答案为∶ 三、解答题 12．（24-25八年级上·青海西宁·期末）先化简再求值，已知．求的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先根据多项式除以单项式，平方差公式去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 13．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了利用平方差公式计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： … ． 14．（24-25八年级上·河南新乡·期末）观察下列等式，并回答问题 ， ， ， ， …… (1)将2028写成两整数平方差的形式： ________________ (2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 【答案】(1)507；； (2)；验证见解析 【分析】本题主要考查了找规律，用代数式表示，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律． （1）利用题意得到，根据进行整理，即可解题； （2）根据题中等式进行归纳即可表示出该规律，再利用整式的运算法则即可验证． 【详解】（1）解：由题中等式可知，（为正整数）， ， ． （2）解：由题中等式可知，这一规律为：， 右边 ． 即左边右边， 这一规律成立． 地 城 考点08 完全平方公式 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、单项式乘单项式、合并同类项及积的乘方，掌握相关的法则是解题的关键．根据完全平方公式、单项式乘单项式、合并同类项及积的乘方进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东·期末）若，，则代数式的值为（） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式进行因式分解，再将，代入计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选C． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法运算法则，积的乘方运算法则，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法运算、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法运算逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 先由平方差公式进行两次计算，再由完全平方公式计算． 【详解】解： ， 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·期末）若 ，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，利用平方差公式可得，进而可得，再根据完全平方公式的变形运算即可求解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 6．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）已知，则（           ） A．36 B．40 C．34 D．50 【答案】B 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据，然后将代入计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 7．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知，那么的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式的结构是解题关键．由已知条件可得，，，再将代数式转化为三个数两两之差的平方和的一半的形式，代入计算求值即可． 【详解】解： ，，， ，， ， 故选：A 8．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若是一个完全平方式，则m的值（ ） A．10 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据二倍乘积项求解． 这里首末两项是和5的平方，那么中间项为加上或减去和5的乘积的2倍． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得． 故选． 9．（24-25八年级上·四川泸州·期末）四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，全等三角形的性质，正确得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积是解题的关键． 根据阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察图形，得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积 即阴影部分的面积等于， 故选：C 10．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，根据图形中各个部分面积与总面积的关系可得答案．掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分面积是解决问题的关键． 【详解】解：∵总体大正方形的边长为，则面积为， 中间小正方形的边长为，则面积为， 个长方形的面积为， 又∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于个长方形的面积， ∴． 故选：D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·四川成都·期末）若，则的值为 ． 【答案】35 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．利用完全平方公式计算即可求出m，n的值，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： ． 12．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 先根据完全平方公式得到，再解方程即可． 【详解】解： 解得：， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·重庆巴南·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】19 【分析】本题考查了完全平方公式的计算，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． 运用完全平方公式展开得到，，即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14．（24-25八年级上·全国·期末）已知实数满足，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】化成，后利用非负数的性质解答即可． 本题考查了完全平方公式，实数的非负性，平方根，熟练掌握公式和非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 解得， 故的平方根是， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知，则的值是 ． 【答案】98 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求值，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键．把已知条件两边分别平方，然后整理即可求解．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：． 【详解】解：， ∴， ， ． 故答案为：98． 16．（24-25 八年级上·上海·江西上饶·期末）已知，则的值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查分式的求值，方程两边同时除以，得到，进而得到，再利用完全平方公式的变形进行计算即可． 【详解】解：∵，当时，方程不成立， ∴， ∴方程两边同时除以，得， ∴， ∴； 故答案为：14． 17．（24-25八年级上·广东深圳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：． 三、解答题 18．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）化简： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，乘法公式，掌握相关运算法则是解题关键．先计算完全平方公式和平方差公式，再去小括号，然后去大括号，最后计算除法即可． 【详解】解：原式 ． 19．（25-26八年级上·河南新乡·期末）【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． 【验证】如，10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和：_________________； 【探究】设【发现】中的两个已知正整数为，请证明【发现】中的结论； 【拓展】已知，求的值． 【答案】【验证】；【探究】见解析；【拓展】39 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算，体现了整体思想，解题的关键是掌握完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算法则． 【验证】根据题意，将10的一半表示为两个正整数的平方和即可； 【探究】用代数式表示出两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和，再根据完全平方公式，合并同类项法则计算即可求解，分析奇偶性证明结论． 【拓展】根据题意将表示出来，然后进行化简即可． 【详解】【验证】； 【探究】证明：∵， ∴两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半是两个正整数的平方和； 【拓展】解： ∵ 由【探究】可知： ∴ ． 20．（25-26八年级上·全国·期末）对于任意实数，我们规定：，例如：，． (1)填空： ①______； ②若，则______； ③若，则______0；（填“”“”或“”） (2)若，且，求与的值． 【答案】(1)①10；②3；③； (2)，． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，一元一次方程，二元一次方程，代数式求值．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）①由题意知，，计算求解即可；②由题意知，-6，计算求解即可；③由题意知，，则，然后作答即可； （2）由题意知，，整理得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）（1）①由题意知，10， 故答案为：10； ②由题意知，， 解得，， 故答案为：3； ③由题意知，， 故答案为：； （2）解：∵， ，整理得，， ， ， ， ∴的值为，的值为1． 21．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图②的大正方形． (1)仔细观察图①、图②，请你写出代数式，，之间的等量关系是________． (2)根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； ③已知，求的值． 【答案】(1) (2)①3；②；③ 【分析】本题主要考查完全平方公式，数形结合及灵活应用是解题的关键． （1）分别用表示出图①和图②，从而即可得出等式； （2）①通过（1）中的结论变形即可求解； ②设，，则，，利用（1）中结论求解即可； ③设，通过等量代换及（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：图②大正方形得面积为，它由图①中种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成的， ∴图②大正方形的面积为， ∴； （2）解：①， ． ． ， ； ②设，，则，， ∵， ∴， 解得， 故； ③设，则，． ， ， ， ， ， 即， ． 22．（24-25八年级上·福建福州·期末）对于一个正整数，若存在正整数，使得能表示为和的平方差，那么称这个正整数为系平方差数．例如：，则20为6系平方差数． (1)直接写出5系平方差数______ (2)已知为系平方差数，求的值． (3)已知，为正整数，，且为系平方差数． ①直接写出与之间的数量关系______； ②若是系平方差数，请写出是______系平方差数（用含的代数式来表示）；并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①  ② 【分析】本题考查了平方差公式，新定义，完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键. （1）根据系平方差数定义解答即可； （2）根据系平方差数定义建立方程，求出值即可得解； （3）①根据系平方差数定义建立关于和的方程即可得解； ②由是系平方差数得到，再结合，推出，，，进而代入求解即可. 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：依题意可知， ， 整理得， 解得， ； （3）解：， 为系平方差数，且， ， 故答案为：； 是系平方差数， ， ， 由①得， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设是系平方差数，则， ∴， ∴， ∴是系平方差数． 故答案为：． 23．（24-25八年级上·江西九江·期末）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 【答案】解决问题：（1）；是“完全数”（2）4或；探究问题：（3）；（4）；拓展结论：1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． 解决问题（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； 探究问题（3）根据即可求解； （4）根据，即可求解； 拓展结论：根据题意可得即可求解； 【详解】解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为； 是“完全数”，理由：因为； 故答案为：；是“完全数”． （2）， ，或， 或， 故答案为：4或； 探究问题：（3）， ，， ； 故答案为：． （4）， 由题意得：， ； 拓展结论：， ； 当时，最小，最小值为1． 故答案为：1． 24．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】(1)当时，代数式的最小值为 (2) (3)5米，25 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案； （3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 试卷第1页，共3页 1 / 68 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘法 8大高频考点概览 考点01同底数幂的乘法 考点02幂的乘方和积的乘方 考点03单项式乘以单项式 考点04单项式乘以多项式 考点05多项式乘以多项式 考点06同底数幂的除法 考点07平方差公式 考点08完全平方公式 地 城 考点01 同底数幂的乘法 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川乐山·期末）计算（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）若实数x满足，则的值为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 5．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知，则 ． 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）计算： ． 9．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若，，则的值是 ，的值是 ． 10．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）计算 （计算结果用科学记数法表示）． 三、解答题 11．（24-25八年级上·陕西延安·期末）若，求的值． 12．（24-25八年级上·河南许昌·期末）已知，． (1)直接写出结果：__________； (2)求的值； (3)利用乘法公式计算：的值． 13．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）根据乘方的意义可知： 一般地，对于任意不为0的底数a与任意正整数m，n，． 同理，我们有（，m，n都是正整数，并且）． 例如：． 根据所学知识，解决以下问题： (1)已知，则_______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，，请解关于s的方程：． 14．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】 我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： _____； _____； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，， 例如，． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算，写出计算过程； （3）猜想，并说明理由． 地 城 考点02 幂的乘方和积的乘方 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知，则“”内填（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算，其中第①步运算的依据是(　　) A．幂的乘方法则 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 6．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ． 8．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算：的结果为 ． 9．（24-25八年级上·吉林白城·期末）计算： ． 10．（24-25八年级上·四川绵阳·期末） ；若，则 ． 11．（24-25八年级上·辽宁·期末）若，，则 ． 12．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知，则的值为 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·广东湛江·期末）（1）若，求m的值； （2）若n为正整数，且，求的值． 14．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 16．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： (1)已知，试用含m，n的代数式表示； (2)已知，试用含m，n的代数式表示； (3)已知，试将用含a、b、c的代数式表示出来． 地 城 考点03 单项式乘以单项式 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东汕头·期末）计算：（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南周口·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·天津滨海新·期末）计算： ． 5．（24-25八年级上·全国·期末）计算： ． 6．（24-25八年级上·全国·期末）计算 ． 7．（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ． 9．（24-25八年级上·四川巴中·期末）我国陆地面积约是，平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量约相当于燃烧煤所产生的能量，求在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧 吨煤所产生的能量． 三、解答题 10．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算：． 11．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算： 地 城 考点04 单项式乘以多项式 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）一个长方体的长，宽，高分别是3m，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）为做好乡村振兴工作，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所．已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图是边长分别为a和b的两个正方形，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）计算： ． 7．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现规定一种新的运算，，其中，为实数，那么等于 ． 8．（24-25八年级上·广东汕头·期末）图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． (1)被污染的整式________；________； (2)已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 10．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 11．（24-25八年级上·黑龙江·期末）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中，，． 13．（24-25八年级上·全国·期末）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 14．（24-25八年级上·全国·课后作业）如下是明明的课后作业，阅读并完成下列任务： 化简：． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)任务一：上述化简过程在第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)任务二：写出正确的化简过程． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 地 城 考点05 多项式乘以多项式 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级上·青海海北·期末）下列各式中，两式相乘得的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 二、解答题 4．（25-26八年级上·河南新乡·期末）先化简，再求值：，其中． 5．（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中． 6．（24-25八年级·江苏盐城·期末）[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 8．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，现有一块长为米、宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间预留边长为米的正方形修建一座雕像． (1)求绿化的面积（用含的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本是200元/平方米，则完成绿化共需要多少元． 9．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 10．（24-25八年级上·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 11．（24-25八年级上·四川泸州·期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 地 城 考点06 同底数幂的除法 2025年11月16日初中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知，，，则的值是（   ） A．212 B．54 C．31 D．27 二、填空题 5．（25-26八年级上·全国·期末） 6．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若，则a＝ ． 7．（24-25八年级上·湖南永州·期末）若，，则 ． 8．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末） ． 9．（24-25八年级上·河南辉县市·期末），，则的值为 三、解答题 10．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）计算：． 11．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算： (1) (2) 12．（24-25八年级上·广东湛江·期末）（1）若，求m的值； （2）若n为正整数，且，求的值． 13．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）在数学研究活动中，老师给学生们布置了一些有趣的数学题目．小明和小红是研究活动中的积极成员，他们决定一起讨论并解决这些问题．请你帮助他们完成这些计算． (1)小明在活动中遇到了一道题目：已知，，求的值．请你帮助小明解答这个问题． (2)小红在活动中也遇到了一道题目：已知，，求的值．请你帮助小红解答这个问题． 14．（24-25八年级上·河南南阳·期末）（阅读理解问题）认真阅读下面材料，回答问题： 例如：已知，求的值． 解：，． 回答问题： (1)若，求的值； (2)如果，求的值 15．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）一般地，个相同的因数相乘，记为，其中称为底数，称为指数；若已知，易知，若，则该如何表示？一般地，如果且，那么叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．如，则叫做以为底的对数，记为；故中，． (1)熟悉下列表示法，并填空： ， ， ， ， ， ， ， ______，计算：______； (2)观察（1）中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现______；（用对数表示结果） (3)于是我们猜想：______且，，请你请根据幂的运算法则及对数的含义证明你的结论； (4)根据之前的探究，直接写出______． 地 城 考点07 平方差公式 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，例如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（   ） A．255048 B．257024 C．257048 D．255024 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·全国·期末）若且，则 ． 6．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）计算： ． 7．（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 8．（24-25八年级上·全国·期末）若，则值为 ． 9．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）小江将展开后得到，小华将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为 ． 10．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）若实数满足方程组，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 三、解答题 12．（24-25八年级上·青海西宁·期末）先化简再求值，已知．求的值． 13．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 14．（24-25八年级上·河南新乡·期末）观察下列等式，并回答问题 ， ， ， ， …… (1)将2028写成两整数平方差的形式： ________________ (2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 地 城 考点08 完全平方公式 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东·期末）若，，则代数式的值为（） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·期末）若 ，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）已知，则（           ） A．36 B．40 C．34 D．50 7．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知，那么的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若是一个完全平方式，则m的值（ ） A．10 B． C．20 D． 9．（24-25八年级上·四川泸州·期末）四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·四川成都·期末）若，则的值为 ． 12．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则m的值为 ． 13．（24-25八年级上·重庆巴南·期末）已知，，则的值为 ． 14．（24-25八年级上·全国·期末）已知实数满足，那么的平方根是 ． 15．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知，则的值是 ． 16．（24-25 八年级上·上海·江西上饶·期末）已知，则的值为 ． 17．（24-25八年级上·广东深圳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为 ． 三、解答题 18．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）化简： 19．（25-26八年级上·河南新乡·期末）【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． 【验证】如，10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和：_________________； 【探究】设【发现】中的两个已知正整数为，请证明【发现】中的结论； 【拓展】已知，求的值． 20．（25-26八年级上·全国·期末）对于任意实数，我们规定：，例如：，． (1)填空： ①______； ②若，则______； ③若，则______0；（填“”“”或“”） (2)若，且，求与的值． 21．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图②的大正方形． (1)仔细观察图①、图②，请你写出代数式，，之间的等量关系是________． (2)根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； ③已知，求的值． 22．（24-25八年级上·福建福州·期末）对于一个正整数，若存在正整数，使得能表示为和的平方差，那么称这个正整数为系平方差数．例如：，则20为6系平方差数． (1)直接写出5系平方差数______ (2)已知为系平方差数，求的值． (3)已知，为正整数，，且为系平方差数． ①直接写出与之间的数量关系______； ②若是系平方差数，请写出是______系平方差数（用含的代数式来表示）；并说明理由． 23．（24-25八年级上·江西九江·期末）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 24．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 试卷第1页，共3页 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $