精品解析：福建省宁德市第二教研共同体2025-2026学年高一上学期11月期中质量检测数学试题

2025-2026学年上学期第二教研共同体高一半期考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列四个图中，能反映变量是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数，则（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 25 5. 已知，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知实数，满足，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 的最小值为2 8. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，且，则的值可能为（ ） A. -1 B. 0 C. D. 2 10. 不等式对于一切实数都成立，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 11. 用表示不超过的最大整数，例如，，.已知函数，则（ ） A. B. 若，则 C. 为奇函数 D. 当时，方程的所有实根之和为33 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数的图象经过点, 则的值是_________. 13. 若，，则实数的取值范围为__________. 14. 已知，函数，若，，使，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）解不等式：. （2）已知，，且，求的最小值. 17. 已知是上的奇函数，且. （1）求实数，的值； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若，求的取值范围. 18. 个人理财投资是增加收入的一个重要途径，某人根据市场调研发现：稳健型产品的年收益（单位：万元）与投资额（单位：万元）成正比，其关系如图1所示；风险型产品的年收益（单位：万元）与投资额（单位：万元）的算术平方根成正比，其关系如图2所示. （1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式. （2）现有10万元资金全部用于这两种产品的个人理财投资，请问怎么分配资金能使投资获得最大年收益？其最大年收益是多少万元？ 19. 已知集合为非空数集，定义：，. （1）若集合，写出集合，. （2）若集合，，且，求证：. （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期第二教研共同体高一半期考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据交集运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：C. 3. 下列四个图中，能反映变量是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的定义逐个判断即可. 【详解】对于ABC三个图象，都出现一个对应两个的情况，不符合函数定义， 对于D，符合一个有唯一一个和它对应，符合函数定义， 故选：D 4. 函数，则（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】令，得，即可求解. 【详解】令，得， 所以， 故选：C 5. 已知，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举反例排除ACD；利用不等式的性质证明B. 【详解】选项 A： ，，则 . 由于，不满足 ，故选项 A 不成立； 选项 B： 因为，所以，， 又因为，由不等式的性质得，故选项 B 成立； 选项 C： 取 ，，则  不满足 ，故选项 C 不成立； 选项 D： 取，，则 . 不满足 ，故选项 D 不成立. 故选：B 6. 已知命题，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求解，得到，再结合集合间的关系即可求解. 【详解】由，解得：， 因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 7. 已知实数，满足，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 的最小值为2 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式和特殊值逐项判断即可. 【详解】对于A，取，得，故A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，取，得，故C错误， 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：D 8. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数单调性得到求解即可. 【详解】由函数在上的减函数， 可得：，解得：， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，且，则的值可能为（ ） A. -1 B. 0 C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，通过和两类情况讨论即可. 【详解】由，得， 当时，，符合题意， 当时，，由， 可得：或， 解得：或， 综上或或. 故选：ABC 10. 不等式对于一切实数都成立，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】由和讨论，求得的范围，即可求解. 【详解】当时，成立， 当时，不等式对于一切实数都成立， 可知，且， 解得， 综上：， 故选：BC 11. 用表示不超过的最大整数，例如，，.已知函数，则（ ） A. B. 若，则 C. 为奇函数 D. 当时，方程的所有实根之和为33 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入计算判断A，根据的定义求函数的单调性判断B，根据奇函数性质判断C，由方程，得到，即可求解. 【详解】对于A，，正确； 对于B，根据的定义，可知对，有， 所以， 所以，所以，B正确， 对于C，举反例，当时，， 而，所以， 故函数不是奇函数，C错误； 对于D，方程，即， 即，即为整数，又， 所以方程的所有实根之和为： ，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数的图象经过点, 则的值是_________. 【答案】 【解析】 【详解】设所求的幂函数为, 函数的图象经过点, 13. 若，，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得的最小值，即可求解. 【详解】由题意可得：，恒成立， 即的最小值大于等于， 又，当时，取等号， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为： 14. 已知，函数，若，，使，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】能成立问题转化为，结合对勾函数图像性质讨论与，列不等式求解即可. 【详解】由题意，只需， 由对勾函数图像性质可得在单调递增，在单调递减， ，， 当时，，， 不符合题意； 当时，，， 则， 解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或. （2） 【解析】 【分析】（1）由集合的交集、并集和补集运算即可求解； （2）由，列出不等式，求解即可. 【小问1详解】 当时，， 又，所以， ， 所以或. 【小问2详解】 因为，且， 所以 解得：. 所以实数的取值范围为. 16. （1）解不等式：. （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）法一：由移项通分得到求解即可；法二：由得或求解即可； （2）由乘1法即可求解. 【详解】解：（1）（解法一）由得，即， 所以， 解得， 故不等式的解集为. （解法二）由得或 解得或 所以. 故不等式的解集为. （2）因为，，且， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 17. 已知是上的奇函数，且. （1）求实数，的值； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）单调递减，证明如下： 由（1）得， 设，则 ， 因为，所以，，，， 所以，即. 又，所以在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）由，求解并验证即可； （2）由函数单调性的定义求证； （3）由，结合函数单调性，去求解即可. 【小问1详解】 依题意可得， 解得，， 经检验，符合条件. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以， 又因为， 且在上单调递减， 所以由可得，即， 解得或， 所以的取值范围为. 18. 个人理财投资是增加收入的一个重要途径，某人根据市场调研发现：稳健型产品的年收益（单位：万元）与投资额（单位：万元）成正比，其关系如图1所示；风险型产品的年收益（单位：万元）与投资额（单位：万元）的算术平方根成正比，其关系如图2所示. （1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式. （2）现有10万元资金全部用于这两种产品的个人理财投资，请问怎么分配资金能使投资获得最大年收益？其最大年收益是多少万元？ 【答案】（1），. （2）投资稳健型产品的资金为万元，投资风险型产品的资金为万元时，年收益最大，最大值为万元. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解， （2）根据题意得的表达式，即可利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】 由题意可设，， 由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得，， 所以，. 【小问2详解】 设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，年收益为万元， 则，， 有， 则当，即时，取得最大值， 所以当投资稳健型产品的资金为万元，投资风险型产品的资金为万元时，年收益最大，最大值为万元. 19. 已知集合为非空数集，定义：，. （1）若集合，写出集合，. （2）若集合，，且，求证：. （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1），. （2） 取，则且0为集合中的最小元素， 又，所以，且为中的最大元素. 因为， 所以且， 而，，均为中元素且非零，故，， 即，， 所以. （3）338. 【解析】 【分析】（1）由题干定义求解即可； （2）由题干定义，对中元素进行排序，找到对应关系即可证明； （3）由题干定义，对B,C中元素进行排序，结合容斥定律得出，再由特例证明存在A使得符合题意. 【小问1详解】 因为，，，，，， 所以由题中定义可得，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，其中，，不妨设， 则， 所以. 因为，所以. 又因为，所以， 因为中最小的元素为0，最大的元素为，， 所以，， 实际上当时满足题意. 证明如下： 设，， 则，. 因为，所以，解得， 故的最小值为169，于是当时，中元素最多， 即时满足题意. 综上所述，集合中元素个数的最大值为338，即的最大值为338. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $