重难点专题 一元一次方程的应用（专项训练）数学浙教版2024七年级上册

重难点专题 一元一次方程的应用 重难点一 一元一次方程的应用——票价问题 一、核心等量关系构建 1. 总价类问题 单人票价×数量=总票价 例：成人票每张80元，学生票每张50元，购买x张成人票和y张学生票的总费用为80x+50y元。当题目中出现"总费用""共支付"等关键词时，直接套用此公式建立方程。 2. 分段计价问题 基础费用+超额费用=总费用 例：公园门票规定：10人以内（含10人）每人15元，超过10人部分每人10元。设总人数为n(n>10)，则总费用=10×15+(n-10)×10=10n+50元。需特别注意分段节点前后的单价差异。 3. 优惠方案比较 方案A总价=方案B总价（用于求临界点） 例：A方案：每人40元；B方案：团体票满20人打八折（原价50元/人）。设人数为m，当40m=20×50×0.8+(m-20)×50×0.8时，解得m=40，即40人时两种方案费用相同。 二、典型题型解析 1. 基本票价计算 例：某剧院成人票每张120元，学生票半价。现有x名成人和50名学生观看演出，共支付8200元，求成人人数。 解： 学生票单价=120÷2=60元 等量关系：成人总费用+学生总费用=8200 列方程：120x + 60×50 = 8200 解得：120x=5200 → x=43.33（需检验合理性，题目数据是否存在整数解） 2. 含团体票的组合问题 例：科技馆门票：个人票30元/张，团体票（≥20人）25元/张。现有18名学生和2名老师，如何购票最省钱？ 解： 方案1（全买个人票）：20×30=600元 方案2（买团体票）：20×25=500元 方案3（部分团体票）：20人团体票+0人个人票=500元 结论：选择团体票更省钱，总费用500元。 3. 分段计价问题 例：地铁票价规则：3公里内5元，超过3公里后每公里1.5元（不足1公里按1公里计）。小明乘地铁支付14元，求最大乘坐里程。 解： 设超过3公里的部分为x公里 等量关系：基础费用+超额费用=14 列方程：5 + 1.5x = 14 解得：x=6 → 总里程=3+6=9公里（注意"不足1公里按1公里计"，实际里程范围8<里程≤9公里） 4. 方案优化选择 例：游乐园推出两种年卡：A卡200元/年，每次入园5元；B卡100元/年，每次入园10元。每年入园多少次时，两种卡费用相同？ 解： 设入园次数为n 等量关系：A卡总费用=B卡总费用 列方程：200+5n=100+10n 解得：5n=100 → n=20次 结论：年入园20次时费用相同，超过20次选A卡更划算。 1．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（ ） 团购优惠方案 ①全体人员均打八折； ②若打九折，有7人可以免票 A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程．根据题意，设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得，， 解方程组得：， 故选：D． 2．周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价（元） 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生 人． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．先根据“遇见影城”的优惠方式可计算出总费用；然后设６人中学生x人，则成年人人，根据“时光影城”的优惠方式计算费用列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解∶共有6人看电影，根据“遇见影城”的优惠方式总费用为： (元)， ．购票的总费用是240元； 设6人中学生x人，则成年人人， 根据“时光影城”的优惠方式计算费用得： ， 解得：． 故答案为：2． 3．（经济问题）某电影院某日某场电影的票价是：成人票60元，学生票30元，满40人可以购团体票，即票价打九折（不足40人可按40人计算，票价打九折）．某班在4位老师的带领下去电影院看电影，学生人数为x人，学生和老师均须购票．（所有整式运算的结果请化简） (1)如果学生人数不少于36人，请用含x的代数式表示该班买票至少应付多少元？ (2)如果学生人数为34人，该班买票至少应付多少元？ (3)用含x的代数式表示该班买票至少应付多少元？ 【答案】(1) (2)1188元 (3)见解析 【分析】此题考查列代数式，一元一次方程的应用， （1）实际人数乘以对应的票价和乘以即可； （2）由于人数不足40人，分别按两种购票方式，第一种按实际人数计算费用和，第二种按团体40人打折计算费用，分别计算并比较即可； （3）根据（1）与（2）计算结果列方程可知，购团体票比实际票便宜时的人数为；因此根据此结果分三种情况计算：①若时，按实际不打折计算；②若时，购团体票最少；③若时，按实际打折计算． 【详解】（1）解：设学生x人， 该班买票至少应付（元）， 故答案为：； （2）①买34张学生票，4张成人票：（元）， ②买36张学生票，4张成人票：（元）， ，该班买票至少应付1188元； （3）由(2)可得：设学生x人， ， 则时，至少应付（元） 时，购团体票最少，至少应付（元） 时，至少应付（元）． 重难点二 一元一次方程的应用——工程问题 一、核心概念与公式 1. 基本量关系 工程问题中涉及三个核心量：工作总量、工作效率、工作时间，三者关系为： 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （当工作总量未明确给出时，通常设为单位“1”，便于计算） 2. 效率表示 · 若单人单独完成工作需 ( t ) 时间，则其工作效率为（即单位时间内完成总量的几分之一）。 · 若多人合作，合作效率 = 各部分效率之和（如甲效率为，乙效率为，则合作效率为）。 1．湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设完成这个订单共需天，则乙用了天，此订单总工作量为，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量（单位），即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ， 解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：D． 2．一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了 天． 【答案】18 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲做了天，则乙做了天，根据题意可求出甲和乙的工作效率，再把工作总量看作单位“1”，根据工作总量等于工作时间乘以工作效率建立方程求解即可． 【详解】解：设甲做了天，则乙做了天． 由题意得， 答：甲做了18天． 3．一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙两人各自的工作效率和各自完成的工作量是解题的关键， （1）假设甲、乙合作小时可以完成，可列方程，得出甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成，设两人各工作7小时后甲还要工作小时才能完成，可列方程得，求出的值，再加上14，就是两人交替工作完成任务时所用的小时数； （2）利用（1）的解法即可求解． 【详解】（1）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得， 解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成， 设各工作7小时后甲还要工作小时才能完成任务， 根据题意得， 解得， ∴（小时）， 答：完成任务时共用了小时； （2）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得，解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作6小时后，还剩下部分任务由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作完成， 甲、乙两人交替工作，由甲工作7小时，乙工作6小时后，还剩下部分任务由乙完成， 设乙还要工作小时才能完成任务， 根据题意得，解得， ∴， 答：完成任务时共用了小时． 重难点三 一元一次方程的应用——平面图形问题 一、核心思路：利用图形性质建立等量关系 1. 明确图形类型 根据题目描述判断图形类型（如长方形、正方形、三角形、梯形、圆形等），回忆该图形的周长、面积公式及相关性质（如长方形对边相等、正方形四边相等、圆的周长公式等）。 2. 设未知数 选择一个关键量设为未知数(x)，通常设“较小量”“倍数关系中的基准量”或“问题所求量”。 原则：设未知数后，其他相关量需能用含(x)的代数式表示，避免出现多个未知数。 3. 寻找等量关系 根据题目中的“不变量”“等量描述”或“图形性质”建立方程： 周长问题：常见等量关系为“周长固定”“周长变化前后的数量关系”（如“长方形周长比正方形周长长5cm”）。 面积问题：常见等量关系为“面积相等”“面积差”“面积变化率”（如“长方形面积比三角形面积大10cm²”）。 图形拼接/分割：关键是“拼接前后总面积/总周长不变”（注意拼接时重合边需扣除，分割时新增边需加总）。 二、常见题型及解题步骤 1. 周长问题 步骤： （1）确定图形周长公式，明确已知周长或周长关系； （2）设未知数表示边长（如长方形的长和宽、正方形的边长、圆的半径等）； （3）根据“周长公式=已知周长/周长关系”列方程； （4）解方程并验证解是否符合实际（如边长不能为负数）。 2. 面积问题 步骤： （1）确定图形面积公式，明确已知面积或面积关系； （2）设未知数表示面积公式中的关键量（如长方形的长和宽、三角形的底和高、梯形的上底/下底/高等）； （3）根据“面积公式=已知面积/面积关系”列方程； （4）解方程，注意单位统一（如长度单位为cm，面积单位为cm²）。 3. 图形拼接与分割问题 拼接问题（如多个小图形拼接成大图形）： · 关键：拼接前后“总面积=各小图形面积之和”，“总周长=各小图形周长之和-2×重合边长度”（每处重合边在两个图形中各算一次，需扣除2倍）。 分割问题（如一个大图形分割成多个小图形）： · 关键：分割前后“总面积=各小图形面积之和”，“总周长=大图形周长+2×新增边长度”（每新增一条边，分割后周长增加2倍该边长）。 4. 动态几何问题（如边长变化引起周长/面积变化） 步骤： （1）设“变化后的边长”为未知数，或设“变化量”为未知数（如“边长增加x”）； （2）表示变化前后的周长/面积； （3）根据“变化后的周长/面积=已知数量关系”列方程。 1．如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，最小的一个正方形边长为1，则这个长方形色块图的面积为（   ） A．101 B．121 C．143 D．144 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设在长方形色块图中，右下角的小正方形边长为，则长方形色块的长（下边）为，长方形色块的长（上边）为，据此建立方程，解方程可得的值，则可得长方形色块图的长与宽，利用长方形的面积公式计算即可得． 【详解】解：设在长方形色块图中，右下角的小正方形边长为，则长方形色块的长（下边）为，长方形色块的长（上边）为， ∴， 解得， ∴长方形色块的长为， 宽为， ∴这个长方形色块图的面积为， 故选：C． 2．如图，长方形甲与三角形乙重叠部分的面积相当于长方形甲面积的，相当于三角形乙面积的，若两个图形不重叠部分的面积和是，则重叠部分的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设阴影部分的面积为k，可得大长方形的面积为，三角形的面积为，根据不重叠部分的面积和是50，列出方程进而即可求解． 【详解】解：设阴影部分的面积为k， 长方形甲与三角形乙重叠部分的面积相当于长方形甲面积的，相当于三角形乙面积的， ∴长方形甲的面积为，三角形乙的面积为， 根据题意：， 解得： 故答案为：． 3．如图，在长方形中，．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连结．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时， _______． (3)设的面积为S，试用含t的代数式表示的面积S． (4)作点Q关于点D的中心对称点，直接写出的面积是面积的时t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分两种情况：当时，，当时，； （2）依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，得到，即，求解即可； （3）分当时和当时两种情况求解即可； （4）分两种情况讨论：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿的路径运动， ∴点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 当时，， 当时，， ； （2）解：依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，如图： ， ， 解得：， 故答案为：； （3）当时，，， ． 当时，，， ． 综上可知，； （4）当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：． 综上，的面积是面积的时的值为或． 重难点四 一元一次方程的应用——立体图形问题 一、明确等量关系，建立方程模型 立体图形问题的核心是找到题目中隐含的不变量或等量关系，常见等量关系类型如下： 1. 体积不变关系 当物体形状改变但体积不变时（如“熔铸”“注水”“切拼”等场景），可根据“原体积=新体积”列方程。 2. 表面积相关关系 当涉及“切割”“拼接”后表面积变化时，需分析增加或减少的面的数量，根据“变化后的表面积=原表面积±变化量”列方程。 3. 棱长总和关系 针对正方体或长方体框架问题，利用“棱长总和=各棱长之和”列方程。 二、精准设元，简化计算 1. 直接设元法 问什么设什么，适用于等量关系明确的简单问题。 2. 间接设元法 当直接设元导致方程复杂时，设与所求量相关的中间量为未知数。 1．如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度分别为40厘米、50厘米，将把隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，则根据图中的数据，求隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为多少厘米？（    ） A．42 B．43.5 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，申请题意、找到等量关系、列出方程是解题的关键． 设长方形的宽为x厘米，抽出隔板后之水面高度为h厘米，根据等量关系“水的总量保持不变”列出方程求解即可． 【详解】解：设长方形的宽为x厘米，抽出隔板后之水面高度为h厘米，长方形的长为（厘米）， 由题意可得：， 解得：， 即抽出隔板后之水面高度为厘米． 故选：B． 2．如图，甲、乙、丙三个容器，甲为正方体，内壁的各条棱长为厘米；乙为圆柱体，内壁高厘米，内部底面半径为厘米；丙是长方体，长厘米，宽厘米，高厘米．现将甲容器盛满水，乙、丙均为空容器，若把甲容器内的水倒入与乙相同的个容器，均倒满后，把剩下的水倒入丙容器，则丙容器内水的高度为 厘米（取，结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．正方体，圆柱，长方体的体积公式，设丙容器内水的高度大约为，根据水的体积不变列出方程，求解即可． 【详解】解：设丙容器内水的高度大约为，根据题意，得 ， 解得：， 答：丙容器内水的高度大约为． 故答案为：． 3．虹吸现象是液态分子间引力与高度差所造成的，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处．由于管口处承受不同的压力，水会由压力大的一边流向压力小的一边，直到管口处压力相等，即相对水平面，两个容器内的水面平齐，水就会停止流动（如图1）． 如图2，有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器底面积是乙容器底面积的2倍，高度均为，甲容器下方垫有一高度为的长方体木块；未发生虹吸现象前，甲容器内水位高度为，乙容器内无水．若发生虹吸现象，甲容器中的水不断流入乙容器中．（导管与导管内的液体体积忽略不计，圆柱体的体积＝底面积×高） (1)①当甲容器内水位下降，则乙容器内水位上升 ； ②当时，试判断虹吸现象过程中乙容器内的水是否会溢出？直接写出答案： （填：“会”或“不会”） (2)当虹吸现象结束时，若乙容器内水位深度是甲容器内水位深度的3倍，请求出此时长方体木块高度的值； (3)小结你在探究过程中发现的等量关系，并记录下来（两条即可） ① ； ② ． 【答案】(1)① 20；② 不会 (2)长方体木块高度为 (3)①当乙容器没有溢出时，甲容器流出水的体积与乙容器流入水的体积相等；②当虹吸现象结束时，甲容器水位深度乙容器水位深度 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准数量关系列方程是解题的关键． （1）①设乙容器底面积是，则甲容器底面积是，然后用下降的水的体积除以乙容器的底面积计算即可解题；②计算出甲、乙容器虹吸结束后的水面高度即可解题； （2）设虹吸现象结束时，甲容器内水位深度为，则乙容器内水位深度是的，根据题意列方程解题求出的值，然后根据求出即可； （3）根据探究过程中发现，写两条等量关系即可． 【详解】（1）解：①设乙容器底面积是，则甲容器底面积是， ∴乙容器内水位上升的高度为， 故答案为：20； ②乙容器内的水不会溢出，理由为： 当乙容器内的水满时，甲容器水位下降为， 这时甲容器中水位离桌面距离为， ∴当时，乙容器内的水不会溢出． （2）解：设虹吸现象结束时，甲容器内水位深度为，则乙容器内水位深度是的， ∴， 解得：， ∴长方体木块高度． （3）解：根据探究过程发现： ①当乙容器没有溢出时，甲容器流出水的体积与乙容器流入水的体积相等； ②当虹吸现象结束时，甲容器水位深度乙容器水位深度． 重难点五 一元一次方程的应用——行程问题 一、基本公式梳理 1. 核心等量关系 路程=速度×时间（s=v×t） 速度=路程÷时间（v=s÷t） 时间=路程÷速度（t=s÷t） 二、常见题型分类解析 （一）相遇问题（相向而行） 1. 特征：两个物体从两地出发，沿同一路线相向运动，最终相遇 2. 等量关系： 甲行驶路程+乙行驶路程=两地总路程 甲行驶时间=乙行驶时间（同时出发时） 3. 解题步骤： （1）设相遇时间为t（或设其中一个物体速度为v） （2）分别表示甲、乙的行驶路程（s₁=v₁t，s₂=v₂t） （3）根据总路程列方程：v₁t + v₂t = S（两地距离） （二）追及问题（同向而行） 1. 特征：两个物体沿同一路线同向运动，快者追慢者 2. 分类及等量关系： 同时不同地出发：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离 同地不同时出发：快者路程 = 慢者先行路程 + 慢者后续路程 3. 注意点： （1）明确追及开始时两者的位置关系（距离差） （2）若涉及停留时间，需分段计算时间 （三）环形跑道问题 1. 相遇情形（反向而行）： 等量关系：甲路程 + 乙路程 = 跑道周长（首次相遇） 2. 追及情形（同向而行）： 等量关系：快者路程 - 慢者路程 = 跑道周长（首次追上） 3. 多次运动： 第n次相遇/追及时，路程和/差 = n×跑道周长 （四）航行问题（含水流/风速） 1. 速度关系： · 顺水速度=静水速度+水流速度（v顺=v静+v水） · 逆水速度=静水速度-水流速度（v逆=v静-v水） · 静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2 · 水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2 2. 等量关系： 往返路程相等（s顺=s逆） 可根据时间关系列方程：s/(v静+v水) + s/(v静-v水) = 总时间 1．某列车通过360米的第一个隧道用去24秒，接着通过第二个长216米的隧道用去16秒，这个列车的长是（   ） A．72米 B．24米 C．144米 D．96米 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个列车的长是x米，利用速度=路程÷时间，结合这个列车的速度不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这个列车的长是x米，根据题意得： ， 解得：； ∴这个列车的长是72米． 故选：A． 2．甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发 小时后甲乙相距10千米． 【答案】1.5或1.7 【分析】本题考查一元一次方程的应用-行程问题．设乙出发x小时后甲乙相距10千米，分相遇前和相遇后两种情况根据“甲行驶路程+乙行驶的路程=总距离”分别列方程即可求解． 【详解】解：设乙出发x小时后甲乙相距10千米． ①当两车相遇前，列方程得， 解得 ②当两车相遇后，列方程得 解得 答：乙出发1.5或1.7小时后甲乙两车相距10千米． 故答案为：1.5或1.7 3．如下图，现有两条乡村公路和长长1600m．一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶；另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶，并且两人同时出发． (1)经过多少分钟摩托车追上自行车？ (2)两人均在行驶途中时，经过多少分钟在行进路线上相距150m？ 【答案】(1)经过4min摩托车追上自行车． (2)两人均在行驶途中时，经过3.5min或4.5min在行进路线上相距150m． 【分析】（1）摩托车从出发需先经过段才能到达点，之后进入段追赶自行车，据此设方程求解； （2）需分阶段分析两者的运动情况，计算追击时间及相距特定距离的时间点． 【详解】（1）解：设经过摩托车追上自行车， 由题意，得， 解得， 由于，故符合题意． 答：经过min摩托车追上自行车． （2）解：设经过两人在行进路线上相距m． 分两种情况讨论： ①当摩托车还差m追上自行车时， ， 解得； ②当摩托车超过自行车m时， ， 解得． 由于，故符合题意． 答：两人均在行驶途中时，经过min或min在行进路线上相距m． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用（行程问题），解题关键是根据路程关系建立方程，注意相距问题要分情况讨论． 重难点六 一元一次方程的应用——和差倍分问题 一、问题特征识别 1. 和差关系：题目中出现"共""总和""比...多""比...少""相差"等关键词 2. 倍分关系：题目中存在"是...的几倍""增加几倍""减少几分之几""占...的几分之几"等表述 3. 等量关系：通常包含两个或多个量之间的数量比较，存在明显的大小或比例关系 二、解题步骤详解 1. 设元技巧 （1）直接设元法：直接设问题中所求的量为未知数x 适用场景：所求量单一且直接关联已知条件 （2）间接设元法：设与所求量相关的中间量为未知数x 优势：简化含比例关系的等量表达式 2. 等量关系构建方法 （1）和差问题基本模型： 大数=小数+差 较小数=较大数-差 两数和=大数+小数=2×小数+差=2×大数-差 （2）倍分问题基本模型： 若A是B的n倍，则A=B×n 若A比B多n倍，则A=B×(n+1) 若A是B的几分之几(m/n)，则A=B×(m/n) （3）复合关系处理： 找出题目中的"基准量"（通常是"是""比"后面的量） 用基准量表示其他相关量 根据总量关系或差值关系建立方程 3. 规范解题流程 （1）审题标记：圈画关键词，标注已知量和未知量 （2）设元表示：用x表示未知数，并表示出所有相关量 （3）列方程：根据核心等量关系列出一元一次方程 （4）解方程：按步骤求解（去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1） （5）检验作答：验证解的合理性（是否符合实际意义），完整回答问题 1．张叔叔家养的公鸡和母鸡共240只．其中公鸡的只数是母鸡的，张叔叔家养的母鸡有（　　）只． A．90 B．150 C．160 D．108 【答案】B 【分析】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键． 由题意可知，设养的母鸡有x只，则公鸡有只，再根据等量关系：公鸡的只数母鸡的只数，据此列方程解答即可． 【详解】解：设养的母鸡有x只，则公鸡有只， ， 解得：； 答：张叔叔家养的母鸡有150只． 故选：B． 2．图图把1瓶果汁倒入4个小杯，1个中杯和1个大杯，正好都倒满，大杯的容量是小杯的3倍，中杯的容量是小杯的2倍，如果都倒入小杯，1小杯的容量是这瓶果汁的 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程，设未知数，构建方程是解题的关键． 设这瓶果汁总量为“1”，1小杯的容量为，则中杯容量为，大杯容量为，再由题可得，接着求解就可． 【详解】设这瓶果汁总量为“1”，1小杯的容量为，则中杯容量为，大杯容量为， 又1瓶果汁倒入4个小杯，1个中杯和1个大杯，正好都倒满， 所以，解得． 故答案为：． 3．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【答案】(1)该车间有男生31人，女生54人 (2)应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数女生人数”列出方程并解答； （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ， 解得， 则， 答：该车间有男生31人，女生人数是54人． （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮， 由题意得： 解得：， 答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮． 重难点七 一元一次方程的应用——销售问题 一、核心等量关系梳理 1. 利润相关公式 利润=售价-成本价（进价） 利润率=（利润÷成本价）×100% → 推导公式：利润=成本价×利润率 售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） 折扣销售：售价=标价×折扣率（如八折即折扣率为0.8） 2. 注意事项 区分“成本价（进价）”与“标价（原价）”：成本价是商家进货的价格，标价是商品标签上的定价，售价是实际成交价格（可能等于标价或打折后的价格）。 利润率的计算基数是成本价，而非售价或标价。 二、解题步骤与方法 步骤1：审题——明确量与未知量 通读题目，标记关键信息：成本价（进价）、标价、售价、折扣率、利润率、销售量、总利润等。 确定所求未知量（如“求售价”“求利润率”“求成本价”等），设为未知数 ( x )（通常设“什么”为 ( x )，若有多个量，优先设与成本价或售价相关的量）。 步骤2：列代数式——用含 ( x ) 的式子表示相关量 根据题目中的数量关系，将其他未知量用含 ( x ) 的代数式表示。 步骤3：找等量关系——建立方程 根据“利润=售价-成本价”“利润率=利润÷成本价”或题目中的具体描述（如“获利20元”“利润率为15%”“打折后利润率为8%”）建立等量关系。 常见等量关系类型： ① 已知利润求售价/成本价：售价-成本价=给定利润； ② 已知利润率求售价/成本价：（售价-成本价）÷成本价=给定利润率； ③ 折扣问题：标价×折扣率-成本价=利润（或成本价×利润率）。 步骤4：解方程并检验 · 解一元一次方程，求出 ( x ) 的值。 · 检验解的合理性：确保售价、利润等结果为正数，折扣率在0~1之间（如折扣率不能大于1，即不能超过原价）。 1．某商人一次卖出两件衣服，一件赚了，一件亏了，售价都是元，在这次生意中，该商人（  ） A．不赚不赔 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是计算出两件商品的进价，再根据售价和进价的关系得到答案． 首先计算出两种商品的进价，然后再根据售价，比较是亏是赚，亏多少，赚多少．还应注意亏赚都是在原价的基础上． 【详解】解：设赚了的衣服的进价是元， 则：， 解得：， 设赔了的衣服的进价是元， 则， 解得：， 总进价：元， 总售价：元 元， 所以亏了元， 故选：C． 2．某商店将一种商品打九折出售，则该商品的利润率为．若这种商品的进价为1800元件，则这种商品的原价是 元件． 【答案】2300 【分析】本题考查了一元一次方程在利润问题中的应用，涉及进价、原价、折扣、利润率之间的数量关系；解题的关键是掌握“售价原价折扣”“售价进价进价利润率”的核心公式，通过建立等量关系列方程求解原价． 设商品的原价为元/件，先根据“打九折出售”表示出实际售价为元；再根据“进价1800元、利润率”，用“进价利润”表示出售价为元；最后根据售价相等建立方程，求解方程得到原价． 【详解】解：设这种商品的原价是元/件． 根据售价相等列方程：， 则， 解得． 故答案为：2300． 3．某超市开展促销活动，一次性购物满200元后将给购物者优惠，购物超过200元不足500元的，按9折优惠；购物超过500元的，500元以下（含500元）仍按9折优惠，而超过500元的部分按8折优惠．某人第一次和第二次购物分别用了134元和490元，问： (1)此人两次购物时．所购物品的原价是多少？ (2)在此次活动中他节省了多少钱？ (3)如果此人将两次购买的物品一次全部购买，是否更省钱？请说明你的理由． 【答案】(1)两次购物时，所购物品的原价分别为134元和550元 (2)节省了60元 (3)更省钱，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）此人第一次购物用了134元，没有享受优惠，即可得出所购买物品的原价为134元，由得出第二次所购物品超过500元，设第二次所购物品的原价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）将两次购买的原价相加减去实际付的钱即可得解； （3）计算得出一次全部购买可以节省的钱，比较即可得解． 【详解】（1）解：此人第一次购物用了134元，没有享受优惠，即所购买物品的原价为134元， 第二次购物用了490元， ， 所购物品超过500元． 设第二次所购物品的原价为元， 则， 解得． 答：此人两次购物时，所购物品的原价分别为134元和550元． （2）解：（元）． 答：在此次活动中他节省了60元． （3）解：更省钱． 如果一次全部购买可以节省（元）， 因为， 所以，如果此人将两次购买的物品一次全部购买会更省钱． 重难点八 一元一次方程的应用——分配问题 一、明确分配问题核心特征 分配问题的本质是将某一总量按照特定标准分配给不同对象，核心等量关系为分配前总量=分配后各部分量之和。常见类型包括：物品分配（如书本、零件）、人员分配、资源分配（如时间、资金）等。解题时需重点关注“分配标准”（如每人数量、每组数量、比例关系）及“总量不变”这一隐含条件。 二、五步解题法详解 1. 审题：找出关键量与关系 · 找总量：确定被分配的整体数量（如“共有50本练习本”“总人数30人”）。 · 找对象：明确分配的接收方（如“分给男生和女生”“分配到A、B两组”）。 · 找分配标准：提取分配规则，区分“直接分配”（如“每人分3本”）或“间接分配”（如“男生比女生多分2本”“A组是B组的2倍”）。 · 找隐含条件：注意是否存在“剩余”“不足”“相等”等关键词（如“每人分5本则多10本”“分配后两组人数相同”）。 2. 设元：合理设未知数 · 直接设元：问什么设什么（优先选择）。若问题明确求分配对象数量（如人数、组数），直接设为未知数。 · 间接设元：若直接设元导致等量关系复杂，可设分配标准中的中间量为未知数。 3. 列代数式：用含未知数的式子表示各部分量 根据分配标准，用未知数表示“分配后各部分量”或“两种分配方案下的总量”。 · 正向分配：总量=对象数量×单位分配量+剩余量（或-不足量）。 · 比例分配：若按比例分配（如A:B=2:3），设A为( 2x )，B为( 3x )，则总量= ( 2x + 3x )。 4. 列方程：根据总量不变或等量关系建立方程 核心依据：不同分配方案下的总量相等，或各部分量之和=总量。 5. 解方程并检验：求出未知数，验证合理性 · 解方程：按一元一次方程解法（移项、合并同类项、系数化为1）求解。 · 检验： ① 代入方程验证左右两边是否相等（3×45+20=155，4×45-25=155，总量相等，正确）； ② 检查解是否符合实际意义（人数不能为负，分配量不能为分数时需取整数，如“组数”需为正整数）。 1．甲、乙、丙三数之比是，甲、乙两数之和比乙、丙两数之和少20，则乙数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的应用与一元一次方程的求解，熟练掌握根据比例设未知数并结合数量关系列方程是解题的关键．根据甲、乙、丙三数的比例关系设未知数，再依据甲、乙两数之和与乙、丙两数之和的数量关系列方程求解． 【详解】解：设甲、乙、丙三数分别为、、． ， 则乙数为 故选：A． 2．甲、乙两人原有的钱数之比是，后来甲用去80元，乙得到20元，这时甲，乙两人的钱数比是，原来甲有 元． 【答案】1380 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．设原来甲有元，原来乙有元，根据题意列出方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设原来甲有元，原来乙有元， ， ， ， ∴， 故答案为：1380． 3．【分数、比的应用】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 【答案】吨 【分析】本题考查了一元一次房产的应用，根据比例设未知数，由乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，列方程即可求解. 【详解】解：设甲仓库存化肥的质量为吨；乙仓库存化肥的质量为吨；依题意得： ， 解得：， 乙仓库存化肥的质量为吨， 答：乙仓库原来存化肥吨 重难点九 一元一次方程的应用——收费问题 一、核心解题思路 1. 精准审题：仔细阅读题目，明确收费类型（如分段计费、固定费率、阶梯收费等），找出已知条件和未知量 2. 建立模型：根据收费规则确定等量关系，通常遵循"总费用=各阶段费用之和"原则 3. 设元技巧：设关键未知量为x（通常是计费单位，如用水量、通话时间、行驶里程等） 4. 分类讨论：当题目涉及分段计费时，需先判断未知量所在区间，或分情况讨论 二、分段计费问题四步法 1. 划区间：明确各收费段的分界点及对应费率 2. 定范围：判断未知量x与分界点的关系 若x≤分界点：直接按基础费率计算 若x>分界点：费用=基础费用+超额部分费用 3. 列方程：根据不同范围建立方程 基础模型：基础费用+（x-分界点）×超额费率=总费用 4. 验结果：解方程后需验证解是否符合所假设的范围，若不符合需重新假设区间 1．（分段收费）某停车场的收费标准如图所示，一辆汽车付停车费34元，那么停车时间可能是（    ）． 收费标准：2小时以内（含2小时）10元 超出2小时，超出部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设停车时间为x小时，根据题意，求出x的值，进行判断即可． 【详解】解：设停车时间为小时，由题意得，， 解得：， ∵不足1小时按1小时计算， ∴停车时间大于4小时，不超过5小时， A、，时间为3小时40分； B、，时间为5小时25分； C、，时间为3小时10分钟； D、，时间为4小时10分钟， 故选：D． 2．为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民用水阶梯水价制度，每年水费计算方法为：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1820元，则该同学家这一年的用水量为 ． 某市居民用水阶梯水价表： 阶梯 户年用水量() 水价(元/) 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 【答案】 【分析】本题考查了阶梯计费问题；先判断该同学家的用水量包含哪些阶梯，由表格可知第一阶梯的水费为元，第二阶梯的水费为元，该同学家的用水量明显包含三个阶梯．该同学家缴纳的总水费扣除第一、二阶梯的总水费，就能得出第三阶梯的水费，从而得出第三阶梯的用水量． 【详解】解：根据表格知，，则该同学家的用水量包括第三阶梯费用． 设该同学这一年的用水量为， 依题意得：， 解得： 答：该同学家这一年的用水量为． 故答案为300． 3．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【答案】(1)， (2)吨 【分析】本题考查二元一次方程组的应用(求阶梯水价单价)与分段计费问题(求用水量)，解题的关键是根据不同用水量对应的计费标准列方程，明确“水费(自来水单价污水处理单价)用水量”． （1）用7月吨吨)的水费列方程求，用8月吨的分段水费列方程求； （2）先算吨水的总费用，判断元对应用水量超吨，设超量部分列方程求总吨数． 【详解】（1）解：  ∵水费(自来水单价污水处理单价)用水量，   7月：，解得，；   8月：，即，   解得， ∴，； （2）解：吨水费：(元)，   ∵， ∴用水量超吨，设总用水量为吨，   则，   ， 解得，. 答：小李家这个月用水吨． 重难点十 一元一次方程的应用——古代问题 一、核心解题步骤 1. 审题翻译：将古文表述转化为现代语言，圈点关键数量关系（如"多""少""倍""几分之几""共""余"等） 2. 设元技巧：优先设问题中的直接未知数（问什么设什么），复杂问题可设间接未知数（如"若设某个中间量为x，则其他量更容易表示"） 3. 找等量关系： 利用题目中不变的量建立等式（如总量不变、年龄差不变） 关注包含倍数关系、比较关系的句子（如"甲是乙的3倍""A比B多20"） 古代问题常涉及"盈不足""鸡兔同笼"等经典模型，需识别对应等量结构 4. 列解方程：根据等量关系列出标准一元一次方程（ax+b=0），注意单位统一，解后需检验解的合理性（如人数、物品数应为正整数） 二、典型古代问题模型解析 1. 盈不足问题 特征：两次分配中出现"盈（多余）"和"不足"两种情况 等量关系：物品总数不变 示例："今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？" 设人数为x，则8x-3=7x+4（物价相等） 2. 鸡兔同笼问题 特征：已知头数和脚数，求两种动物数量 等量关系：总头数=鸡头数+兔头数；总脚数=2×鸡头数+4×兔头数 设鸡有x只，则兔有（总头数-x）只，2x+4(总头数-x)=总脚数 3. 行程问题（相遇/追及） 特征：涉及路程、速度、时间关系 等量关系： · 相遇：甲路程+乙路程=总路程 · 追及：快者路程-慢者路程=初始距离 古代表述转化："日行三百里""先行二日"需转化为速度（里/日）和时间（日） 4. 工程问题 特征：多人协作完成工作 等量关系：工作量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和=总工作量（通常设总工作量为1） 示例："一工程，甲独做需10日，乙独做需15日，合作几日完成？" 设合作x日，则(1/10+1/15)x=1 5. 年龄问题 特征：涉及不同时间点的年龄关系 关键原则：年龄差不变 示例："父年38，子年10，几年后父年是子年的3倍？" 设x年后，则38+x=3(10+x)（年龄差始终为28岁） 1．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，根据总人数不变，分别用x表示两种乘车方式下的人数，建立方程即可． 【详解】解：每3人乘一车，剩余2辆车， ∴总人数为 ； 每2人共乘一车，剩余9人无车， ∴人数为 ； ∴， 故选B． 2．《九章算术》中有个问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人与钱各几何?”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，若每人出钱，则多了钱；若每人出钱，则少了钱．问：人和钱的数量各是多少？”如果设有x个人共同出钱买鸡，则可列一元一次方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．设人数为，每人出钱时多钱，即鸡的总钱数为；每人出钱时少了钱，即鸡的总钱数为，根据鸡的总钱数固定，列方程即可． 【详解】解：设有个人共同出钱买鸡， ∵每人出9钱时，多出11钱， ∴鸡的总钱数为， ∵每人出钱时少钱， ∴鸡的总钱数为， ∵总钱数不变， ∴可得方程． 故答案为： 3．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 【答案】大船有3只，小船有5只 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设大船有只，则小船有只，根据38人刚好坐满8只船，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出大船的只数，再将其代入中，即可求出小船的只数． 【详解】解：设大船有只，则小船有只， 根据题意得：， 解得：， （只）， 答：大船有3只，小船有5只． 重难点十一 一元一次方程的应用——数字问题 一、数字问题核心关系梳理 1. 多位数的表示方法 两位数：设十位数字为(a)，个位数字为(b)，则该数表示为(10a + b)（例如：35可表示为(10×3 + 5)）。 三位数：设百位数字为(a)，十位数字为(b)，个位数字为(c)，则该数表示为(100a + 10b + c)（例如：123可表示为(100×1 + 10×2 + 3)）。 通用规律：(n)位数的第(k)位（从右往左，个位为第1位）数字为(m)时，其数值贡献为。 2. 数字位置变换规律 两位数交换个位与十位数字后，新数为(10b + a)，与原数的差为，和为(11(a + b))。 多位数中，某两位数字交换位置时，需仅改变对应数位的系数（如三位数(100a + 10b + c)交换十位与个位后为(100a + 10c + b)）。 3. 连续数表示方法 连续整数：设中间数为(x)，则三个连续整数可表示为(x - 1)，(x)，(x + 1)（或设最小数为(x)，表示为(x)，(x + 1)，(x + 2)）。 连续奇数/偶数：相邻两数差为2，设中间数为(x)，则三个连续奇数可表示为(x - 2)，(x)，(x + 2)（偶数同理）。 1．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则表中△处的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 先求出三个数字之和为，再根据各条对角线上的三个数字之和相等求出，进而根据第一行的数字之和可求出△处的值． 【详解】解：由图得，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和为：， 又∵各条对角线上的三个数字之和相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选D． 2．若三个有理数的乘积为负数，且这三个有理数的和等于其中某个有理数， 则这三个有理数的乘积为 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘法、一元一次方程的应用，准确的计算是解决本题的关键． 先算出三个数的和为，再分成三种情况讨论即可． 【详解】解：∵三个数的和为：， 根据题意得，当时， 解得， ∴三个数为、、，乘积为正数（不符合“乘积为负”，排除）， 当时， 解得， ∴此时三个数为、0、1，乘积为0（不符合“乘积为负”，排除）， 当时， 解得， ∴此时三个数为、、， ∴乘积为， 故答案为：． 3．【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 【答案】方法运用：；类比探究：；数学应用： 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意理解并运用无限循环小数化为分数的方法是解题的关键． 方法运用：设，则，那么，解得x的值即可； 类比探究：设，则，那么，解得m的值即可； 数学应用：根据得，再根据计算即可． 【详解】解：方法运用： 设， 则， 那么， 解得：， 即， 故答案为：； 类比探究： 设， 则， 那么， 解得：， 即； 数学应用： ∵， ∴， ∴． 重难点十二 一元一次方程的应用——几何动点求t 一、核心思路 几何动点问题的本质是用含t的代数式表示动点运动后的位置或线段长度，再根据题目中的等量关系（如线段相等、面积关系、图形特殊状态等）建立一元一次方程求解。关键在于将动态问题转化为静态的代数表达，明确动点的运动方向、速度、起点和时间范围。 二、解题步骤 1. 确定动点信息 明确动点的起点位置（如数轴上的点、线段端点、图形顶点等）。 记录动点的运动速度（单位：长度单位/时间单位，如cm/s）和运动方向（向左/右、顺时针/逆时针、沿线段/射线等）。 设运动时间为t（注意t的取值范围需满足动点未超出图形边界或题目限制）。 2. 用含t的代数式表示关键量 根据“路程=速度×时间”，计算动点运动的路程（如动点P从点A出发，速度为v，则t秒后路程为vt）。 结合起点位置和运动方向，用t表示动点运动后的具体位置坐标或线段长度： 3. 根据等量关系列方程 分析题目中的核心条件，找出静态时的等量关系（如“线段MN=5cm”“三角形面积为12”“点Q是线段EF的中点”等）。 将用t表示的关键量代入等量关系，列出关于t的一元一次方程。 4. 解方程并验证t的合理性 求解方程得到t的值，检验t是否在合理范围内（如t≥0，且动点未超出运动路径的端点）。 若方程的解不符合t的取值范围，则需舍去（如t为负数或超出图形边界），此时可能不存在满足条件的t。 三、常见题型与等量关系举例 1. 数轴动点问题 等量关系：两点间距离=|坐标差|（如“点A与点B的距离为8”）、中点坐标公式（如“点M是AB中点，则M的坐标=(A坐标+B坐标)/2”）。 方程模型：|(起点1±v1t)-(起点2±v2t)|=距离。 2. 线段动点问题 等量关系：线段和差（AP+PB=AB）、线段倍数关系（如“AC=2BC”）、相遇或追及（同向运动时快者路程-慢者路程=初始距离）。 方程模型：v快t - v慢t = 初始距离（追及问题）；v1t + v2t = 初始距离（相遇问题）。 3. 图形面积相关动点问题 等量关系：面积公式（三角形面积=底×高÷2，矩形面积=长×宽等），用t表示底或高后代入公式。 方程模型：（含t的底）×（含t的高）÷2=定值面积。 1．如图，在长方形中，，点在上，且．动点以1个单位长度/秒的速度沿路径运动，同时动点从点出发，以同样的速度沿方向运动，到点停止运动，设点运动的时间秒． 在点、在运动过程中，阴影部分（即点、、、构成的图形）面积为，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，点P在上运动时，，当点P在上运动时，，据此分别建立方程求解即可． 【详解】解：当点P在上运动时，则， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在上运动时，， ∴， 解得（此时点P不在上，舍去）； ∴的值为， 故选：B． 2．如图，点表示，点表示，点表示，我们称点和点相距个单位长度．动点，同时出发，点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒，问：当，两点相距的长度与，两点相距的长度相等时，的值为 ． 【答案】或或或 【分析】本题综合考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程在数轴上的应用，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏．分为①当点在上，点在上时；②当点在上，点在上时；③当点在上，点在上时；④当点在上，点在上时；四种情况讨论即可求解． 【详解】解：当，两点相距的长度与，两点相距的长度相等有种可能， ①当点在上，点在上时， 则， 解得：； ②当点在上，点在上时， 则， 解得：； ③当点在上，点在上时， 则， 解得：； ④当点在上，点在上时， 则， 解得：； 综上所述，的值为或或或， 故答案为：或或或． 3．已知长方形，如图所示放置在数轴上，点与表示的点重合，与表示2的点重合，宽（表示线段的长度），点是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)___________． (2)若点表示的数为，则___________． (3)若，则点表示的数为多少？ (4)若点与表示的点重合，将长方形沿着数轴向左移动，当点表示的数为多少时，，直接写出结果． 【答案】(1)3 (2)6 (3)点所表示的数为8或 (4)或 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，三角形的面积公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点与表示的点重合，与表示2的点重合，即可求解； （2）根据长方形得，根据与表示2的点重合，点表示的数为，得，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）先求出，结合，得，即可得，再根据C与2表示的点重合，再列式计算，即可作答； （4）设当点表示的数为时，，此时点表示的数为，则，，根据可得，即，解方程即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：3； （2）解：如图，连接， ∵是长方形， ∴， ∵与表示2的点重合，点表示的数为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6； （3）解：如图，连接， ∵长方形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵C与2表示的点重合， ∴或， ∴点P表示的数为8或； （4）解：设当点表示的数为时，， 此时点表示的数为，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， 即点表示的数为或时，． 39 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 一元一次方程的应用 重难点一 一元一次方程的应用——票价问题 一、核心等量关系构建 1. 总价类问题 单人票价×数量=总票价 例：成人票每张80元，学生票每张50元，购买x张成人票和y张学生票的总费用为80x+50y元。当题目中出现"总费用""共支付"等关键词时，直接套用此公式建立方程。 2. 分段计价问题 基础费用+超额费用=总费用 例：公园门票规定：10人以内（含10人）每人15元，超过10人部分每人10元。设总人数为n(n>10)，则总费用=10×15+(n-10)×10=10n+50元。需特别注意分段节点前后的单价差异。 3. 优惠方案比较 方案A总价=方案B总价（用于求临界点） 例：A方案：每人40元；B方案：团体票满20人打八折（原价50元/人）。设人数为m，当40m=20×50×0.8+(m-20)×50×0.8时，解得m=40，即40人时两种方案费用相同。 二、典型题型解析 1. 基本票价计算 例：某剧院成人票每张120元，学生票半价。现有x名成人和50名学生观看演出，共支付8200元，求成人人数。 解： 学生票单价=120÷2=60元 等量关系：成人总费用+学生总费用=8200 列方程：120x + 60×50 = 8200 解得：120x=5200 → x=43.33（需检验合理性，题目数据是否存在整数解） 2. 含团体票的组合问题 例：科技馆门票：个人票30元/张，团体票（≥20人）25元/张。现有18名学生和2名老师，如何购票最省钱？ 解： 方案1（全买个人票）：20×30=600元 方案2（买团体票）：20×25=500元 方案3（部分团体票）：20人团体票+0人个人票=500元 结论：选择团体票更省钱，总费用500元。 3. 分段计价问题 例：地铁票价规则：3公里内5元，超过3公里后每公里1.5元（不足1公里按1公里计）。小明乘地铁支付14元，求最大乘坐里程。 解： 设超过3公里的部分为x公里 等量关系：基础费用+超额费用=14 列方程：5 + 1.5x = 14 解得：x=6 → 总里程=3+6=9公里（注意"不足1公里按1公里计"，实际里程范围8<里程≤9公里） 4. 方案优化选择 例：游乐园推出两种年卡：A卡200元/年，每次入园5元；B卡100元/年，每次入园10元。每年入园多少次时，两种卡费用相同？ 解： 设入园次数为n 等量关系：A卡总费用=B卡总费用 列方程：200+5n=100+10n 解得：5n=100 → n=20次 结论：年入园20次时费用相同，超过20次选A卡更划算。 1．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（ ） 团购优惠方案 ①全体人员均打八折； ②若打九折，有7人可以免票 A．人 B．人 C．人 D．人 2．周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价（元） 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生 人． 3．（经济问题）某电影院某日某场电影的票价是：成人票60元，学生票30元，满40人可以购团体票，即票价打九折（不足40人可按40人计算，票价打九折）．某班在4位老师的带领下去电影院看电影，学生人数为x人，学生和老师均须购票．（所有整式运算的结果请化简） (1)如果学生人数不少于36人，请用含x的代数式表示该班买票至少应付多少元？ (2)如果学生人数为34人，该班买票至少应付多少元？ (3)用含x的代数式表示该班买票至少应付多少元？ 重难点二 一元一次方程的应用——工程问题 一、核心概念与公式 1. 基本量关系 工程问题中涉及三个核心量：工作总量、工作效率、工作时间，三者关系为： 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （当工作总量未明确给出时，通常设为单位“1”，便于计算） 2. 效率表示 · 若单人单独完成工作需 ( t ) 时间，则其工作效率为（即单位时间内完成总量的几分之一）。 · 若多人合作，合作效率 = 各部分效率之和（如甲效率为，乙效率为，则合作效率为）。 1．湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 2．一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了 天． 3．一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 重难点三 一元一次方程的应用——平面图形问题 一、核心思路：利用图形性质建立等量关系 1. 明确图形类型 根据题目描述判断图形类型（如长方形、正方形、三角形、梯形、圆形等），回忆该图形的周长、面积公式及相关性质（如长方形对边相等、正方形四边相等、圆的周长公式等）。 2. 设未知数 选择一个关键量设为未知数(x)，通常设“较小量”“倍数关系中的基准量”或“问题所求量”。 原则：设未知数后，其他相关量需能用含(x)的代数式表示，避免出现多个未知数。 3. 寻找等量关系 根据题目中的“不变量”“等量描述”或“图形性质”建立方程： 周长问题：常见等量关系为“周长固定”“周长变化前后的数量关系”（如“长方形周长比正方形周长长5cm”）。 面积问题：常见等量关系为“面积相等”“面积差”“面积变化率”（如“长方形面积比三角形面积大10cm²”）。 图形拼接/分割：关键是“拼接前后总面积/总周长不变”（注意拼接时重合边需扣除，分割时新增边需加总）。 二、常见题型及解题步骤 1. 周长问题 步骤： （1）确定图形周长公式，明确已知周长或周长关系； （2）设未知数表示边长（如长方形的长和宽、正方形的边长、圆的半径等）； （3）根据“周长公式=已知周长/周长关系”列方程； （4）解方程并验证解是否符合实际（如边长不能为负数）。 2. 面积问题 步骤： （1）确定图形面积公式，明确已知面积或面积关系； （2）设未知数表示面积公式中的关键量（如长方形的长和宽、三角形的底和高、梯形的上底/下底/高等）； （3）根据“面积公式=已知面积/面积关系”列方程； （4）解方程，注意单位统一（如长度单位为cm，面积单位为cm²）。 3. 图形拼接与分割问题 拼接问题（如多个小图形拼接成大图形）： · 关键：拼接前后“总面积=各小图形面积之和”，“总周长=各小图形周长之和-2×重合边长度”（每处重合边在两个图形中各算一次，需扣除2倍）。 分割问题（如一个大图形分割成多个小图形）： · 关键：分割前后“总面积=各小图形面积之和”，“总周长=大图形周长+2×新增边长度”（每新增一条边，分割后周长增加2倍该边长）。 4. 动态几何问题（如边长变化引起周长/面积变化） 步骤： （1）设“变化后的边长”为未知数，或设“变化量”为未知数（如“边长增加x”）； （2）表示变化前后的周长/面积； （3）根据“变化后的周长/面积=已知数量关系”列方程。 1．如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，最小的一个正方形边长为1，则这个长方形色块图的面积为（   ） A．101 B．121 C．143 D．144 2．如图，长方形甲与三角形乙重叠部分的面积相当于长方形甲面积的，相当于三角形乙面积的，若两个图形不重叠部分的面积和是，则重叠部分的面积是 ． 3．如图，在长方形中，．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连结．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时， _______． (3)设的面积为S，试用含t的代数式表示的面积S． (4)作点Q关于点D的中心对称点，直接写出的面积是面积的时t的值． 重难点四 一元一次方程的应用——立体图形问题 一、明确等量关系，建立方程模型 立体图形问题的核心是找到题目中隐含的不变量或等量关系，常见等量关系类型如下： 1. 体积不变关系 当物体形状改变但体积不变时（如“熔铸”“注水”“切拼”等场景），可根据“原体积=新体积”列方程。 2. 表面积相关关系 当涉及“切割”“拼接”后表面积变化时，需分析增加或减少的面的数量，根据“变化后的表面积=原表面积±变化量”列方程。 3. 棱长总和关系 针对正方体或长方体框架问题，利用“棱长总和=各棱长之和”列方程。 二、精准设元，简化计算 1. 直接设元法 问什么设什么，适用于等量关系明确的简单问题。 2. 间接设元法 当直接设元导致方程复杂时，设与所求量相关的中间量为未知数。 1．如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度分别为40厘米、50厘米，将把隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，则根据图中的数据，求隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为多少厘米？（    ） A．42 B．43.5 C．45 D．60 2．如图，甲、乙、丙三个容器，甲为正方体，内壁的各条棱长为厘米；乙为圆柱体，内壁高厘米，内部底面半径为厘米；丙是长方体，长厘米，宽厘米，高厘米．现将甲容器盛满水，乙、丙均为空容器，若把甲容器内的水倒入与乙相同的个容器，均倒满后，把剩下的水倒入丙容器，则丙容器内水的高度为 厘米（取，结果保留小数点后一位）． 3．虹吸现象是液态分子间引力与高度差所造成的，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处．由于管口处承受不同的压力，水会由压力大的一边流向压力小的一边，直到管口处压力相等，即相对水平面，两个容器内的水面平齐，水就会停止流动（如图1）． 如图2，有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器底面积是乙容器底面积的2倍，高度均为，甲容器下方垫有一高度为的长方体木块；未发生虹吸现象前，甲容器内水位高度为，乙容器内无水．若发生虹吸现象，甲容器中的水不断流入乙容器中．（导管与导管内的液体体积忽略不计，圆柱体的体积＝底面积×高） (1)①当甲容器内水位下降，则乙容器内水位上升 ； ②当时，试判断虹吸现象过程中乙容器内的水是否会溢出？直接写出答案： （填：“会”或“不会”） (2)当虹吸现象结束时，若乙容器内水位深度是甲容器内水位深度的3倍，请求出此时长方体木块高度的值； (3)小结你在探究过程中发现的等量关系，并记录下来（两条即可） ① ； ② ． 重难点五 一元一次方程的应用——行程问题 一、基本公式梳理 1. 核心等量关系 路程=速度×时间（s=v×t） 速度=路程÷时间（v=s÷t） 时间=路程÷速度（t=s÷t） 二、常见题型分类解析 （一）相遇问题（相向而行） 1. 特征：两个物体从两地出发，沿同一路线相向运动，最终相遇 2. 等量关系： 甲行驶路程+乙行驶路程=两地总路程 甲行驶时间=乙行驶时间（同时出发时） 3. 解题步骤： （1）设相遇时间为t（或设其中一个物体速度为v） （2）分别表示甲、乙的行驶路程（s₁=v₁t，s₂=v₂t） （3）根据总路程列方程：v₁t + v₂t = S（两地距离） （二）追及问题（同向而行） 1. 特征：两个物体沿同一路线同向运动，快者追慢者 2. 分类及等量关系： 同时不同地出发：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离 同地不同时出发：快者路程 = 慢者先行路程 + 慢者后续路程 3. 注意点： （1）明确追及开始时两者的位置关系（距离差） （2）若涉及停留时间，需分段计算时间 （三）环形跑道问题 1. 相遇情形（反向而行）： 等量关系：甲路程 + 乙路程 = 跑道周长（首次相遇） 2. 追及情形（同向而行）： 等量关系：快者路程 - 慢者路程 = 跑道周长（首次追上） 3. 多次运动： 第n次相遇/追及时，路程和/差 = n×跑道周长 （四）航行问题（含水流/风速） 1. 速度关系： · 顺水速度=静水速度+水流速度（v顺=v静+v水） · 逆水速度=静水速度-水流速度（v逆=v静-v水） · 静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2 · 水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2 2. 等量关系： 往返路程相等（s顺=s逆） 可根据时间关系列方程：s/(v静+v水) + s/(v静-v水) = 总时间 1．某列车通过360米的第一个隧道用去24秒，接着通过第二个长216米的隧道用去16秒，这个列车的长是（   ） A．72米 B．24米 C．144米 D．96米 2．甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发 小时后甲乙相距10千米． 3．如下图，现有两条乡村公路和长长1600m．一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶；另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶，并且两人同时出发． (1)经过多少分钟摩托车追上自行车？ (2)两人均在行驶途中时，经过多少分钟在行进路线上相距150m？ 重难点六 一元一次方程的应用——和差倍分问题 一、问题特征识别 1. 和差关系：题目中出现"共""总和""比...多""比...少""相差"等关键词 2. 倍分关系：题目中存在"是...的几倍""增加几倍""减少几分之几""占...的几分之几"等表述 3. 等量关系：通常包含两个或多个量之间的数量比较，存在明显的大小或比例关系 二、解题步骤详解 1. 设元技巧 （1）直接设元法：直接设问题中所求的量为未知数x 适用场景：所求量单一且直接关联已知条件 （2）间接设元法：设与所求量相关的中间量为未知数x 优势：简化含比例关系的等量表达式 2. 等量关系构建方法 （1）和差问题基本模型： 大数=小数+差 较小数=较大数-差 两数和=大数+小数=2×小数+差=2×大数-差 （2）倍分问题基本模型： 若A是B的n倍，则A=B×n 若A比B多n倍，则A=B×(n+1) 若A是B的几分之几(m/n)，则A=B×(m/n) （3）复合关系处理： 找出题目中的"基准量"（通常是"是""比"后面的量） 用基准量表示其他相关量 根据总量关系或差值关系建立方程 3. 规范解题流程 （1）审题标记：圈画关键词，标注已知量和未知量 （2）设元表示：用x表示未知数，并表示出所有相关量 （3）列方程：根据核心等量关系列出一元一次方程 （4）解方程：按步骤求解（去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1） （5）检验作答：验证解的合理性（是否符合实际意义），完整回答问题 1．张叔叔家养的公鸡和母鸡共240只．其中公鸡的只数是母鸡的，张叔叔家养的母鸡有（　　）只． A．90 B．150 C．160 D．108 2．图图把1瓶果汁倒入4个小杯，1个中杯和1个大杯，正好都倒满，大杯的容量是小杯的3倍，中杯的容量是小杯的2倍，如果都倒入小杯，1小杯的容量是这瓶果汁的 ． 3．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 重难点七 一元一次方程的应用——销售问题 一、核心等量关系梳理 1. 利润相关公式 利润=售价-成本价（进价） 利润率=（利润÷成本价）×100% → 推导公式：利润=成本价×利润率 售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） 折扣销售：售价=标价×折扣率（如八折即折扣率为0.8） 2. 注意事项 区分“成本价（进价）”与“标价（原价）”：成本价是商家进货的价格，标价是商品标签上的定价，售价是实际成交价格（可能等于标价或打折后的价格）。 利润率的计算基数是成本价，而非售价或标价。 二、解题步骤与方法 步骤1：审题——明确量与未知量 通读题目，标记关键信息：成本价（进价）、标价、售价、折扣率、利润率、销售量、总利润等。 确定所求未知量（如“求售价”“求利润率”“求成本价”等），设为未知数 ( x )（通常设“什么”为 ( x )，若有多个量，优先设与成本价或售价相关的量）。 步骤2：列代数式——用含 ( x ) 的式子表示相关量 根据题目中的数量关系，将其他未知量用含 ( x ) 的代数式表示。 步骤3：找等量关系——建立方程 根据“利润=售价-成本价”“利润率=利润÷成本价”或题目中的具体描述（如“获利20元”“利润率为15%”“打折后利润率为8%”）建立等量关系。 常见等量关系类型： ① 已知利润求售价/成本价：售价-成本价=给定利润； ② 已知利润率求售价/成本价：（售价-成本价）÷成本价=给定利润率； ③ 折扣问题：标价×折扣率-成本价=利润（或成本价×利润率）。 步骤4：解方程并检验 · 解一元一次方程，求出 ( x ) 的值。 · 检验解的合理性：确保售价、利润等结果为正数，折扣率在0~1之间（如折扣率不能大于1，即不能超过原价）。 1．某商人一次卖出两件衣服，一件赚了，一件亏了，售价都是元，在这次生意中，该商人（  ） A．不赚不赔 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 2．某商店将一种商品打九折出售，则该商品的利润率为．若这种商品的进价为1800元件，则这种商品的原价是 元件． 3．某超市开展促销活动，一次性购物满200元后将给购物者优惠，购物超过200元不足500元的，按9折优惠；购物超过500元的，500元以下（含500元）仍按9折优惠，而超过500元的部分按8折优惠．某人第一次和第二次购物分别用了134元和490元，问： (1)此人两次购物时．所购物品的原价是多少？ (2)在此次活动中他节省了多少钱？ (3)如果此人将两次购买的物品一次全部购买，是否更省钱？请说明你的理由． 重难点八 一元一次方程的应用——分配问题 一、明确分配问题核心特征 分配问题的本质是将某一总量按照特定标准分配给不同对象，核心等量关系为分配前总量=分配后各部分量之和。常见类型包括：物品分配（如书本、零件）、人员分配、资源分配（如时间、资金）等。解题时需重点关注“分配标准”（如每人数量、每组数量、比例关系）及“总量不变”这一隐含条件。 二、五步解题法详解 1. 审题：找出关键量与关系 · 找总量：确定被分配的整体数量（如“共有50本练习本”“总人数30人”）。 · 找对象：明确分配的接收方（如“分给男生和女生”“分配到A、B两组”）。 · 找分配标准：提取分配规则，区分“直接分配”（如“每人分3本”）或“间接分配”（如“男生比女生多分2本”“A组是B组的2倍”）。 · 找隐含条件：注意是否存在“剩余”“不足”“相等”等关键词（如“每人分5本则多10本”“分配后两组人数相同”）。 2. 设元：合理设未知数 · 直接设元：问什么设什么（优先选择）。若问题明确求分配对象数量（如人数、组数），直接设为未知数。 · 间接设元：若直接设元导致等量关系复杂，可设分配标准中的中间量为未知数。 3. 列代数式：用含未知数的式子表示各部分量 根据分配标准，用未知数表示“分配后各部分量”或“两种分配方案下的总量”。 · 正向分配：总量=对象数量×单位分配量+剩余量（或-不足量）。 · 比例分配：若按比例分配（如A:B=2:3），设A为( 2x )，B为( 3x )，则总量= ( 2x + 3x )。 4. 列方程：根据总量不变或等量关系建立方程 核心依据：不同分配方案下的总量相等，或各部分量之和=总量。 5. 解方程并检验：求出未知数，验证合理性 · 解方程：按一元一次方程解法（移项、合并同类项、系数化为1）求解。 · 检验： ① 代入方程验证左右两边是否相等（3×45+20=155，4×45-25=155，总量相等，正确）； ② 检查解是否符合实际意义（人数不能为负，分配量不能为分数时需取整数，如“组数”需为正整数）。 1．甲、乙、丙三数之比是，甲、乙两数之和比乙、丙两数之和少20，则乙数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 2．甲、乙两人原有的钱数之比是，后来甲用去80元，乙得到20元，这时甲，乙两人的钱数比是，原来甲有 元． 3．【分数、比的应用】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 重难点九 一元一次方程的应用——收费问题 一、核心解题思路 1. 精准审题：仔细阅读题目，明确收费类型（如分段计费、固定费率、阶梯收费等），找出已知条件和未知量 2. 建立模型：根据收费规则确定等量关系，通常遵循"总费用=各阶段费用之和"原则 3. 设元技巧：设关键未知量为x（通常是计费单位，如用水量、通话时间、行驶里程等） 4. 分类讨论：当题目涉及分段计费时，需先判断未知量所在区间，或分情况讨论 二、分段计费问题四步法 1. 划区间：明确各收费段的分界点及对应费率 2. 定范围：判断未知量x与分界点的关系 若x≤分界点：直接按基础费率计算 若x>分界点：费用=基础费用+超额部分费用 3. 列方程：根据不同范围建立方程 基础模型：基础费用+（x-分界点）×超额费率=总费用 4. 验结果：解方程后需验证解是否符合所假设的范围，若不符合需重新假设区间 1．（分段收费）某停车场的收费标准如图所示，一辆汽车付停车费34元，那么停车时间可能是（    ）． 收费标准：2小时以内（含2小时）10元 超出2小时，超出部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）． A． B． C． D． 2．为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民用水阶梯水价制度，每年水费计算方法为：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1820元，则该同学家这一年的用水量为 ． 某市居民用水阶梯水价表： 阶梯 户年用水量() 水价(元/) 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 3．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 重难点十 一元一次方程的应用——古代问题 一、核心解题步骤 1. 审题翻译：将古文表述转化为现代语言，圈点关键数量关系（如"多""少""倍""几分之几""共""余"等） 2. 设元技巧：优先设问题中的直接未知数（问什么设什么），复杂问题可设间接未知数（如"若设某个中间量为x，则其他量更容易表示"） 3. 找等量关系： 利用题目中不变的量建立等式（如总量不变、年龄差不变） 关注包含倍数关系、比较关系的句子（如"甲是乙的3倍""A比B多20"） 古代问题常涉及"盈不足""鸡兔同笼"等经典模型，需识别对应等量结构 4. 列解方程：根据等量关系列出标准一元一次方程（ax+b=0），注意单位统一，解后需检验解的合理性（如人数、物品数应为正整数） 二、典型古代问题模型解析 1. 盈不足问题 特征：两次分配中出现"盈（多余）"和"不足"两种情况 等量关系：物品总数不变 示例："今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？" 设人数为x，则8x-3=7x+4（物价相等） 2. 鸡兔同笼问题 特征：已知头数和脚数，求两种动物数量 等量关系：总头数=鸡头数+兔头数；总脚数=2×鸡头数+4×兔头数 设鸡有x只，则兔有（总头数-x）只，2x+4(总头数-x)=总脚数 3. 行程问题（相遇/追及） 特征：涉及路程、速度、时间关系 等量关系： · 相遇：甲路程+乙路程=总路程 · 追及：快者路程-慢者路程=初始距离 古代表述转化："日行三百里""先行二日"需转化为速度（里/日）和时间（日） 4. 工程问题 特征：多人协作完成工作 等量关系：工作量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和=总工作量（通常设总工作量为1） 示例："一工程，甲独做需10日，乙独做需15日，合作几日完成？" 设合作x日，则(1/10+1/15)x=1 5. 年龄问题 特征：涉及不同时间点的年龄关系 关键原则：年龄差不变 示例："父年38，子年10，几年后父年是子年的3倍？" 设x年后，则38+x=3(10+x)（年龄差始终为28岁） 1．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有个问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人与钱各几何?”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，若每人出钱，则多了钱；若每人出钱，则少了钱．问：人和钱的数量各是多少？”如果设有x个人共同出钱买鸡，则可列一元一次方程 ． 3．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 重难点十一 一元一次方程的应用——数字问题 一、数字问题核心关系梳理 1. 多位数的表示方法 两位数：设十位数字为(a)，个位数字为(b)，则该数表示为(10a + b)（例如：35可表示为(10×3 + 5)）。 三位数：设百位数字为(a)，十位数字为(b)，个位数字为(c)，则该数表示为(100a + 10b + c)（例如：123可表示为(100×1 + 10×2 + 3)）。 通用规律：(n)位数的第(k)位（从右往左，个位为第1位）数字为(m)时，其数值贡献为。 2. 数字位置变换规律 两位数交换个位与十位数字后，新数为(10b + a)，与原数的差为，和为(11(a + b))。 多位数中，某两位数字交换位置时，需仅改变对应数位的系数（如三位数(100a + 10b + c)交换十位与个位后为(100a + 10c + b)）。 3. 连续数表示方法 连续整数：设中间数为(x)，则三个连续整数可表示为(x - 1)，(x)，(x + 1)（或设最小数为(x)，表示为(x)，(x + 1)，(x + 2)）。 连续奇数/偶数：相邻两数差为2，设中间数为(x)，则三个连续奇数可表示为(x - 2)，(x)，(x + 2)（偶数同理）。 1．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则表中△处的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 2．若三个有理数的乘积为负数，且这三个有理数的和等于其中某个有理数， 则这三个有理数的乘积为 3．【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 重难点十二 一元一次方程的应用——几何动点求t 一、核心思路 几何动点问题的本质是用含t的代数式表示动点运动后的位置或线段长度，再根据题目中的等量关系（如线段相等、面积关系、图形特殊状态等）建立一元一次方程求解。关键在于将动态问题转化为静态的代数表达，明确动点的运动方向、速度、起点和时间范围。 二、解题步骤 1. 确定动点信息 明确动点的起点位置（如数轴上的点、线段端点、图形顶点等）。 记录动点的运动速度（单位：长度单位/时间单位，如cm/s）和运动方向（向左/右、顺时针/逆时针、沿线段/射线等）。 设运动时间为t（注意t的取值范围需满足动点未超出图形边界或题目限制）。 2. 用含t的代数式表示关键量 根据“路程=速度×时间”，计算动点运动的路程（如动点P从点A出发，速度为v，则t秒后路程为vt）。 结合起点位置和运动方向，用t表示动点运动后的具体位置坐标或线段长度： 3. 根据等量关系列方程 分析题目中的核心条件，找出静态时的等量关系（如“线段MN=5cm”“三角形面积为12”“点Q是线段EF的中点”等）。 将用t表示的关键量代入等量关系，列出关于t的一元一次方程。 4. 解方程并验证t的合理性 求解方程得到t的值，检验t是否在合理范围内（如t≥0，且动点未超出运动路径的端点）。 若方程的解不符合t的取值范围，则需舍去（如t为负数或超出图形边界），此时可能不存在满足条件的t。 三、常见题型与等量关系举例 1. 数轴动点问题 等量关系：两点间距离=|坐标差|（如“点A与点B的距离为8”）、中点坐标公式（如“点M是AB中点，则M的坐标=(A坐标+B坐标)/2”）。 方程模型：|(起点1±v1t)-(起点2±v2t)|=距离。 2. 线段动点问题 等量关系：线段和差（AP+PB=AB）、线段倍数关系（如“AC=2BC”）、相遇或追及（同向运动时快者路程-慢者路程=初始距离）。 方程模型：v快t - v慢t = 初始距离（追及问题）；v1t + v2t = 初始距离（相遇问题）。 3. 图形面积相关动点问题 等量关系：面积公式（三角形面积=底×高÷2，矩形面积=长×宽等），用t表示底或高后代入公式。 方程模型：（含t的底）×（含t的高）÷2=定值面积。 1．如图，在长方形中，，点在上，且．动点以1个单位长度/秒的速度沿路径运动，同时动点从点出发，以同样的速度沿方向运动，到点停止运动，设点运动的时间秒． 在点、在运动过程中，阴影部分（即点、、、构成的图形）面积为，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，点表示，点表示，点表示，我们称点和点相距个单位长度．动点，同时出发，点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒，问：当，两点相距的长度与，两点相距的长度相等时，的值为 ． 3．已知长方形，如图所示放置在数轴上，点与表示的点重合，与表示2的点重合，宽（表示线段的长度），点是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)___________． (2)若点表示的数为，则___________． (3)若，则点表示的数为多少？ (4)若点与表示的点重合，将长方形沿着数轴向左移动，当点表示的数为多少时，，直接写出结果． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $