北京市汇文中学教育集团2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025北京汇文中学高一(上)期中 数 学 本试试卷共四大题页，22小题，满分150分，考试时长120分钟。考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共60分） 一、选择题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合，则( ) A. B. C. D. 2.设命题,则的否定为( ) A. B. C. D. 3.“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数的定义域是( ) A. B. C. D. 5.已知，则( ) A.-5 B.-1 C.1 D.7 6.“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A. B. C. D. 7.已知偶函数在上单调递减,且,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 8.若是方程两个根，则值等于( ) A.2 B. C.4 D. 9.已知函数为定义在上的奇函数,且当时,,则当时,等于( ) A. B. C. D. 10.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10-10.1 11.定义在上的函数满足,且为奇函数,则下列错误的是( ) A. B. C.为奇函数 D.为偶函数 12.已知函数,若方程有三个不相等的实根,则下列选项错误的是( ) A. B. C. D.方程有三个不相等的实数根 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。 13.已知幂函数在上单调递增,则_____. 14._____. 15.函数的值域为_____. 16.设函数.已知点,若的图象与线段有公共点,且对满足条件的每一个,总存在实数,使得不等式成立,则实数的最大值为_____. 17.波恩哈德・黎曼(1866~1926)是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域 为,其解析式为:下列关于黎曼函数的说法正确的是_____. ①； ②关于的不等式的解集为； ③； ④. 三、解答题共5小题,共65分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 18.已知全集,集合,集合. (1)求； (2)若集合，且满足，求实数的取值范围. 19.已知函数. (I)当时,求的值域; (II)若的最小值为-3,求的值. 20.已知函数满足对任意的恒有,当时,,又(1)=-3. (I)判断并证明函数的奇偶性; (II)求函数的单调区间; (III)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围. 21.某科研小组研究发现:一棵梨树的产量(单位:百千克)与肥料费用(单位:百元)满足如下关系:投入的肥料费用不超过6百元时,y=4-;投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时,.此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)百元.已知这种梨的市场售价为18百元/百千克,且市场需求始终供不应求.记该棵梨树获得的利润为(单位:百元). (1)求利润的函数解析式; (2)当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 22.已知有限集，定义集合，且，表示集合中的元素个数. (I)若,求集合和,以及的值; (II)给定正整数,集合.对于实数集的非空有限子集,定义集合. ①求证:； ②求的最小值. 参考答案 一、选择题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 答案：D 解析： 集合 ， 集合 。 交集 。 2. 答案：D 解析： 原命题 。 全称命题的否定是存在命题，且不等式方向改变： 。 3. 答案：A 解析： 解不等式 ： 1　 当 时： 2　 当 时： 恒成立 所以解集为 。 能推出 ，但反之不成立（如 ）。 因此是充分不必要条件。 4. 答案：C 解析： 定义域需满足： 所以定义域为 。 5. 答案：B 解析： 令 。 代入得 。 6. 答案：C 解析： 不等式 在 上恒成立。 当 时： 不满足。 当 时，需满足： 必要不充分条件应包含 但更大。 满足此要求。 7. 答案：B 解析： 偶函数 在 单调递减，则在 单调递增。 由 和偶函数性质得 。 解 ： 1　 当 时： 2　 当 时： 解集为 。 8. 答案：A 解析： 由韦达定理：，。 9. 答案：C 解析： 设 ，则 ： （注：题目选项有误，正确答案应为 ，但按选项最接近的是 C） 10. 答案：A 解析： 太阳天狼星 所以 。 11. 答案：C 解析： 由 ，令 得： 。 两式联立可得周期 。 由 是奇函数，可推得 是偶函数而非奇函数。 所以选项 C 错误。 12. 答案：D 解析： 分析分段函数图像可知，当 有三个不等实根时，。 通过计算可验证 A、B、C 均正确。 选项 D 错误，因为 的取值范围不能保证方程 有三个不等实根。 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。 13. 答案： 解析： 幂函数系数为1： 解得 或 。 在 单调递增要求指数 ，故 。 ，所以 。 14. 答案： 解析： 原式 15. 答案： 解析： ，。 求导得 。 在 上 ，函数单调递减。 ，。 值域为 。 16. 答案： 解析： 线段 为 ，。 与线段 相交意味着 。 在 上， 的最大值至少为5。 所以 的最大值为5。 17. 答案：①④ 解析： ① 正确： 由定义对称性可得。 ② 错误：解集不仅仅是 。 ③ 错误：不满足次可加性。 ④ 正确：满足乘积不等式。 三、解答题共5小题,共65分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 18. 解析： (1) 解不等式： 得 。 。 (2) 意味着 。 分情况讨论： 1　 若 ，则 2　 若 ，需满足： · 得 综上：。 19. 解析： (I) 当 时： 因为 ，所以 ，故 。 值域为 。 (II) 令 ，则 。 最小值为 ，所以 。 当 时，最小值在 处取得，符合。 所以 。 20. 解析： (I) 令 ：。 令 ：。 令 ：。 所以 是奇函数。 (II) 设 ，则 ，由题意 。 又 ， 所以 ，函数单调递减。 (III) 在 上，。 不等式恒成立要求： 解得 。 21. 解析： (1) 利润函数： (2) 分段求最值： 1　 当 时，，令 得 。 计算得 ，，。 2　 当 时， 单调递增，。 最大利润为 百元，当 时取得。 22. 解析： (I) ， ，元素个数为3。 (II) ① 证明： 若 ，则 （因为 ），显然成立。 若 或 有元素不在 中，则 。 综上，不等式成立。 ② 最小值为 。 当 时，，此时 ， ， ， 但题目要求的是非空有限子集，经分析最小值为 。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $