精品解析：广东省广州市华南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

华师附中2025年高一上期中考数学卷 一、选择题（共8小题） 1. 设集合，，，则＝（ ） A. {1，6} B. {3，6} C. {1，3，5，6} D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的补集和交集运算求解. 【详解】，，，，. 故选：A. 2. 、均为实数，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：由，即，所以，由，则，即是充分条件，由即得不到，如满足，显然不成立，故必要性不成立，故是的充分不必要条件； 故选：B 3. 给出下列命题，其中为真命题的是（ ） A. 对任意 ，都有 B. 对任意 ，都有 C. 存在，使得 D. 存在，使 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐项判断即可. 【详解】对于A，，，则，命题“对任意，都有”是假命题，A不是； 对于B，，当时，，命题“对任意，都有”是假命题，B不是； 对于C，使成立的实数只有，而，命题“存在，使得”是假命题，C不是； 对于D，，且，命题“存在，使”是真命题，D是. 故选：D 4. 如果，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值排除法及不等式的性质逐一分析即可判断. 【详解】取， 对于：，故错误； 对于：，故错误； 对于：因为，所以，故正确； 对于：，故错误. 故选：C. 5. 已知，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 7. 函数满足若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对的式子适当变形，即可直接求出. 【详解】因为， 所以，则. 故选：A. 8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，当时结合对勾函数性质得到不等式组，解得即可. 【详解】若，则在上单调递增，符合题意； 若，则，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，符合题意； 当，则，则， 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 要使函数在上单调递增， 则，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故选：B 二、多选题（共3小题） 9. 下列幂函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再根据函数的奇偶性定义判断奇偶性，根据幂函数的性质判断单调性即得. 【详解】对于A，函数，因，故函数在上单调递减，不合题意； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称且满足，故函数为奇函数， 且，故函数在上单调递增，故B符合题意； 对于C，因函数的定义域是，关于原点不对称，即函数没有奇偶性，不合题意； 对于D，函数的定义域为，关于原点对称且满足，故函数为奇函数， 且，故函数在上单调递增，故D符合题意. 故选：BD． 10. 下列不等式，其中正确的有（ ） A. (，且) B. 的最小值为1 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】运用基本不等式，结合比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】A：因为，且， 所以有，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项正确； B：假设，则有，此方程无实根，假设不成立， 即 于是，即， 当且仅当时取等号，当该等式不成立，故等号取不到， 因此的最小值不是1，因此本选项不正确； C：因为，当且仅当时取等号， 所以，因此本选项正确； D：当时，，显然不成立，因此本选项不正确， 故选：AC 11. 设正数x，y，z满足，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】因为均为正数，所以可通过比较它们两两之间的商与1的大小来判断这它们的大小关系. 【详解】由，得，，，所以，． 当，即时，因为，所以，，所以，所以选项A正确． 当，即时，，所以选项C正确． 当，即时，因为，所以，，所以，所以选项D正确． 故选：ACD. 三、填空题（共3小题） 12. 已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令可得出，令结合偶函数的性质可求得函数的解析式，由此可得出函数的值域. 【详解】对，令，则，解得； 对，令，则， 又为偶函数，，故，解得。 又，故其值域为. 故答案为：. 13. 已知集合，，则中所有元素的和的可能值组成的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式求得，根据判别式求得，由此求得，进而求得中所有元素的和构成的集合. 【详解】，所以. ， 当时，， ，所有元素的和为2025. 当时，， ，所有元素的和为. 当时，由求根公式有的两个不相等的实数根为， ，其中， 若，， ，所有元素的和为. 若，则，所有元素的和为， 综上所述，的所有情况中，所有元素的和构成的集合为. 故答案为： 14. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】移项、通分，因式分解，再等价转化为整式不等式（组），解得即可. 【详解】由，即，即，即， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题（共5小题） 15. 已知集合. （1）若，全集，求； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用并集、补集的定义求解. （2）利用并集的结果，结合集合元素的互异性求解. 【小问1详解】 当时，，则，而， 所以. 【小问2详解】 由，得，即，由，得， 而，因此，则， 所以实数的值为. 16 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 【答案】（1）为奇函数，证明见解析 （2）在区间上单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再由奇偶性的定义证明即可； （2）根据单调性的定义，利用作差法证明即可. 【小问1详解】 为奇函数，证明如下： 由，则其定义域为， 而， 所以为奇函数； 【小问2详解】 在区间上单调递增，证明如下： 设任意的且， 则 ， 因为且，所以，， 所以，即， 所以， 所以函数在区间上单调递增. 17. 近几年打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元），且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完. （1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式； （2）2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为10（千件）时工厂所获利润最大，最大利润是8万元. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式； （2）当时，利用二次函数的性质得到当时，万元，当时，利用基本不等式求出最大值，比较后得到结论. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 所以 【小问2详解】 若，即， 当时，万元； 若， 当且仅当时，即时，万元， 因为， 所以2024年年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元. 18. 已知二次函数的图象过点，且. （1）求的解析式； （2）已知.，求函数在上的最小值（直接写出答案）； （3）若，若函数在上是单调函数，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由，可得函数关于对称，从而可求得，再利用待定系数法求即可； （2）去绝对值符号得，再分，和三种情况讨论即可； （3）取绝对值符号可得，再分，和三种情况讨论，求出函数的单调区间，结合已知即可得解. 【小问1详解】 解：因为， 所以函数关于对称， 则，所以， 又，即，所以， 所以； 【小问2详解】 解：， 即， 由， 当时，令，即，解得（舍去）， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述； 【小问3详解】 解：， 当时，在上递增，符合题意； 当时，则， 此时函数在上递增，在上递减， 则或或，解得； 当时，， 则函数在上递增，在上递减， 则或或，解得， 综上所述，的取值范围为或或. 【点睛】本题考查了函数的对称性及求二次函数的解析式，考查了分段函数和二次函数的最值问题，考查了根据函数在区间上的单调性求参数的取值范围，考查了分类讨论思想，有一定的难度. 19. 已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值； （2）已知函数的图象关于点中心对称. （ⅰ）求实数、的值； （ⅱ）设函数，其中，若正数、满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ），；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性可求出的值； （2）（i）根据函数对称性的定义得出，根据等式恒成立可得出关于、的方程组，结合可得结果； （ii）推导出，利用倒序相加法可得出，利用参变量分离法结合基本不等式可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为函数图象关于点中心对称， 所以为奇函数，所以， 令，则有，故；令，则有， 所以. 小问2详解】 （ⅰ）由题意可得为奇函数， 所以，则， 所以，有， 所以恒成立， 所以，解得或， 因为，所以，； （ⅱ）因为， 所以， 所以， 因为， ， 两式相加得，即， 又由， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求参数，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华师附中2025年高一上期中考数学卷 一、选择题（共8小题） 1. 设集合，，，则＝（ ） A. {1，6} B. {3，6} C. {1，3，5，6} D. 2. 、均为实数，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 给出下列命题，其中为真命题的是（ ） A 对任意 ，都有 B. 对任意 ，都有 C. 存在，使得 D. 存在，使 4. 如果，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知，，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 函数满足若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上单调递增，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9. 下列幂函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列不等式，其中正确的有（ ） A. (，且) B. 的最小值为1 C. D. 11. 设正数x，y，z满足，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题） 12. 已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________. 13. 已知集合，，则中所有元素的和的可能值组成的集合为______. 14. 不等式的解集是______． 四、解答题（共5小题） 15 已知集合. （1）若，全集，求； （2）若，求实数的值. 16. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 17. 近几年打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元），且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完. （1）求出2024年利润（万元）关于年产量（千件）的表达式； （2）2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知二次函数的图象过点，且. （1）求的解析式； （2）已知.，求函数在上的最小值（直接写出答案）； （3）若，若函数在上是单调函数，求的取值范围. 19. 已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值； （2）已知函数的图象关于点中心对称. （ⅰ）求实数、的值； （ⅱ）设函数，其中，若正数、满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $