北京市汇文中学教育集团2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
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数 学
本试试卷共四大题页，22小题，满分150分，考试时长120分钟。考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合
，则
( )
A.
B.
C.
D.
2.设命题
,则
的否定为( )
A.
B.
C.
D.
3.“
”是“
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数
的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知
，则
( )
A.-5 B.-1 C.1 D.7
6.“不等式
在
上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知偶函数
在
上单调递减,且
,则不等式
的解集为( )
A.
B.
C.
D.
8.若
是方程
两个根，则
值等于( )
A.2 B.
C.4 D.
9.已知函数为定义在上的奇函数,且当
时,
,则当
时,等于( )
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A.
B.
C.
D.
10.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
,其中星等为
的星的亮度为
.已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10-10.1
11.定义在
上的函数
满足
,且
为奇函数,则下列错误的是( )
A.
B.
C.为奇函数 D.为偶函数
12.已知函数
,若方程
有三个不相等的实根
,则下列选项错误的是( )
A.
B.
C.
D.方程
有三个不相等的实数根
第二部分（非选择题 共90分）
13.已知幂函数
在
上单调递增,则
_____.
14.
_____.
15.函数
的值域为_____.
16.设函数
.已知点
,若的图象与线段
有公共点,且对满足条件的每一个,总存在实数
,使得不等式
成立,则实数
的最大值为_____.
17.波恩哈德・黎曼(1866~1926)是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域
为
,其解析式为:
下列关于黎曼函数的说法正确的是_____.
①
；
②关于
的不等式
的解集为
；
③
；
④
.
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三、解答题共5小题,共65分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
18.已知全集
,集合
,集合
.
(1)求
；
(2)若集合
，且满足
，求实数的取值范围.
19.已知函数
.
(I)当
时,求的值域;
(II)若的最小值为-3,求
的值.
20.已知函数满足对任意的
恒有
,当
时,
,又
(1)=-3.
(I)判断并证明函数的奇偶性;
(II)求函数的单调区间;
(III)若不等式
对任意
恒成立,求实数的取值范围.
21.某科研小组研究发现:一棵梨树的产量
(单位:百千克)与肥料费用
(单位:百元)满足如下关系:投入的肥料费用不超过6百元时,y=4-
;投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时,
.此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)
百元.已知这种梨的市场售价为18百元/百千克,且市场需求始终供不应求.记该棵梨树获得的利润为
(单位:百元).
(1)求利润的函数解析式;
(2)当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？
22.已知有限集
，定义集合
，且
，
表示集合
中的元素个数.
(I)若
,求集合
和
,以及
的值;
(II)给定正整数
,集合
.对于实数集的非空有限子集
,定义集合
.
①求证:
；
②求
的最小值.
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