第5章 概率（复习课件）数学湘教版必修第二册

该高中数学概率单元复习课件系统梳理了随机事件、古典概型、频率与概率、事件独立性等核心知识，通过单元知识图谱将样本空间、事件运算、概率公式等内容串联，构建“概念-模型-运算-应用”的逻辑脉络，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于“考点串讲-题型剖析-针对训练”的递进式复习策略，如用“三步法”判断事件关系培养数学思维，通过频率估计概率的训练发展数据观念。分层设计的题型和训练题兼顾不同水平学生，助力教师精准教学，有效提升学生用数学语言表达和解决实际问题的能力。

单元复习课件 第5章 概率 湘教版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能从随机现象中抽象出样本点、样本空间、随机事件等概念，用集合语言准确表示事件及其关系，形成对随机现象的数学化理；解。。 5.能将生活中的随机问题转化为概率模型，运用分类、分步、正难则反等策略求解，提升用概率模型分析与解决真实问题的建模能力。 2.能依据事件的互斥、对立、独立关系进行逻辑判断，合理运用概率性质与运算法则展开推理，清晰表达解题思路与依据； 3.能识别古典概型，正确计数基本事件数，规范运用加法公式、对立公式、乘法公式进行概率运算，做到步骤严谨、结果准确； 4.能理解频率与概率的关系，借助统计图表与试验数据估计概率，初步具备用数据解释随机现象、解决实际问题的意识与能力； 单元学习目标 本章数学本质 概率是研究随机现象规律的数学分支，其本质体现为“随机性与规律性的辩证统一”。本章教学以“概念理解→模型建构→运算与应用”为主线，帮助学生形成随机思想与统计观念。 1. 随机性视角 随机事件在一次试验中是否发生是不确定的、偶然的。每一次具体的试验结果无法事先预知，这是随机性的体现。 2. 规律性视角 在大量重复试验中，随机事件发生的频率趋于一个稳定常数——概率。偶然性背后蕴含着必然性，随机性中蕴含着规律性。认识了这种随机中的规律性，就可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。 本章数学本质 3 . 量化工具 概率是从数量上刻画随机事件发生可能性大小的数值，是连接“偶然”与“必然”的数学桥梁。 4. 运算体系 通过事件的运算（和事件、积事件）和概率的运算法则（加法公式、乘法公式），可以将复杂随机问题分解为简单事件的组合，实现概率的综合计算. 5. 核心思想 用确定的数值（概率）刻画不确定的现象，用确定的数学方法研究不确定的问题，体现了数学从确定性到概率性的认知飞跃。 单元知识图谱 一、随机现象与随机事件 1.1 随机现象 在自然界和人类社会中，普遍存在着两类现象，一类是在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象．另一类则是在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象． 随机现象有如下两个特点： (1)结果至少有两种 (2)事先并不知道会出现哪一种结果 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.2 样本空间 在概率与统计中，把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，一般用来表示，把观察结果或实验结果称为试验结果． 一般地，将试验的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间，记作．样本空间的元素，即试验的每种可能结果，称为试验的样本点，记作．如果样本空间 的样本点的个数是有限的，那么称样本空间为有限样本空间． 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.2 样本空间 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏.     (2)列表法     对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.2 样本空间 三种常见方法的比较 表示方法 适用情况 优点 注意点 列举法(枚举法) 适用于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题 计算时只需一一列举即可得出随机事件所包含的样本点 列举时必须按一定顺序，做到不重不漏 列表法 适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题 准确、全面、不易遗漏 通常把样本点归结为”有序实数对”,最常用的方法是坐标系法 树状图法 适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解 直观、全面不易重复 一般需要分步(两步或两步以上) 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.3 随机事件 一般地，把试验的样本空间的子集称为的随机事件,简称事件,常用等表示.在每次试验中,当一个事件发生时,这个子集中的样本点必出现一个;反之,当这个子集中的一个样本点出现时,这个事件必然发生. 样本空间是其自身的子集,因此也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点出现, 都必然发生,因此称为必然事件． 空集也是的一个子集,可以看作一个事件.由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称为不可能事件． 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.4 随机事件的运算 一般地,由事件与事件都发生所构成的事件，称为事件与事件的交事件(或积事件)，记作 或 )．事件 是由事件和事件所共有的样本点构成的集合． 事件与事件的交事件可用Venn图(如右图)表示． 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.4 随机事件的运算 一般地，由事件和事件至少有一个发生(即发生，或发生，或都发生)所构成的事件，称为事件与事件的并事件(或和事件),记作事件与事件的并事件是由事件或事件所包含的样本点构成的集合． 事件与事件的并事件可用Venn图(如右图)表示． 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.4 随机事件的运算 一般地，不能同时发生的两个事件与()称为互斥事件．它可以理解为同时发生这一事件是不可能事件． 互斥事件可用Venn图(如右图)表示． 给定事件不发生也是一个事件，记为显然，每次试验要么发生，要么不发生(即发生)，故事件与事件不可能同时发生。即 A B 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.4 随机事件的运算 若，且，则称事件与事件互为对立事件，事件的对立事件记作. 对立事件可用Venn图(如右图)表示． A 对立必定互斥，但互斥未必对立 考点串讲 二、古典概型 2.1 古典概型的概率计算公式 对于一个随机事件，我们通常用一个数来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件的概率．概率度量了随机事件发生的可能性的大小，是对随机事件统计规律性的数量刻画． 一般地，若试验具有如下特征： (1)有限性:试验的样本空间的样本点总数有限，即样本空间为有限样本空间； (2)等可能性:每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性相等． 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型． 对古典概型来说，如果样本空间包含的样本点总数为，随机事件包含的样本点个数为，那么事件发生的概率为 考点串讲 二、古典概型 2.2 古典概型的应用 在一个试验中，如果事件和事件是互斥事件，那么有 这一公式称为互斥事件的概率加法公式． 特别地, 即，所以 一般地，如果事件两两互斥，那么有 考点串讲 三、频率与概率 频率的定义： 在n次重复试验中，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，即fn(A)＝m/n，称为事件A发生的频率。 概率的统计定义： 在大量重复试验中，频率总是在某个常数p附近摆动，而且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数p就是事件A的概率。 频率与概率的区别： 概率是客观存在的、固定的常数，是事件的固有属性 频率依赖于试验，是试验结果的统计量，具有随机性当试验次数很大时，频率是概率的近似值. 大数定律：大量重复试验时，频率趋近于概率，这是随机现象规律性的体现。 考点串讲 三、频率与概率 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫作随机事件的概率，记作．显然，．我们通常用频率来估计概率． 区别 联系 频率 频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且随着试验次数的改变而改变，与试验次数有关．例如，同一个人掷硬币5次，6次……得到正面朝上的频率可能是不同的． 频率是概率的近似值.随着试验次数的增加，频率通常会稳定在概率附近．在实际问题中，通常随机事 件的概率是未知的，常用频率作为概率的估计值． 概率 概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的稳定值，与每次试验无关，与试验的次数无关．例如，如果一个硬币质地均匀，则掷该硬币出现正面朝上的概率是 ，与做多少次试验无关． 考点串讲 1 定义 一般地，对于两个随机事件,,如果,那么称, 为相互独立 事件.（或者说，事件发生与否不影响事件 发生的概率） 四、事件的独立性 注： 1.若事件与相互独立，则与,与，与也相互独立．#1.1 2.事件, 独立与否有时很难从直观上作出判断,唯有经过概率之间的关系才可以作出理性而准确的判断.#1.1.2 考点串讲 2 独立事件的推广 独立事件可以推广到个事件的情形.一般地，如果事件,, , 相互独立，那么 互斥事件与相互独立事件的概率公式 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对其他事件发 生的概率没有影响. 两个或多个事件不可能同时发生. 概率公式 若事件与 相互独立，则 . 若事件与 互斥，则 . 四、事件的独立性 考点串讲 1 定义 互斥事件 对立事件 概念 若 ，即事件与 不可 能同时发生.这时，我们称， 为互斥事件. 若 ，并且 ，即互斥事 件， 中必有一个发生.这时，我们称 ，为对立事件，记作或 . 联 系 对立事件必为互斥事件，但反之不然. 对立事件是必有一个发生的互斥事 件. 五、互斥事件与对立事件 考点串讲 2 概率的加法公式 如果事件,互斥，那么事件发生的概率，等于事件, 分别发生的概率的 和，即 . 这是概率满足的第三个基本性质（亦称概率的加法公式）. 3 互斥事件的推广 互斥事件可以推广到个事件的情形如果事件，， ， 中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件，， ， 两两互斥. 如果事件,, , 两两互斥,那么 . . . 五、互斥事件与对立事件 考点串讲 知识剖析 （1）一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的. （2）事件与事件互斥表示事件与事件不可能同时发生，即与 两个事件 同时发生的概率 . （3）事件与事件互斥包含三种情况：①事件发生,不发生;②事件 不发生, 发生;③事件不发生, 也不发生. （4）若事件，互为对立事件，则 为必然事件.#1.1.3 五、互斥事件与对立事件 考点串讲 4 随机事件概率的其他常用性质 随机事件的概率还具有以下常用性质： （1） ;（对立事件的概率计算公式） （2）当时， ; （3）当,不互斥时， . 五、互斥事件与对立事件 考点串讲 题型01 事件的分类  C 题型剖析 题型01 事件的分类  题型剖析 题型01 事件的分类  题型剖析 题型剖析 29 题型02 事件的关系和运算 C 题型剖析 题型02 事件的关系和运算 两次都中靶 题型剖析 题型02 事件的关系和运算 题型剖析 题型02 事件的关系和运算 题型剖析 题型剖析 34 题型03 计算古典概型问题的概率 C 一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性． 题型剖析 题型03 计算古典概型问题的概率 D 题型剖析 题型剖析 37 D 题型04 概率的基本性质 题型剖析 D 题型04 概率的基本性质 题型剖析 题型剖析 40 D 题型05 相互独立事件与互斥事件 题型剖析 D 题型05 相互独立事件与互斥事件 题型剖析 B 题型05 相互独立事件与互斥事件 题型剖析 题型剖析 44 题型06 独立事件的乘法公式 题型剖析 题型06 独立事件的乘法公式 C 题型剖析 题型06 独立事件的乘法公式 C 题型剖析 题型剖析 48 题型07 频率与概率 C 题型剖析 题型07 频率与概率 题型剖析 题型07 频率与概率 题型剖析 题型剖析 52 题型08 概率与统计的交汇问题 D 题型剖析 题型08 概率与统计的交汇问题 A 题型剖析 题型剖析 55 题型09 概率综合问题 （2） 题型剖析 题型09 概率综合问题 题型剖析 题型09 概率综合问题 题型剖析 题型09 概率综合问题 题型剖析 C 针对训练 D 针对训练 C 针对训练 C 针对训练 C 针对训练 B 针对训练 B 针对训练 B 针对训练 C 针对训练 24 针对训练 0.6 针对训练 0.4 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 1、本章知识结构 课堂总结 80 1、本章知识结构 课堂总结 81 课堂总结 课堂总结 感谢聆听! 概率是研究随机现象规律性的数学分支，渗透于生活的方方面面。掌握概率的基本思想和方法，有助于我们更理性地认识世界、做出决策. 解题方法：判断事件关系“三步走” 步骤 操作 目的 第一步 明确样本空间Ω（所有可能结果） 确立全集 第二步 用集合表示事件A、B 转化为集合问题 第三步 计算A∩B（是否为空）、A∪B（是否等于Ω） 判断互斥、对立 例3-1．下列试验是古典概型的是（　　） A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球 B．在区间 上任取一个实数 ，使 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．某人射击中靶或不中靶 例3-2一个盒子中装有6个除颜色外都相同的小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球．若从中任取2个球，那么至少取到1个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【解析】一用，，表示3个白球，用，表示2个红球，用c表示黑球， 则该试验的样本空间可表示为 ，共有15个样本点． 其中至少取到1个红球包含9个样本点，分别为 ， 故所求概率为，故选：D． 解题方法： 1. 古典概型两条件，有限等可能是关键。 2. 总数事件分别数，除法公式求概率。 3. 两步试验列表法，三步以上树状图。 4. 抽取问题分放否，组合排列灵活用。 5. 实际情境建模先，等可能假设别忘记。 例4-1下列说法一定正确的是（    ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．随机事件发生的概率与试验次数无关 【解析】“百发百中”说明投中的可能性比较大，但有可能出现三投不中的可能，即A错误； “”是事件发生的可能性，掷6次也可能不出现一次2，即B错误； 买彩票中奖的概率为万分之一，也是事件发生的可能性，买一万元的彩票也可能一元不中，C错误； 随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关，D正确. 故选：D. 例4-2 抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续抛掷100次，则第99次出现正面向上的概率为（     ） A． B． C． D． 【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是一个随机事件，每次发生的概率都是，与抛掷的次数无关．故选：D. 解题方法： (1) 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. (2) 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A），P(A)=1P(B). (3) 如果，那么P（A）≤P（B）. (4) 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）. 例5-1 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【解析】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确．故选：D. 例5-2已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题可知：事件互斥，则，又， 所以，则. 故选：D. 例5-3在如图所示的并联电路中，元件A正常工作的概率为0.6，元件B正常工作的概率为0.7，且A，B元件工作状态相互独立．则整个电路正常工作的概率为（    ） A．0.42 B．0.88 C．0.7 D．0.6 【解析】当都不能正常工作时，整个电路就不能正常工作， 所以整个电路不能正常工作的概率为：， 所以整个电路正常工作的概率为：.故选：B. 解题方法： ①判断两个事件是否为互斥事件，注意看它们能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件；若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件． ②判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．两个事件是对立事件的前提是这两个事件是互斥事件 判断事件是否相互独立的方法 1、直接法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的，这是从定性的角度进行判断。 2、公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立. 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： （1）用恰当的字母表示题中有关事件； （2）根据题设条件，分析事件间的关系； （3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)； （4）利用乘法公式计算概率． 解题方法：频率与概率 频率的 稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性 频率稳定 性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A) 提醒：随机事件A发生的频率与概率的区别与联系 随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近． 概率与统计是高中数学中联系最为紧密的两个分支。在课程标准与高考命题中，二者经常融合考查，主要体现在： 用样本的频率估计总体的概率（统计推断的核心思想） 从统计图表（频率分布表、频率分布直方图、折线图等）中提取数据，计算概率 随机抽样与古典概型的结合（抽样方法保证等可能性） 统计中的“频率”与概率中的“概率”的辨析与应用 思想方法提炼 本章是概率论学习的入门，也是开启随机思维的第一步。概率研究的核心是 “用确定性方法研究不确定性”。 随机思想：理解随机现象的随机性与规律性的辩证统一。概率是用确定数值描述不确定现象的数学工具. 建模思想：将实际问题转化为概率模型，关键步骤包括：识别样本空间、列出所有样本点、确定事件关系、选择运算公式。 分类讨论：在求“至少”“至多”“恰好”等涉及多种情况的概率时，需将事件分解为互斥子事件，再分别计算求和。 转化与化归： “ 至少有一个发生” 用对立事件“都不发生”来转化 复杂事件的概率 分解为简单事件的和或积 复合试验 转化为独立事件的乘积 $