第6章 第4节 第1课时-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

第六章 平面向量、复数 第四节　解三角形 第一课时　余弦定理、正弦定理 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 01 基础知识必备 02 考点知识突破 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 　 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 B 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 　 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 B 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 　 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 【答案】　ABC 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 A 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第六章 平面向量、复数 返回导航 下一页 上一页 1．正弦定理 (1)定理：在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R， 其中R为△ABC的外接圆半径． (2)变形：a＝2Rsin A，sin A＝eq \f(a,2R)，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理 (1)定理：在△ABC中， a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2accos B， c2＝_________________________. (2)变形：cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)， b2＋c2－a2＝2bccos A等． a2＋b2－2abcos C 3．三角形面积公式 (1)正弦定理推论： S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝___________. (2)其他常用公式方法 S＝eq \f(1,2)底×高；S＝eq \f(1,2)×C×r，(C为周长，r为内切圆半径)等． eq \f(1,2)acsin B 正弦定理、余弦定理的应用 (2024·全国甲卷(理))在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝eq \f(π,3)，b2＝eq \f(9,4)ac，则sin A＋sin C＝(　　) A.eq \f(2\r(39),13) B.eq \f(\r(39),13) C.eq \f(\r(7),2) D.eq \f(3\r(13),13) 【解析】　由正弦定理得eq \f(9,4)sin Asin C＝sin2B，因为B＝eq \f(π,3)，所以sin Asin C＝eq \f(4,9)sin2B＝eq \f(1,3).由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝eq \f(9,4)ac，所以a2＋c2＝eq \f(13,4) ac，所以sin2A＋sin2C＝eq \f(13,4)sin Asin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝eq \f(21,4)sin Asin C＝eq \f(7,4)，又sin A＞0，sin C＞0，所以sin A＋sin C＝eq \f(\r(7),2). 【答案】　C 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用公式a＝eq \f(bsin A,sin B)，b＝eq \f(asin B,sin A)，c＝eq \f(asin C,sin A)或其他相应变形公式求解． (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝eq \f(asin B,b)，sin B＝eq \f(bsin A,a)，sin C＝eq \f(csin A,a)或其他相应变形公式求解． (3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解． (4)利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． [针对训练] 1．(一题多解)(2025·广西五市联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°，B为锐角，那么A∶B∶C为(　　) A．1∶1∶3　　　　 B．1∶2∶3 C．1∶3∶2 D．1∶4∶1 解析：法一：由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)， 得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2). 因为B为锐角，所以B＝60°， 则C＝90°，故A∶B∶C＝1∶2∶3，故选B. 法二：由a2＝b2＋c2－2bccos A，得c2－3c＋2＝0， 解得c＝1或c＝2. 当c＝1时，△ABC为等腰三角形，B＝120°，与已知矛盾， 当c＝2时，a<b<c，则A<B<C，排除选项A，C，D，故选B. 利用正、余弦定理判断三角形形状 (1)(一题多解)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 (2)在△ABC中，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为________． 【解析】　(1)法一：因为bcos C＋ccos B＝b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(2a2,2a)＝a，所以asin A＝a即sin A＝1，故A＝eq \f(π,2)，因此△ABC是直角三角形．故选A. 法二：因为bcos C＋ccos B＝asin A， 所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2 A， 即sin(B＋C)＝sin2 A，所以sin A＝sin2 A， 故sin A＝1，即A＝eq \f(π,2)，因此△ABC是直角三角形．故选A. (2)因为c－acos B＝(2a－b)cos A，所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A， 所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A， 故cos A(sin B－sin A)＝0， 所以cos A＝0或sin A＝sin B， 即A＝eq \f(π,2)或A＝B， 故△ABC为等腰或直角三角形． 【答案】　(1)A　(2)等腰或直角三角形 判断三角形形状的方法 化边 通过因式分解、配方等得到边的相对应关系，从而判断三角形的形状 化角 通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状(此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论) [针对训练] 2．(2025·广西桂林阳朔三校调研)在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．非钝角三角形 解析：因为a∶b∶c＝3∶5∶7，所以可设a＝3t，b＝5t，c＝7t，由余弦定理可得cos C＝eq \f(9t2＋25t2－49t2,2×3t×5t)＝－eq \f(1,2)，所以C＝120°，△ABC是钝角三角形，故选B. 与三角形面积有关的问题 角度一　计算三角形的面积 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝eq \r(2)cos B，a2＋b2－c2＝eq \r(2)ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋eq \r(3)，求c. 解：(1)第1步：利用余弦定理求C 由余弦定理得cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(2),2)， 又0＜C＜π，∴C＝eq \f(π,4). 第2步：将C代入已知等式求B ∴eq \r(2)cos B＝sin C＝eq \f(\r(2),2)，∴cos B＝eq \f(1,2)， 又0＜B＜π，∴b＝eq \f(π,3). (2)第1步：求A 由(1)得A＝π－B－C＝eq \f(5π,12)， 第2步：利用正弦定理得出a，c的关系 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，得eq \f(a,\f(\r(2)＋\r(6),4))＝eq \f(c,\f(\r(2),2))， ∴a＝eq \f(1＋\r(3),2)c. 第3步：利用三角形面积公式求c ∴△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1＋\r(3),4)c2×eq \f(\r(3),2)＝3＋eq \r(3)，得c＝2eq \r(2). 求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积． (2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 角度二　已知三角形的面积解三角形 (多选)(2025·全国一卷)已知△ABC的面积为 eq \f(1,4)，cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos A cos B sin C＝ eq \f(1,4)，则(　　) A．sin C＝sin2A＋sin2B B．AB＝ eq \r(2) C．sin A＋sin B＝ eq \f(\r(6),2) D．AC2＋BC2＝3 【解】　A正确，cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sinC＝2，所以sin2A＋sin2B＝sinC. B正确，令a＝BC，b＝AC，c＝AB，则 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC的外接圆半径)，由sin2A＋sin2B＝sinC，得a2＋b2＝c·2R≥c2.若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形，则A＋B> eq \f(π,2)，即A> eq \f(π,2)－B，则sin A>sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cos B，所以sin C＝sin2A＋sin2B>cos2B＋sin2B＝1，矛 盾．故a2＋b2＝c2，即C＝A＋B＝ eq \f(π,2)，所以cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝0，又cos A cos B sin C＝cos A cos B＝ eq \f(1,4)，所以sin A sin B＝ eq \f(1,4).因为S△ABC＝ eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)ab＝ eq \f(1,4)，所以ab＝ eq \f(1,2)，所以 eq \f(ab,sin A sin B)＝(2R)2＝ eq \f(\f(1,2),\f(1,4))＝2，所以2R＝ eq \r(2)，所以c＝2R·sin C＝ eq \r(2). C正确，(sin A＋sin B)2＝sin2A＋sin2B＋2sinA sin B＝sin C＋2sin A sin B＝1＋2× eq \f(1,4)＝ eq \f(3,2)，所以sin A＋sin B＝ eq \f(\r(6),2). D错误，AC2＋BC2＝AB2＝c2＝2.故选ABC. 已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意]　正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用． [针对训练] 3．(2025·山东济南市模拟考试)在△ABC中，AC＝eq \r(5)，BC＝eq \r(10)，cos A＝eq \f(2\r(5),5)，则△ABC的面积为(　　) A.eq \f(5,2) B．5 C．10 D.eq \f(\r(10),2) 解析：由AC＝eq \r(5)，BC＝eq \r(10)，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcos A，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sin A＝eq \r(1－cos2A)＝eq \f(\r(5),5)，故S△ABC＝eq \f(1,2)×5×eq \r(5)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(5,2).故选A. 角度三　求三角形面积的最值 　在平面四边形ABCD中，边BC上有一点E，∠ADC＝120°， AD＝3，sin∠ECD＝eq \f(2,3)， DE＝eq \r(3)，CE＝eq \f(3\r(3),4). (1)求AE的长； (2)已知∠ABC＝60°，求△ABE面积的最大值． 【解】　(1)在△CED中，由正弦定理可得eq \f(DE,sin∠ECD)＝eq \f(CE,sin∠CDE)， 即eq \f(\r(3),\f(2,3))＝eq \f(\f(3\r(3),4),sin∠CDE)，所以sin∠CDE＝eq \f(1,2)， 因为CE<DE，所以∠CDE是锐角，故∠CDE＝30°， 又∠ADC＝120°，所以∠ADE＝90°， 在直角三角形ADE中，AE2＝AD2＋DE2＝32＋3＝12，所以AE＝2eq \r(3). (2)在△ABE中，AE＝2eq \r(3)，∠ABC＝60°， 由余弦定理可得：AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos 60°， 12＝AB2＋BE2－AB·BE， 因为AB2＋BE2≥2AB·BE， 所以AB·BE＋12≥2AB·BE， 所以AB·BE≤12，当且仅当AB＝BE＝2eq \r(3)时等号成立，从而，S△ABE＝eq \f(1,2)AB·BEsin 60°＝eq \f(\r(3),4)AB·BE≤3eq \r(3). 所以△ABE面积的最大值为3eq \r(3). 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题 在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解． [针对训练] 4．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝eq \r(3)，AC⊥CD，CD＝eq \r(3)AC，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为　　. 3eq \r(3) 解析：设∠ABC＝α，∠ACB＝β，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝4－2eq \r(3)cos α. 由正弦定理得eq \f(AB,sin β)＝eq \f(AC,sin α)，所以sin β＝eq \f(sin α,\r(4－2\r(3)cos α)). 又CD＝eq \r(3)AC，在△BCD中， 由余弦定理得BD2＝3＋3(4－2eq \r(3)cos α)－2eq \r(3)×eq \r(3)×eq \r(4－2\r(3)cos α)×coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,2)))， 即BD2＝15－6eq \r(3)cos α＋6sin α＝15＋12sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))). 当α＝eq \f(5π,6)时，BD取得最大值3eq \r(3). $