精品解析：广东省广州市第十三中学2025-2026学年上学期期中质量监测八年级数学学科试题

广州市第十三中学2025学年第一学期期中质量监测 八年级数学科试题 本试卷共4页，24小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，是的平分线，若，则等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 4. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C D. 5. 如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A B. C. D. 6. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 7. 等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，则它的底边是（ ） A. 4 B. 9 C. 4或9 D. 17 8. 已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 9. 如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，他向东走300米至B处，测得灯塔P在北偏东方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；其中恒成立的结论有（ ）个 A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为_________． 12. 下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是___m． 13. 如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD对称点为，当时，则的度数为________． 14. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是______． 15. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是___． 16. 如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为______． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 如图，已知：在和中，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 18. 如图，中，，，是边上的中线，且，计算的度数． 19 如图，，，． （1）求证：． （2）用直尺和圆规作图：过点A作，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹） 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中画出关于y轴对称的，点的坐标为______； （2）在y轴上取一点P，使点P到点B和点C的距离之和最小，则点P的坐标为______； （3）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等（不与重合），直接写出所有符合条件的点D坐标为______． 21. 如图，于，于，若，． （1）求证：平分； （2）求证：． 22. 如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）求证：ABDE． （2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）． （3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值． 23. 如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 24. 在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），B（0，-8），连接AB （1）如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC； （2）如图②，在（1）的条件下，连接OH，求证：2∠OHP=∠AHB： （3）如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交x轴于F，猜想GB、OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第十三中学2025学年第一学期期中质量监测 八年级数学科试题 本试卷共4页，24小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，利用轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案． 【详解】解：．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在中，，是的平分线，若，则等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可得：为边上的中线，从而求解． 【详解】解：是的平分线，， 为边上的中线， ． 故选C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质． 3. 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°． 故选B． 【点睛】考点：三角形的外角性质． 4. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐个判断即可． 【详解】解：．，不能组成三角形，故此选项不符合题意； ．，能组成三角形，故此选项符合题意； ．，不能组成三角形，故此选项不符合题意； ．，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，理解并掌握三角形三边的关系是解题的关键． 5. 如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，． ∴， 故A，B，D正确， 不一定成立， 故选：C． 6. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：，， ， ，， ， 故选：A． 7. 等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，则它的底边是（ ） A. 4 B. 9 C. 4或9 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系、等腰三角形的定义等知识，易错点是题目中没有明确告诉等腰三角形的腰和底而忽视讨论．本题没告诉腰是4还是9，要分情况论．确定腰是9还是4后，再根据三角形三边关系看是否能构成三角形，最后确定第三边的长． 【详解】分两种情况讨论． 第一种情况，当一腰是4时，则底边为9，另一腰长为4．此时因为，不符合三角形三边不等关系，此种情况不成立； 第二种情况，当一腰是9时，则底边为4，另一腰为9．此时，符合三边不等关系．此时等腰三角形的三条边长分别为9、9、4．所以第二种情况下底边长为4． 综上所述，底边长为4． 故选：A． 8. 已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，等边三角形的判定；根据绝对值的性质及算术平方根的性质求出、，的关系，即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 所以，， 所以，的形状是等边三角形． 故选：B． 9. 如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，他向东走300米至B处，测得灯塔P在北偏东方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方向角，利用三角形的内角和是解题关键． 在中，求出、的度数即可解决问题． 【详解】解： ，， ． 故选：A． 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；其中恒成立的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质，平行线的判定与性质等知识点的运用．①由于和是等边三角形，可知，从而证出，可推知；②证明，得到再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③由得，加之，，得到，所以；故③正确；④利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴， ， 在和中， ， ， ； 故①正确； ②， ， 和是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 故②正确； ③（已证）， ， （已证）， ， ， 在与中， ， ， ； 故③正确； ④， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 故④正确； 故选：D． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为_________． 【答案】(2，4) 【解析】 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为(2，4)， 故答案为：(2，4)． 【点睛】本题考查了关于x轴对称点的坐标变化，解题关键是明确关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数． 12. 下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是___m． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了含角直角三角形的性质．作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于，则， ， ∵， ∴， ∵的长是， ∴，即， 故答案为：4． 13. 如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得，，并由平行线的性质可推出，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：如图，连接 ∵点B关于直线CD的对称点为， ∴，． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 15. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是___． 【答案】4 【解析】 【分析】作于，先利用角平分线的性质得到，再根据即可得． 【详解】解：如图，作于， 平分，， ， ， ， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 16. 如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作于，作于，连接，由角平分线得到，再证明得到，接着证明，得到，当时有最小值，即有最小值， 最后根据直角三角形得到． 【详解】解：作于，作于，连接， ，， 平分， 即平分， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 当时有最小值，即有最小值， 此时，， ∴， 故答案为： 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 如图，已知：在和中，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 先根据平行线的性质得出，根据线段相互间的加减关系求出，结合已知，根据判定三角形全等来求解． 【详解】证明：， ． ， ， ． 在和中 ， ． 18. 如图，中，，，是边上的中线，且，计算的度数． 【答案】 【解析】 【分析】利用等边对等角和三角形的内角和定理可求，的度数，利用等腰三角形三线合一的性质可求的度数，再利用角的和差关系即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理等知识，掌握等腰三角形等边对等角、三线合一的性质是解题的关键． 19. 如图，，，． （1）求证：． （2）用直尺和圆规作图：过点A作，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，以及垂直平分线作法，解题的关键在于结合等腰三角形性质理解过点A作，即作的垂直平分线． （1）根据题意证明，利用全等三角形性质求解，即可解题； （2）利用等腰三角形底边上三线合一，可知过点A作，即作的垂直平分线，根据垂直平分线作法作图，即可解题． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中画出关于y轴对称的，点的坐标为______； （2）在y轴上取一点P，使点P到点B和点C的距离之和最小，则点P的坐标为______； （3）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等（不与重合），直接写出所有符合条件的点D坐标为______． 【答案】（1）画图见解析， （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）连接交轴于点，则点即为所求，即可得出答案； （3）结合全等三角形的判定可确定点的位置，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：连接交轴于点，连接， 由轴对称性质得， ∵， ∴当三点共线时，点P到点B和点C的距离之和最小， 点的坐标为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，点，，均满足题意， 点的坐标为或或． 故答案为：或或． 21. 如图，于，于，若，． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与定义等知识． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上”，即可证明平分； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，据此根据线段的和差关系证明即可． 【小问1详解】 证明：∵于点，于点， ∴， ∴与均为直角三角形， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）求证：ABDE． （2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）． （3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值． 【答案】（1）见解析；（2）线段AP的长为3tcm或（8﹣3t）cm；（3）t的值为1s或2s． 【解析】 【分析】（1）由SAS证明ABC≌EDC（SAS），得∠A＝∠E，即可得出结论； （2）分两种情况计算即可； （3）先证ACP≌ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况，当0≤t≤时，3t＝4﹣t，解得t＝1；当＜t≤时，8﹣3t＝4﹣t，解得t＝2即可． 【详解】（1）证明：在ABC和EDC中， ， ∴ABC≌EDC（SAS）， ∴∠A＝∠E，AB=DE=4 ∴ABDE． （2）解：当0≤t≤时，AP＝3tcm； 当＜t≤时，BP＝（3t﹣4）cm， 则AP＝4﹣（3t﹣4）＝（8﹣3t）cm； 综上所述，线段AP的长为3tcm或（8﹣3t）cm； （3）解：由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm， 在ACP和ECQ中， ， ∴ACP≌ECQ（ASA）， ∴AP＝EQ， 当0≤t≤时，3t＝4﹣t， 解得：t＝1； 当＜t≤时，8﹣3t＝4﹣t， 解得：t＝2； 综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 23. 如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形，理由见解析 （3）当或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识． （1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 24. 在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），B（0，-8），连接AB （1）如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC； （2）如图②，在（1）条件下，连接OH，求证：2∠OHP=∠AHB： （3）如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交x轴于F，猜想GB、OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）当点G在y轴的正半轴上时，BG﹣BO＝AF；当点G在线段OB上时，OB＝BG+AF；当点G在B点下方y轴上时，AF＝OB＋BG；理由见解析 【解析】 分析】(1)要证明△AOP≌△BOC已经有一边，一角相等，只要证明∠HAC=∠OBC即可． (2)如下图②中，过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，由△COM≌△PON(AAS)，推出OM=ON．因为OM⊥CB，ON⊥HA，推出HO平分∠CHA，由此即可证明． (3)分点G在y轴的正半轴上、点G在线段OB上、点G在B点下方y轴上时三种情况画出图形讨论即可． 【小问1详解】 证明：如图①中， ∵AH⊥BC，即∠AHC＝90°，∠COB＝90° ∴∠HAC＋∠ACH＝∠OBC＋∠OCB＝90°， ∴∠HAC＝∠OBC． 在△OAP与△OBC中:， ∴△OAP≌△OBC（ASA）， 【小问2详解】 解：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图②． 在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°， ∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP． 又由(1)可知：△OAP≌△OBC， ∴OP＝OC. 在△COM与△PON中：， ∴△COM≌△PON（AAS）， ∴OM＝ON． ∵OM⊥CB，ON⊥HA， ∴OH平分∠CHA， ∴∠OHP＝∠CHA＝45°， ∵∠AHB＝90°， ∴2∠OHP＝∠AHB． 【小问3详解】 解：GB、OB、AF三条线段之间的数量关系如下： 情况一：当点G在y轴的正半轴上时，BG﹣BO＝AF； 情况二：当点G在线段OB上时，OB＝BG＋AF； 情况三：当点G在线段OB的延长线上时，AF＝OB＋BG； 下面逐个证明： 情况一：当点G在y轴的正半轴上时，连接OE，作EF⊥EG，如图． ∵∠AOB＝90°，OA＝OB，E为AB的中点， ∴OE⊥AB，∠BOE＝∠AOE＝45°，OE＝EA＝BE， ∴∠OAB＝45°，∠GOE＝∠GOA+∠AOE =90°＋45°＝135°， ∴∠EAF＝135°＝∠GOE． ∵GE⊥EF，即∠GEF＝90°， ∴∠OEG＝∠AEF， 在△GOE与△FAE中：， ∴△GOE≌△FAE（ASA）， ∴OG＝AF， ∴BG﹣BO＝GO＝AF， ∴BG﹣BO＝AF． 情况二：当点G在线段OB上时，连接OE，作EF⊥EG，如图： ∵∠OEG=∠FEG-∠FEO=90°-∠FEO，∠AEF=∠AEO-∠FEO=90°-∠FEO， ∴∠OEG=∠AEF， 结合情况一中已经证明的EO=EA，∠EOG=∠EAF=45°， ∴△GOE≌△FAE(ASA)， ∴GO＝AF． ∴OB＝BG+GO=BG＋AF． 情况三：当点G在B点下方y轴上时，连接OE，作EF⊥EG，如图： ∵∠BEG=∠FEG-∠FEB=90°-∠FEB，∠OEF=∠OEB-∠FEB=90°-∠FEB， ∴∠BEG=∠OEF， 且∠FOE=∠FOB+∠BOE=90°+45°=135°，∠GBE=180°-∠OBE=180°-45°=135°， ∴∠FOE=∠BGE=135°， 又OE=BE， 易证△GOE≌△FAE(ASA)， ∴GO＝FA． ∴AF＝AO+OF=OB＋BG． 【点睛】本题属于三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理、等腰三角形的性质及判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $