导数的综合应用——导数与方程 讲义-2026届高三数学一轮复习

导数的综合应用——导数与方程 课前必备知识 课标要求 1.能利用导数研究一般函数的单调性、极值与最值，获得对函数的整体认识．2.会利用导数研究一般函数的零点及其分布． 知识梳理 1．函数零点的有关知识 (1)零点的概念：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的__横坐标__． (2)几个常用结论： ①f(x)有零点⇔y＝f(x)的图象与x轴有__公共点__⇔方程f(x)＝0有__实数解__． ②F(x)＝f(x)－g(x)有零点⇔y＝f(x)与y＝g(x)的图象有__公共点__⇔方程f(x)＝g(x)有__实数解__． ③函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内__至少有一__个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．利用导数研究函数零点的方法 (1)研究y＝f(x)的图象，利用数形结合的思想求解． (2)研究方程有解的条件，利用函数与方程的思想求解． 3．函数与方程的综合问题需要明确以下三个问题的解决方法 (1)研究零点的个数问题； (2)根据零点个数求参数的取值范围； (3)与不等式有关的证明． 函数的零点问题常与数列、导数综合在一起，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等． 课前训练 1．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的值为(　　) A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1 解析：A　由三次函数的图象与x轴恰有两个公共点，结合函数的图象，可得极大值或极小值为零即可满足要求．而f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x＝±1时，f(x)取得极值，由f(1)＝0或f(－1)＝0，可得c－2＝0或c＋2＝0，所以c＝±2.故选A. 2．(2025·重庆模拟预测)若1<ω≤2π，则关于x的方程sin ωx＝x的解的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　由y＝sin ωx，知sin ωx∈[－1，1]，T＝，因为1<ω≤2π，所以1≤T<2π. 如图，在同一坐标系下分别画出y＝sin ωx和y＝x的图象，由图可得y＝sin ωx和y＝x的图象共有3个交点，即方程sin ωx＝x有3个根．故选C. 3．已知函数f(x)＝xln x－1，则f(x)的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：B　因为f(x)＝x ln x－1，f′(x)＝1＋ln x， 由f′(x)＝1＋ln x＝0得x＝， 所以当x>时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数，当0<x<1时，f(x)＝xln x－1<0， 又f(1)＝－1<0，f(2)＝2ln 2－1＝ln >0， 故f(x)的零点所在的区间是(1，2).故选B. 4．(2025·湖北荆门校考)f(x)＝2ex－5x2的零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：D　由2ex－5x2＝0得＝， 构造函数g(x)＝， 求导得g′(x)＝，ex>0， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，且g(0)＝0， g(2)＝>及x→＋∞时，g(x)→0， 所以g(x)的大致图象如图，得到g(x)＝有3个解．故选D. 5．函数f(x)＝若方程f(x)－ax＝0恰有3个根，则实数a的取值范围为________________． 解析：[，)　作出函数f(x)的图象，如图所示． 由题意可知a>0，先求y＝ax与y＝|ln x|相切时的情况， 由图可得此时y＝ln x，y′＝. 设切点为(x0，ln x0)， 则解得 此时直线y＝，且直线y＝与y＝f(x)的图象只有两个公共点，所以a<. 又斜率>， 当a＝时，y＝x与y＝x＋1(x≤0)平行，y＝x与y＝f(x)的图象有三个公共点， 而当a<时，直线y＝ax与y＝f(x)的图象有四个交点，故a∈[，). 课堂核心考点 考点1　函数的零点个数 【例1】 设函数f(x)＝k(x－1)ex＋x，其中e为自然对数的底数，k∈R. (1)若f(x)为R上的增函数，求实数k的取值范围； (2)讨论f(x)的零点的个数． 解析：(1)因为f(x)为R上的增函数， 故f′(x)＝kxex＋1≥0对∀x∈R恒成立． ①当k＝0时，显然符合； ②当k<0时，当x→＋∞时，f′(x)→－∞，不合题意，舍去； ③当k>0时，令g(x)＝kxex＋1，g′(x)＝k(x＋1)ex，则当x<－1 时，g′(x)<0，当x>－1 时，g′(x)>0，故g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增， 则g(x)min＝g(－1)＝－＋1， 依题意，需使－＋1≥0，即k≤e，故得0<k≤e. 综上，实数k的取值范围为[0，e]. (2)由(1)知，令g(x)＝f′(x)＝kxex＋1，g′(x)＝k(x＋1)ex， ①当k＝0时，f(x)＝x有且仅有一个零点x＝0； ②当k>0时，若x≤0，则f(x)<0，f(x)无零点，当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，注意到f(0)＝－k<0，f(1)＝1>0，由函数零点存在定理，f(x)在(0，1)上有唯一的零点； ③当k<0时，令g′(x)＝0⇔x＝－1，当x<－1时，g′(x)>0，当x>－1时，g′(x)<0， 故f′(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减， x≤0时，f′(x)>0，x>0时，f′(x)单调递减， 注意到f′(0)＝1>0，f′(－)＝－e－＋1<0， 则f′(x)在(0，－)上有唯一的零点x0，且当x<x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x>x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 注意到f(k)＝k[(k－1)ek＋1]<0，f(0)＝－k>0，f(1－)＝－e1-＋1－<0， 所以f(x)在(k，0)和(0，1－)上各有一个零点x1，x2. 综上，当k<0时，f(x)有两个零点；当k≥0时，f(x)有唯一的零点． 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为g(x)的零点个数问题的求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，作出g(x)的大致图象，数形结合求解函数零点的个数． (2)利用函数零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 变式探究 1．(2025·北京顺义三模)已知函数f(x)＝x ln(2x＋1)－ax2. (1)当a<0时，求证：函数f(x)存在极小值． (2)讨论函数f(x)的零点个数． 解析：(1)证明：函数f(x)＝x ln(2x＋1)－ax2的定义域为(－，＋∞)， 又f′(x)＝ln(2x＋1)＋－2ax， 因为a<0，则当－<x<0时，ln(2x＋1)<0，<0，－2ax<0， 所以f′(x)<0，函数f(x)在(－，0)上单调递减， 当x>0时，ln(2x＋1)>0，>0，－2ax>0， 则有f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值， 所以当a<0时，函数f(x)存在极小值． (2)函数f(x)＝xln(2x＋1)－ax2的定义域为(－，＋∞)，f(x)＝0⇔xln(2x＋1)＝ax2， 显然x＝0是函数f(x)的零点， 当x≠0时，函数f(x)的零点即为方程a＝的解． 令g(x)＝，x∈(－，0)∪(0，＋∞)， 则g′(x)＝， 令h(x)＝－ln(2x＋1)， 则h′(x)＝－＝－， 当－<x<0时，h′(x)>0，当x>0时，h′(x)<0， 所以函数h(x)在(－，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 所以∀x∈(－，0)∪(0，＋∞)，h(x)<h(0)＝0， 所以g′(x)<0，g(x)在(－，0)，(0，＋∞)上都单调递减． 令φ(x)＝ln(2x＋1)－2x，φ′(x)＝－2＝－， 当－<x<0时，φ′(x)>0，当x>0时，φ′(x)<0， 所以φ(x)在(－，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，φ(x)≤φ(0)＝0， 所以∀x∈(－，＋∞)，恒有ln(2x＋1)≤2x，当且仅当x＝0时取“＝”， 所以当－<x<0时，>2，当x>0时，0<<2， 所以g(x)在(－，0)上单调递减，g(x)的取值集合为(2，＋∞)，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，g(x)的取值集合为(0，2)， 所以当0<a<2或a>2时，方程a＝有唯一解， 当a≤0或a＝2时，此方程无解． 所以当a≤0或a＝2时，函数f(x)有一个零点，当0<a<2或a>2时，函数f(x)有两个零点． 考点2　与函数零点有关的参数范围 【例2】 (2025·全国模拟预测)已知函数f(x)＝(x2－x＋1)ex-1－(2x3＋3x2＋1). (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)设函数g(x)＝f(x)－x2ex-1＋ax3，若g(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 解析：(1)当a＝2时，f(x)＝(x2－x＋1)·ex-1－(2x3＋3x2＋1)，且f(1)＝－1， 所以f′(x)＝(2x－1)ex-1＋(x2－x＋1)·ex-1－(6x2＋6x)＝(x2＋x)ex-1－2x2－2x， 则k＝f′(1)＝2×1－2－2＝－2， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0. (2)函数g(x)＝f(x)－x2ex-1＋ax3＝(－x＋1)ex-1－(3x2＋1)， 因为g(x)有两个零点，所以(－x＋1)ex-1＝(3x2＋1)， 即＝有两个不相等的实数根． 设函数h(x)＝， 则h′(x)＝－， 因为Δ＝(－6)2－4×3×7＝－48<0，所以3x2－6x＋7>0恒成立， 所以当x∈(－∞，0)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，且0<h(x)<h(0)＝； 当x∈(0，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，且h(x)<h(0)＝， 因为函数h(x)＝的图象与直线y＝有两个不同的交点， 所以0<<，即0<a<. 所以实数a的取值范围为(0，). 求解与函数零点有关的参数范围问题，往往先利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，判断函数的大致图象，再讨论其图象与x轴的位置关系，最后确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解． 变式探究 2．(2025·山东潍坊一模)已知函数f(x)＝2m ln x－x＋(m>0). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若函数g(x)＝m2ln2x－x－＋2有三个不同的零点，求m的取值范围． 解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 求导得f′(x)＝－1－＝， 设k(x)＝－x2＋2mx－1， 则Δ＝4(m2－1)， ①当0<m≤1时，Δ≤0，f′(x)≤0恒成立，且至多一点处为0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②当m>1时，Δ>0，k(x)有两个零点x1＝m－>0，x2＝m＋>0， 则当0<x<x1或x>x2时，k(x)<0，即f′(x)<0；当x1<x<x2时，k(x)>0，即f′(x)>0， 即函数f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增． 所以当0<m≤1时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)； 当m>1时，f(x)的单调递减区间为(0，m－)，(m＋，＋∞)，单调递增区间为(m－，m＋). (2)函数g(x)＝m2ln2x－x－＋2＝m2ln2x－＝(mln x－)(mln x＋)， 由于ln x与x－1同号，则y＝mln x＋只有一个零点x＝1， 令t＝，由f(1)＝0， 则g(x)有三个不同的零点等价于函数f(t)有三个不同的零点． 由(1)知，当0<m≤1时，f(t)在(0，＋∞)上单调递减，不合题意； 当m>1时，由(1)知，f(x)的两极值点x1，x2满足x1x2＝1，所以t1t2＝1，得t1<1<t2， 由f(1)＝0, 则f(t1)<f(1)＝0<f(t2)， 由(1)知，当m＝1时，f(x)＝2ln x－x＋在(0，＋∞)上单调递减， 所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝2ln x－x＋<f(1)＝0. 所以当x>1时，ln x<－， 则ln <－，即ln x<－， 因此f(4m2)＝2mln(4m2)－4m2＋<2m(2m－)－4m2＋＝<0， 由零点存在性定理知，f(t)在区间(t2，4m2)上有唯一的一个零点t0， 显然f(t0)＋f()＝2m ln t0－t0＋＋2m ln －＋t0＝0， 而f(t0)＝0，则f()＝0，于是当m>1时，f(t)存在三个不同的零点，1，t0， 所以m的取值范围是(1，＋∞). 考点3　 【例3】 (2025·广东汕头三模)设f(x)＝ex，g(x)＝ln x. (1)证明：xf(x)≥x＋g(x)＋1. (2)若存在直线y＝t，其与曲线y＝和y＝共有3个不同交点A(x1，t)，B(x2，t)，C(x3，t)(x1<x2<x3)，求证：x1，x2，x3成等比数列． 证明：(1)因为f(x)＝ex，g(x)＝ln x， 所以xf(x)≥x＋g(x)＋1等价于xex≥x＋ln x＋1， 即ex＋ln x≥x＋ln x＋1， 令t＝x＋ln x，t∈R，则只需证et≥t＋1， 设g(t)＝et－t－1，t∈R，则g′(t)＝et－1，t∈R， 当t<0时，g′(t)<0，g(t)单调递减； 当t>0时，g′(t)>0，g(t)单调递增． 故g(t)≥g(0)＝1－0－1＝0，即et≥t＋1成立， 所以ex＋ln x≥x＋ln x＋1成立， 即xf(x)≥x＋g(x)＋1得证． (2)记F(x)＝＝， 则F′(x)＝， 当x∈(－∞，1)时，F′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，F′(x)<0. 故F(x)在(－∞，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减， 故F(x)max＝F(1)＝. 记G(x)＝＝， 则G′(x)＝， 当x∈(0，e)时，G′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，G′(x)<0. 故G(x)在(0，e)内单调递增，在(e，＋∞)内单调递减， 故G(x)max＝G(e)＝. 所以函数F(x)与函数G(x)有相同的最大值，作出F(x)与G(x)的图象如下图． 可知，t<且1<x2<e， 又当x∈(0，＋∞)时，F(x)>0，故t>0， 当0<t<时，直线y＝t与两条曲线y＝F(x)和y＝G(x)各有两个不同的交点， 则直线y＝t与曲线y＝F(x)的两个交点分别位于区间(0，1)和(1，＋∞)， 而直线y＝t与曲线y＝G(x)的两个交点分别位于区间(0，e)和(e，＋∞)， 构造H(x)＝F(x)－G(x)＝－， H′(x)＝＋， 当x∈(0，1)时，H(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，H(x)<0. 当x∈(1，e)时，1－x<0，ln x∈(0，1)，ln x－1<0，H′(x)<0， 故H(x)在(1，e)内单调递减， 又H(1)＝>0，H(e)＝－＝<0， 结合零点存在性定理可知，H(x)在(1，e)内存在唯一零点， 故曲线y＝F(x)和y＝G(x)在(1，e)有唯一一个公共点． 由图可得若直线y＝t与两条曲线y＝F(x)和y＝G(x)共有三个不同的交点A(x1，t)，B(x2，t)，C(x3，t)，其中F(x2)＝G(x2)＝t，即＝，即ex2·ln x2＝x， F(x1)＝t，G(x3)＝t，x1<x2<x3， 由F(x2)＝G(x2)＝＝＝F(ln x2)＝F(x1)， 又0<ln x2<1，0<x1<1， 结合F(x)在(－∞，1)内单调递增，故x1＝ln x2. 由F(x2)＝G(x3)，得＝＝，即G(ex2)＝G(x3)， 又ex2>e，x3>e， 结合G(x)在(e，＋∞)内单调递减，故x3＝ex2， 故x1·x3＝ex2·ln x2＝x， 故x1，x2，x3成等比数列． 解决有关含参数的函数零点与不等式证明问题时，常常需要探究零点的范围，然后构造函数，应用导数研究函数的单调性，用求出其极值和最值，作出其大致图象，最后根据含参变量的不同取值分类讨论，证明与零点有关的等式或不等式． 变式探究 3．(2025·天津南开一模)已知a－2，a为函数f(x)＝(x2＋mx＋n)ex的极值点，直线l过点A(a－2，f(a－2))，B(a，f(a))，a∈R. (1)求f(x)的解析式及单调区间． (2)证明：直线l与曲线y＝f(x)交于另一点C. (3)若n<<n＋1，n∈N，求n.(参考数据：ln 2＝0.693…，ln 5＝1.609…) 解析：(1)因为f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m＋n]ex， 依题意有a，a－2是方程x2＋(m＋2)x＋m＋n＝0的两根， 则－(m＋2)＝2a－2，m＋n＝a(a－2)， 解得m＝－2a，n＝a2，所以f(x)＝(x2－2ax＋a2)ex. 当x∈(－∞，a－2)与(a，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(a－2，a)时，f′(x)<0. 所以f(x)在(－∞，a－2)，(a，＋∞)上单调递增，在(a－2，a)上单调递减． (2)证明：直线AB的方程为y－f(a)＝(x－a)， 即y＝－2ea－2(x－a)． 由 得(x－a)[(x－a)ex＋2ea－2]＝0，　① 显然x＝a和x＝a－2为方程①的解． 设g(x)＝(x－a)ex＋2ea－2， 则g′(x)＝(x－a＋1)ex，令g′(x)＝0，得x＝a－1， 当x∈(－∞，a－1)时，g′(x)<0；当x∈(a－1，＋∞)时，g′(x)>0. 所以g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增． 因为g(a－1)＝(2－e)ea－2<0，g(a)＝2ea－2>0，g(a－2)＝0， 所以g(x)有且仅有2个零点a－2，x0，其中x0∈(a－1，a)， 即直线AB与曲线y＝f(x)交于另一点C，且C的横坐标为x0. (3)由(2)得(a－x0)ex0＝2ea－2， 即ln(a－x0)－(a－x0)＝ln 2－2，(*) 设t＝，则t＝＝， 所以x0＝a－， 代入(*)式可得ln t＋－2＝0. 设h(x)＝ln x＋－2， 则h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝2. 当x∈(1，2)时，h′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0. 所以h(x)在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 因为h(1)＝0，h(4)＝2ln 2－<2×0.7－1.5<0，h(5)＝ln 5－>1.6－1.6＝0， 所以存在唯一的t∈(4，5)，使得h(t)＝0. 所以ln t＋－2＝0. 此时g(x0)＝(x0－a)ex0＋2ea－2 ＝－ea－＋2ea－2 ＝ea(－eln t－2＋2e－2) ＝ea－2(－×t＋2)＝0. 因此4<<5，所以n＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数的综合应用——导数与方程 课前必备知识 课标要求 1.能利用导数研究一般函数的单调性、极值与最值，获得对函数的整体认识．2.会利用导数研究一般函数的零点及其分布． 知识梳理 1．函数零点的有关知识 (1)零点的概念：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的__横坐标__． (2)几个常用结论： ①f(x)有零点⇔y＝f(x)的图象与x轴有__公共点__⇔方程f(x)＝0有__实数解__． ②F(x)＝f(x)－g(x)有零点⇔y＝f(x)与y＝g(x)的图象有__公共点__⇔方程f(x)＝g(x)有__实数解__． ③函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内__至少有一__个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．利用导数研究函数零点的方法 (1)研究y＝f(x)的图象，利用数形结合的思想求解． (2)研究方程有解的条件，利用函数与方程的思想求解． 3．函数与方程的综合问题需要明确以下三个问题的解决方法 (1)研究零点的个数问题； (2)根据零点个数求参数的取值范围； (3)与不等式有关的证明． 函数的零点问题常与数列、导数综合在一起，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等． 课前训练 1．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的值为(　　) A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1 2．(2025·重庆模拟预测)若1<ω≤2π，则关于x的方程sin ωx＝x的解的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数f(x)＝xln x－1，则f(x)的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 4．(2025·湖北荆门校考)f(x)＝2ex－5x2的零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 5．函数f(x)＝若方程f(x)－ax＝0恰有3个根，则实数a的取值范围为________________． 课堂核心考点 考点1　函数的零点个数 【例1】 设函数f(x)＝k(x－1)ex＋x，其中e为自然对数的底数，k∈R. (1)若f(x)为R上的增函数，求实数k的取值范围； (2)讨论f(x)的零点的个数． 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为g(x)的零点个数问题的求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，作出g(x)的大致图象，数形结合求解函数零点的个数． (2)利用函数零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 变式探究 1．(2025·北京顺义三模)已知函数f(x)＝x ln(2x＋1)－ax2. (1)当a<0时，求证：函数f(x)存在极小值． (2)讨论函数f(x)的零点个数． 考点2　与函数零点有关的参数范围 【例2】 (2025·全国模拟预测)已知函数f(x)＝(x2－x＋1)ex-1－(2x3＋3x2＋1). (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)设函数g(x)＝f(x)－x2ex-1＋ax3，若g(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 求解与函数零点有关的参数范围问题，往往先利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，判断函数的大致图象，再讨论其图象与x轴的位置关系，最后确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解． 变式探究 2．(2025·山东潍坊一模)已知函数f(x)＝2m ln x－x＋(m>0). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若函数g(x)＝m2ln2x－x－＋2有三个不同的零点，求m的取值范围． 考点3　 【例3】 (2025·广东汕头三模)设f(x)＝ex，g(x)＝ln x. (1)证明：xf(x)≥x＋g(x)＋1. (2)若存在直线y＝t，其与曲线y＝和y＝共有3个不同交点A(x1，t)，B(x2，t)，C(x3，t)(x1<x2<x3)，求证：x1，x2，x3成等比数列． 解决有关含参数的函数零点与不等式证明问题时，常常需要探究零点的范围，然后构造函数，应用导数研究函数的单调性，用求出其极值和最值，作出其大致图象，最后根据含参变量的不同取值分类讨论，证明与零点有关的等式或不等式． 变式探究 3．(2025·天津南开一模)已知a－2，a为函数f(x)＝(x2＋mx＋n)ex的极值点，直线l过点A(a－2，f(a－2))，B(a，f(a))，a∈R. (1)求f(x)的解析式及单调区间． (2)证明：直线l与曲线y＝f(x)交于另一点C. (3)若n<<n＋1，n∈N，求n.(参考数据：ln 2＝0.693…，ln 5＝1.609…) 学科网（北京）股份有限公司 $