第6章 第4节 第2课时-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

第六章 平面向量、复数 第四节　解三角形 第二课时　余弦定理、正弦定理应用举例 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 01 基础知识必备 02 考点知识突破 03 高考预测练 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 仰角 俯角 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 　 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 　 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 A 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 　 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 C 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 “课下练习”见“高考预测练（二十五）” (单击进入电子文档) 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 1．仰角和俯角 目标视线与水平线所成的角，在水平线上方叫　　　，下方叫________(如图①)． 2．方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图②)． 3．方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． 4．坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 测量距离问题 (2025·福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________． 【解析】　由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°， 由正弦定理得 AC＝eq \f(80sin 150°,sin 15°)＝eq \f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq \r(6)＋eq \r(2))． 在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°， 由正弦定理eq \f(CD,sin∠CBD)＝eq \f(BC,sin∠BDC)， 得BC＝eq \f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(80×sin 15°,\f(1,2))＝160sin 15°＝40(eq \r(6)－eq \r(2))． 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4eq \r(3))＋1 600×(8－4eq \r(3))＋2×1 600×(eq \r(6)＋eq \r(2))×(eq \r(6)－eq \r(2))×eq \f(1,2)＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，解得AB＝80eq \r(5).故图中海洋蓝洞的口径为80eq \r(5). 【答案】　80eq \r(5) 解决距离问题的两个注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理． 测量高度问题 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点) 【解】　在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1 km， 因为∠ABD＝120°， 由正弦定理得eq \f(AB,sin ∠ADB)＝eq \f(AD,sin∠ABD)， 解得AD＝eq \r(3) km，在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)CD，即CD2＋3CD－6＝0， 解得CD＝eq \f(\r(33)－3,2)km，BC＝BD＋CD＝eq \f(\r(33)－1,2)km， 两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(米)， 即2.5千米，而eq \f(\r(33)－1,2)<eq \f(\r(36)－1,2)＝eq \f(5,2)＝2.5. 所以两位登山爱好者能在2个小时内徒步登上山峰． [针对训练] 1．(2025·吉林长春质量监测四)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？ 其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)(　　) A．1 255步　　　　 B．1 250步 C．1 230步 D．1 200步 解析：因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以eq \f(BF,HF)＝eq \f(BC,AH).因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以eq \f(DG,HG)＝eq \f(DE,AH).又BC＝DE，所以eq \f(BF,HF)＝eq \f(DG,HG)，即eq \f(123,123＋HB)＝eq \f(127,127＋1 000＋HB)，所以HB＝30 750步， 又eq \f(BF,HF)＝eq \f(BC,AH)，所以AH＝eq \f(5×30 750＋123,123)＝1 255(步)．故选A. 解决高度问题应注意的3个问题 (1)要理解仰角、俯角的定义． (2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形． (3)注意山或塔垂直底面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝__________m. 100eq \r(6) 解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又AB＝600 m， 故由正弦定理得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)， 解得BC＝300eq \r(2) m. 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300eq \r(2)×eq \f(\r(3),3)＝100eq \r(6)(m)． 测量角度问题 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2eq \r(3)－2)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小． 【解】　(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2eq \r(3)－2，BC＝4，根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(2eq \r(3)－2)2＋42＋(2eq \r(3)－2)×4＝24， 所以AC＝2eq \r(6). (2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝eq \f(4×\f(\r(3),2),2\r(6))＝eq \f(\r(2),2)， 所以∠CAB＝45°. 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 提醒　方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． [针对训练] 3．一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12eq \r(6)海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12eq \r(3)海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的(　　) A．正西方向 B．南偏西75°方向 C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向 解析：如图：在△ABD中，B＝45°，由正弦定理有eq \f(AD,sin 45°)＝eq \f(AB,sin 60°)， AD＝eq \f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24. 在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°，因为AC＝12eq \r(3)，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得eq \f(CD,sin 30°)＝eq \f(AC,sin∠CDA)，sin∠CDA＝eq \f(\r(3),2)，故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°. 所以灯塔C位于游轮的南偏西60°方向． 因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°. $