精品解析：广东省广州市培英中学2025--2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025学年第一学期初二教育教学评价 数学练习卷 本练习卷共4页，共25小题，满分150分，用时120分钟． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 一种计算机每秒可做次运算,它工作秒运算的次数为 （ ） A B. C. D. 3. 下列各式中，计算错误的是（ ） A. a2·a3＝a5 B. (a2)3＝a6 C. (－2a)3＝－6a3 D. a3÷a＝a2 4. 如图，已知，，现添加一下哪个条件仍无法判定是（ ） A. B. C. D. 5. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则腰长为（ ） A 或 B. 或 C. 或 D. 6. 已知点和点关于x轴对称，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C D. 8. 如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（　　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 9. 如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 10. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知三角形的两边长分别为6，11，第三边长为，则的取值范围是______． 12. ______． 13. 如图，在中，，点D在的延长线上，，则______． 14. 若，则___． 15. 如图，在中，一内角和一外角的平分线交于点，连接，，则______． 16. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．下列结论中：；；；，其中正确的有_____ 三、解答题（共9小题，满分102分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 若，求的值． 20. 如图，和相交于点O，，．求证： 21. 如图，在中，，是的角平分线， （1）尺规作图：求作的高线； （2）在（）的条件下，连接，求证：垂直平分． 22. 如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． （1）求证：； （2）若的边长为1，求的长． 23. 如图，正方形中，点分别在上，交于点； （1）_______． （2）在线段上截取，连接的角平分线交于点． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与数量关系，并证明． 24. [背景]角的平分线是常见的几何模型，利用轴对称构造三角形全等可解决有关问题． [问题]在四边形ABDE中，C是BD边的中点． （1）如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案） （2）如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； （3）如图3，若∠ACE＝120°，AB＝4，DE＝9，BD＝12，则AE的最大值是______．（直接写出答案） 25. 如图所示，点是线段的中点，，. （1）如图1，若，求证是等边三角形； （2）如图1，在（1）的条件下，若点在射线上，点在点右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点，求的长度； （3）如图2，在（1）的条件下，若点在线段上，是等边三角形，且点沿着线段从点运动到点，点随之运动，求点的运动路径的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期初二教育教学评价 数学练习卷 本练习卷共4页，共25小题，满分150分，用时120分钟． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．不是轴对称图形，不合题意； 故选：B 2. 一种计算机每秒可做次运算,它工作秒运算的次数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：它工作秒运算的次数为： （4×108）×（3×103）， =（4×3）×（108×103）， =12×1011， =1.2×1012． 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，主要利用单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质求解，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列各式中，计算错误的是（ ） A. a2·a3＝a5 B. (a2)3＝a6 C. (－2a)3＝－6a3 D. a3÷a＝a2 【答案】C 【解析】 【分析】运用同底数幂相乘运算法则计算并判定A；运用幂的乘方运算法则计算并判定B；运用积的乘方运算法则计算并判定C；运用同底数幂相除运算法则计算并判定D． 【详解】解：A、a2·a3＝a5，正确，故A不符合题意； B、(a2)3＝a6，正确，故B不符合题意； C、(－2a)3＝－8a3，错误，故C符合题意； D、a3÷a＝a2，正确，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂相乘和相除，幂的乘方和积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4. 如图，已知，，现添加一下哪个条件仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是添加条件判定三角形全等，本题先分析得到已有的条件：，，再结合添加的条件逐一分析结合边边角，角角角不能判定两个三角形全等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 添加：，可利用证明全等，故A不符合题意； 添加：， ∴，可利用证明全等，故B不符合题意； 添加：，结合已知条件不符合判定定理的要求，不能判定全等，故C符合题意； 添加：，可利用证明全等，故D不符合题意； 故选C 5. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则腰长为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，分长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是的边是腰时，三边为，，，等腰三角形成立，腰长是； 当长是的边是底边时，三边为，，，等腰三角形成立，腰长是． 故腰长是或． 故选：B． 6. 已知点和点关于x轴对称，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 7. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定； B、图中是垂直平分线的作图，可得，能确定； C、图中是垂线或高线的作图，不能确定； D、图中是角平分线的作图，不能确定． 故选：B． 8. 如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（　　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，CQ＝AQ，求出∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ＝70°，再求出答案即可． 【详解】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°， ∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线， ∴AP＝BP，CQ＝AQ， ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C， ∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°， ∵∠BAC＝110°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出AP＝BP和AQ＝CQ是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②等边对等角，③三角形内角和等于180°． 9. 如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称的性质作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，得到△PMN，由此解答. 【详解】解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP， ∵PD⊥AC，PG⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝90°， ∴∠C+∠EPF＝180°， ∵∠C＝50°， ∵∠D+∠G+∠EPF＝180°， ∴∠D+∠G＝50°， 由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM， ∴∠GPN+∠DPM＝50°， ∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°， 故选：D． 【点睛】此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键. 10. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质及定义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质及定义是解题的关键．由，，推导出，则，可判断①正确；在上截取，连接，由，求得，则，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断②正确；连接，作于点，于点，由角平分线的性质得，求得，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：△的角平分线、交于点， ，， ， ，故①正确； 如图，上截取，连接， ， ， ， △和△中， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ，故②正确， 如图，连接，作于点，于点， 平分，平分，交于点，且于点， ， ， ，故③正确； 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知三角形的两边长分别为6，11，第三边长为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再选出答案． 【详解】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得，即． 故答案为：． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式与多项式的乘法运算法则解答即可． 本题考查了单项式与多项式的乘法运算，需运用分配律和指数法则进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，点D在的延长线上，，则______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及平角的定义，根据点D在的延长线上，利用平角等于可求出，再利用三角形的内角和定理即可求出 【详解】解：∵点D在的延长线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 若，则___． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方逆运算法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15. 如图，在中，一内角和一外角的平分线交于点，连接，，则______． 【答案】##48度 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义与性质、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义与性质、三角形外角的性质是解决本题的关键． 由平分，平分， ，结合三角形外角性质，可得，即可求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又 ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．下列结论中：；；；，其中正确的有_____ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质及三角形三边关系判断②③；根据全等三角形的性质及平行线间的距离相等及三角形面积公式判断④． 【详解】解：在中，∵， ∴， 又∵、分别平分， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴（）， ∴，，，故②正确； 在和中， ∵， ，， ∴， ∴， 又∵， ∴．故③正确； 连接，， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ 故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键． 三、解答题（共9小题，满分102分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再进行合并即可； （2）先利用多项式乘多项式法则计算，再进行合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， ． 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的除法法则和去括号、合并同类项法则． 先对原式进行整式除法和去括号运算，再合并同类项化简，最后将代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先求出的值，再把所求式子变形为，进一步变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20. 如图，和相交于点O，，．求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的证明和平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据平行得到，再由即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 21. 如图，在中，，是的角平分线， （1）尺规作图：求作的高线； （2）在（）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了经过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，掌握以上知识点是解题的关键． （）过点作的垂线即可； （）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证； 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问2详解】 证明：由（）得是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵是的角平分线， ∴, 在和中, ， ∴， ∴，， ∴点在垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 22. 如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． （1）求证：； （2）若的边长为1，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． （1）如图，过P作交于点F，证明是等边三角形；证明，进而结论得证； （2）由（1）可知，是等边三角形，由，可得，由（1）可知，，则，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，过P作交于点F， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知，是等边三角形， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴的长为． 23. 如图，正方形中，点分别在上，交于点； （1）_______． （2）在线段上截取，连接的角平分线交于点． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线． （1）通过证明，得出，根据，得出，即可解答； （2）①根据题意补全图形即可；②过点A作，交延长线于点H，连接，先证明，得出，则，再证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①根据题意补全图形如图所示： ②证明：过点A作，交延长线于点H，连接， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. [背景]角的平分线是常见的几何模型，利用轴对称构造三角形全等可解决有关问题． [问题]在四边形ABDE中，C是BD边的中点． （1）如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案） （2）如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； （3）如图3，若∠ACE＝120°，AB＝4，DE＝9，BD＝12，则AE的最大值是______．（直接写出答案） 【答案】（1）AE=AB+DE （2）AE=AB+DE+BD （3） 【解析】 【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论； （3）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，进而得出结论； （3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．根据两点之间线段最短解决问题即可． 【小问1详解】 AE=AB+DE； 理由：AE上取一点F，使AF=AB， ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC=∠FAC． 在△ACB和△ACF中， ， ∴△ACB≌△ACF（SAS）， ∴BC=FC，∠ACB=∠ACF． ∵C是BD边的中点． ∴BC=CD， ∴CF=CD． ∵∠ACE=90°， ∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90° ∴∠ECF=∠ECD． 在△CEF和△CED中， ， ∴△CEF≌△CED（SAS）， ∴EF=ED． ∵AE=AF+EF， ∴AE=AB+DE， 故答案为：AE=AB+DE； 【小问2详解】 猜想：AE=AB+DE+BD． 证明：在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG． ∵C是BD边的中点， ∴CB=CD=BD． ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC=∠FAC． 在△ACB和△ACF中， ∴△ACB≌△ACF（SAS）， ∴CF=CB， ∴∠BCA=∠FCA． 同理可证：CD=CG， ∴∠DCE=∠GCE． ∵CB=CD， ∴CG=CF ∵∠ACE=120°， ∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°． ∴∠FCA+∠GCE=60°． ∴∠FCG=60°． ∴△FGC是等边三角形． ∴FG=FC=BD． ∵AE=AF+EG+FG． ∴AE=AB+DE+BD． 【小问3详解】 作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG，如图所示： ∵C是BD边的中点， ∴CB=CD=BD=， ∵△ACB≌△ACF（SAS）， ∴CF=CB=， ∴∠BCA=∠FCA， 同理可证：CD=CG=， ∴∠DCE=∠GCE， ∵CB=CD， ∴CG=CF， ∵∠ACE=120°， ∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°， ∴∠FCA+∠GCE=60°， ∴∠FCG=60°， ∴△FGC是等边三角形， ∴FC=CG=FG=， ∵AE≤AF+FG+EG， ∴当A、F、G、E共线时AE的值最大，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键． 25. 如图所示，点是线段的中点，，. （1）如图1，若，求证是等边三角形； （2）如图1，在（1）的条件下，若点在射线上，点在点右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点，求的长度； （3）如图2，在（1）的条件下，若点在线段上，是等边三角形，且点沿着线段从点运动到点，点随之运动，求点的运动路径的长度. 【答案】（1）证明见解析；（2）18；（3）18. 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得BA=BC，再得，即可证明是等边三角形； （2）证明，得出，继而得到，即可求得PC的长度； （3）取BC的中点H，分两种情况证明，得出或，可知点N的运动路径是一条线段，据此求解即可. 【详解】解：（1）∵，， ， 是线段中点，， ， 是等边三角形； （2）∵、是等边三角形， ∴，AB=BC，BD=BQ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ； （3）取BC的中点H，连接OH,连接CN， 分两种情况讨论： 当M在线段上时，如图2， ∵H是BC的中点，, ∴, ∴是等边三角形, ∵是等边三角形, ∴，OM=ON， ， ∴, ∴， 点从起点到做直线运动, ∵当点M在点B时，CN=BH=9, ∴点M从B运动到H时，点N运动路径的长度等于9； 当点M在线段上时，如图3， ∵H是BC的中点，, ∴, ∴是等边三角形, ∵是等边三角形, ∴，OM=ON， ， ∴, ∴， 点从到终点做直线运动, ∵当点M点C时，CN=CH=9, ∴点M从H运动到C时，点N运动路径的长度等于9； 综上所述，的路径长度为：. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，发现或构造全等三角形是解题的关键，本题难度较大，旨在培养学生综合运用所学知识解决复杂问题的能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $