精品解析：福建省厦门集美中学2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题

集美中学2025-2026学年第一学期高一年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 命题人：陈娟兰 审题人：丁仕杰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知，，（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. 2 B. 8 C. D. 16 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知且，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 8. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（ ） A. 小时 B. 小时 C. 5小时 D. 小时 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 11. 对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则_____. 13. 若函数是函数（，且）的反函数，且的图象经过点，则______. 14. 已知，若存在，使得，则的取值范围为________，的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）若，求的值； （2）； （3）已知，，试用、表示. 16. 已知函数，. （1）判断的单调性（无需证明）； （2）求的值域； （3）判断与的大小关系并说明理由. 17. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 18. 现体重为的小王准备做五分钟的跑步训练，其分为两个阶段，第一阶段为前一分钟的稳定阶段，第二阶段为后四分钟的疲劳阶段．假设小王稳定阶段做速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段变为的减速运动（表示该阶段所用时间），由于速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力．假定小王可用于跑步消耗的初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：），请回答下列问题： （1）用含时间的式子表示小王剩余体力； （2）小王在五分钟内何时体力达到最低，最低值是多少？ （3）小王在三分整时，恰好跑完，若此时他调整训练准备进入匀速冲刺阶段，此阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），问在保证体力未消耗完的前提下，小王能否在4分20秒前跑完？ 19. 已知函数. （1）当时，求方程的解： （2）若存在，使得，求的取值范围： （3）若函数在上的最小值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美中学2025-2026学年第一学期高一年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 命题人：陈娟兰 审题人：丁仕杰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知，，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的表达形式即可得出答案. 【详解】由题知， 的代表元素是点， 的代表元素是实数， 两者没有交集. 故选：D 2. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. 2 B. 8 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由点求得函数解析式即可求解； 【详解】设， 则，解得：， 所以， 故选：A 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，从而，解出即可． 【详解】解：由题意得，从而，则， 故选：C． 【点睛】本题主要考查含对数的复合函数的定义域，注意底对单调性的影响，属于基础题． 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分，必要条件的定义，双向判断，即可求解选项. 【详解】若，一定， 但反过来，若，不一定，例如，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数，所以，即， 又因为对数函数在上为增函数，所以， 综上所述，. 故选：D. 6. 已知且，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指对函数的图象特征分和判断. 【详解】当时，在R上单调递减且恒过 ，在 上单调递减且恒过 ，B不符合，D符合， 当时, 在R上单调递增且恒过，在 上单调递增且恒过，A、C不符合. 故选：D. 7. 已知，均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求题设不等式左式的最小值，根据恒成立有，即可求的取值范围. 【详解】由题设，，当且仅当时等号成立， 要使恒成立，则，可得. 故选：D 8. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（ ） A. 小时 B. 小时 C. 5小时 D. 小时 【答案】C 【解析】 【分析】先利用函数关系式，结合前5个小时消除了90%的污染物，求出常数k的值，然后根据污染物的残留含量不得超过1%，列出方程，即可求出结论． 【详解】由题意，前5个小时消除了的污染物， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 则由， 即， ∴，即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过1%， 又∵前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时. 故本题选C. 【点睛】本题主要考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域，考查函数的应用，根据实际问题列出表达式是解题的关键，属中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用同向不等式的可加性和同向正数不等式的可乘性来推理，即可得到判断. 【详解】由，利用同向不等式的可加性得：，故A对，B错； 再由，平方可得：， 再利用同向正数不等式的可乘性得：，故C对； 又由，可得：， 再利用同向正数不等式的可乘性得：， 两边同除以正数得：，故D对， 故选：ACD. 10. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 11. 对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义可判断A选项；由取整函数的定义得到，进而可判断B，C选项；先解一元二次不等式，然后取整函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A：当时，，当时，， 所以，不是奇函数，即函数的图象不是关于原点对称，故A错误； 对于B：由取整函数的定义知， ，所以， ，函数的值域为，故B正确； 对于C：由取整函数的定义知，，， 所以，故C正确； 对于D：由得，解得， 结合取整函数的定义可得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法可得出函数的解析式. 【详解】在等式中，令，则， 故，所以. 故答案为：. 13. 若函数是函数（，且）的反函数，且的图象经过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先得到的反函数，代入点，解得的值，得到答案. 【详解】由函数（，且）， 可得， 函数是函数（，且）的反函数 所以（，且）， 代入点，得 ，即，， 所以. 故答案为 【点睛】本题考查求反函数，根据函数图像上的点求参数的值，属于简单题. 14. 已知，若存在，使得，则的取值范围为________，的最大值为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分析可得，结合以及可得出的取值范围，计算得出，结合二次函数的基本性质可得出其最大值. 【详解】因为，则函数在、上均为增函数， 若存在，使得，则，， 所以，即， 又因为，故，， 因为函数在上单调递增， 故当时，取最大值. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）若，求的值； （2）； （3）已知，，试用、表示. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在等式两边平方，可得出的值； （2）利用对数、指数的运算性质化简可得所求代数式的值； （3）利用换底公式、对数的运算性质可将用、加以表示. 【小问1详解】 因为，等式两边平方得，故. 【小问2详解】 原式. 【小问3详解】 因为，，故 . 16. 已知函数，. （1）判断的单调性（无需证明）； （2）求的值域； （3）判断与的大小关系并说明理由. 【答案】（1）函数在上为减函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的性质判断可得出结论； （2）求出函数的最大值，结合可得出函数的值域； （3）判断出，然后利用作差法可证得结论成立. 【小问1详解】 函数在上为减函数，证明如下： 任取、且，即， 所以， 因为，则，，，， 所以，即，故函数在上为减函数. 【小问2详解】 因为函数在上为减函数，故， 又因为，故函数的值域为. 【小问3详解】 ，理由如下： 函数、的定义域均为， 所以 ， 故. 17. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）或 【解析】 【分析】（1）由且求解； （2）利用函数奇偶性的定义判断； （3）将转化为求解. 【小问1详解】 由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 则，化简得 ， 解得或， 故实数的取值范围为或. 18. 现体重为的小王准备做五分钟的跑步训练，其分为两个阶段，第一阶段为前一分钟的稳定阶段，第二阶段为后四分钟的疲劳阶段．假设小王稳定阶段做速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段变为的减速运动（表示该阶段所用时间），由于速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力．假定小王可用于跑步消耗的初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：），请回答下列问题： （1）用含时间的式子表示小王剩余体力； （2）小王在五分钟内何时体力达到最低，最低值是多少？ （3）小王在三分整时，恰好跑完，若此时他调整训练准备进入匀速冲刺阶段，此阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），问在保证体力未消耗完的前提下，小王能否在4分20秒前跑完？ 【答案】（1） （2） （3） 当时，此时. 冲刺时，体力消耗量为 ， 要使在四分二十秒前到达，需要，， 所以小王不能在4分20秒前跑完1200米. 【解析】 【分析】（1）分类讨论当时，当时，得到解析式； （2）当时，为一次函数且单调递减，当时，结合基本不等式求解； （3）当时，此时要使在三分四十前到达，需要，求解即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，. 综上. 【小问2详解】 当时，为一次函数且单调递减， 此过程， 当时，， 当且仅当，即时取等号. 由于，第秒时，体力最小值为kJ； 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）当时，求方程的解： （2）若存在，使得，求的取值范围： （3）若函数在上的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，直接求解一元二次方程； （2）分离参数得在上有解，求函数的最值得解； （3）先得为偶函数，利用换元法研究函数在上的最小值即可. 【小问1详解】 当时，函数. 令，当时，，方程可化为， 解得，所以； 当时，，方程可化为， 解得，舍去. 综上所述，方程的解为. 【小问2详解】 当时，，所以， 由题意得在上有解， 即在上有解， 所以在上有解， 因为在上的最小值为，所以. 【小问3详解】 因为的定义域为，， 所以为偶函数. 由题意知，只需考虑函数在上的最小值. 当时，，. 因为， 所以. 令，则在上单调递增，所以， . 当即时，在上单调递增， 所以，舍去； 当即时，，解得（正值舍去）. 综上所述，的值是. 【点睛】关键点点睛：第（3）问中研究函数在上的最小值，令，进而利用二次函数最值的研究法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $