精品解析：青海省西宁市第二中学教育集团2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

西宁二中教育集团2025-2026学年第一学期 高二年级数学学科期中考试卷 一､单选题（8*5=40分） 1. 已知空间单位向量夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 2. 已知直线：，：，则条件“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不必要也不充分条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直的性质，可得，求出的值，即可判断. 【详解】若，则， 解得或 故是的充分不必要条件. 故选：B 3. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以向量为基底向量，表示出，由向量模的公式求解即可. 【详解】 ， ，， . 故选：A. 4. 经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案. 【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角， 可知 ，且 ， 解得 ，即实数m的范围是， 故选：C 5. 如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将表示为以为基底的向量，由此求得的值. 【详解】依题意 ，所以. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题. 6. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围. 【详解】由题易知直线恒过， 圆化为标准方程得， 即圆心为，半径， 圆心到距离， 所以在圆内， 则直线与圆交点弦最大值为直径即8， 最小时即为圆心到直线距离最大， 即时，此时， 所以的取值范围为. 故选：D 7. 设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，利用三角形的面积，将面积的最值小问题转化为点到直线的距离的最小值可求答案． 【详解】由圆的标准方程为， 则圆心坐标为，半径， 则的面积， 要使的面积的最小，则最小，又， 即最小即可，此时最小值为圆心到直线的距离， ， 即的面积的最小值为． 故选：C． 8. 若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，求出点M的轨迹方程即可计算得解. 【详解】以点A为坐标原点，射线AB为x轴非负半轴建立直角坐标系，如图，设点， 则，化简并整理得：， 于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其面积为， 所以M点的轨迹围成区域的面积为. 故选：D 二､多选题（3*6=18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 过点且垂直于直线的直线方程为 D. 直线的倾斜角为120° 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案； 对于B，将代入直线方程，结合截距的定义，可得答案； 对于C，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案； 对于D，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案. 【详解】对于A，由直线方程，整理可得，当时，，故A正确； 对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B错误； 对于C，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点代入上式，可得，解得，则方程为，故C正确； 对于D，由直线方程，可得其斜率为，设其倾斜角为，则，解得，故D错误. 故选：AC. 10. 已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（ ） A. 圆关于轴的对称圆的方程为 B. 若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为 C. 若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D. 若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由对称的性质直接求解即可，对于B，由题意可知入射光线所在的直线过点和，从而可求出直线方程，对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，然后由圆的性质可求出，进而可求得的值，对于D，设，，表示弦长和弦心距，可表示出面积从而可求出其最大值. 【详解】对于A，由圆方程可得，故圆心，半径， 圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为， 所求圆的方程为：，即，A正确； 对于B，反射光线平分圆的周长，反射光线经过圆心， 入射光线所在直线经过点，， 入射光线所在直线方程为：，即，B正确； 对于C，反射光线经过点关于轴的对称点， ， ，则，C错误； 对于D，设， 则圆心到直线的距离， ， ， 则当时，，D正确. 故选：ABD. 11. 已知在正方体中，点为线段的中点，点F在正方体棱上移动，则下列结论成立是（ ） A. 当是线段中点时，与所成角为60° B. 直线与可能垂直 C. 直线与可能平行 D. 异面直线与所成最小角的余弦值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法进行逐项检验即可判断. 【详解】以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在正方体中，设其棱长为2， 则,， 对于，若是线段中点，则， ，所以直线与所成角为60°，故选项正确； 对于，设，要使直线与垂直， 则有，解得：，当与点重合时，直线与垂直，故选项正确； 对于，设，要使直线与平行， 则有，这样的不存在，所以直线与不可能平行，故选项错误； 对于，设， 设异面直线与EF所成的夹角为， 则，（），当时，， 当异面直线与所成角最小时，则最大，即时， ，故选项正确． 故选：. 三､填空题（3*5=15分） 12. 已知，，，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据即可求解. 【详解】因为，所以, 因为，所以, 即，解得. 故答案为:2. 13. 实数、满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，可知直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离不大于圆的半径可得出关于的不等式，由此可解得的取值范围，即为所求. 【详解】圆的圆心坐标为，该圆的半径为， 设，可知直线与圆有公共点， 所以，，即，解得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查代数式的取值范围的求解，令，将问题转化为直线与圆有公共点，将问题转化为利用直线与圆的位置关系求参数是解本题的关键，同时在处理直线与圆的位置关系问题时，常利用代数法与几何法求解. 14. 若关于x方程有两解，则实数k的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，直线与曲线的图象有两个不同的交点，作出图象，求出两个极端点的斜率值，即可求得实数k的取值范围． 【详解】依题意，直线与曲线的图象有两个不同的交点， 直线过定点， 曲线为以为圆心，2为半径的上半部分圆， 作出图象如下， 当直线与曲线相切时，有，解得， 即切线斜率为，切线斜率为； 当直线过时，； 当直线过时，； 由图象可知，当直线与曲线的图象有两个不同的交点时， 实数k的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题（共77分） 15. 已知直线l:kx-2y-3+k=0. (1)若直线l不经过第二象限,求k的取值范围. (2)设直线l与x轴的负半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点B,若△AOB的面积为4(O为坐标原点),求直线l的方程 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的点斜式方程求出的方程即可； （2）求出，的坐标，得到关于的方程，解出即可． 【详解】解：（1）， ， 若直线不经过第二象限， 则，解得：； （2）设直线与轴的负半轴交于点， 则， 与轴的负半轴交于点， 则， 故， 解得：，， 当时，直线方程是：， 当时，直线方程是：， 综上，直线方程是：或 【点睛】本题考查了直线方程问题，考查三角形的面积以及转化思想，是一道常规题． 16. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，再由直线与圆相切于点，可得关于与r的方程组，求得与r的值，则圆的方程可求； （2）先根据垂径定理求得圆心到直线的距离为，然后按照直线斜率是否存在分类讨论，当直线斜率不存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离公式列式求得，即可得解. 【小问1详解】 由题可知，设圆的方程为， 由直线与圆相切于点， 得，解得，， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 依题意，圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，方程为，此时圆心到直线距离为3，符合题意； 当直线斜率存在时，设为，即， 则，即，则，解得， 所以直线的方程为 综上，直线的方程为或 17. 如图一， 是等边三角形，为边上的高线，分别是边上的点，；如图二，将沿翻折，使点到点的位置，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面得到，根据勾股定理得到，得到线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到平面和平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【小问1详解】 因为为等边三角形，，， 为边上的高线，故， 又，平面，所以平面. 因为平面，所以. 在中，，所以，故， 而平面，平面，故平面 【小问2详解】 分别以方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 则. 设平面的法向量，平面的法向量， 则，且， 取，， 得到平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设二面角大小为，则， 所以. 18. 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，连接，即可得到，从而得证； （2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【小问1详解】 证明：连接，，连接， 在直三棱柱中为矩形，则为的中点，又为的中点，所以， 平面，平面． 平面． 【小问2详解】 解：，，，，． 由直三棱柱中，底面，底面，，． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 解：设到平面的距离为，则； 19. 已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）分直线斜率不存在与直线斜率存在，结合切线性质进行讨论即可得； （3）等价于点到点的距离的平方，再利用圆的性质计算即可得. 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为， 则有，解得， 即圆的标准方程为； 【小问2详解】 由圆的标准方程为，即圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为， 故与圆相切，故符合要求； 当直线斜率存在时，设，即， 则有，化简得，即， 即，即； 综上所述：直线的方程为或； 【小问3详解】 由实数满足圆的方程，则点在圆上，有， 则等价于点到点的距离的平方， 则 ， 即的最小值为， 当且仅当、、三点共线且在线段上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁二中教育集团2025-2026学年第一学期 高二年级数学学科期中考试卷 一､单选题（8*5=40分） 1. 已知空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知直线：，：，则条件“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不必要也不充分条件 3. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A B. C. D. 4. 经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ） A. B. C. D. 6. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（3*6=18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 过点且垂直于直线的直线方程为 D. 直线的倾斜角为120° 10. 已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（ ） A. 圆关于轴的对称圆的方程为 B. 若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为 C. 若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D. 若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为 11. 已知在正方体中，点为线段的中点，点F在正方体棱上移动，则下列结论成立是（ ） A. 当是线段中点时，与所成角为60° B. 直线与可能垂直 C. 直线与可能平行 D. 异面直线与所成最小角的余弦值是 三､填空题（3*5=15分） 12. 已知，，，则________. 13. 实数、满足，则的取值范围是______． 14. 若关于x的方程有两解，则实数k的取值范围是 ________． 四､解答题（共77分） 15. 已知直线l:kx-2y-3+k=0. (1)若直线l不经过第二象限,求k的取值范围. (2)设直线l与x轴负半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点B,若△AOB的面积为4(O为坐标原点),求直线l的方程 16. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； 17. 如图一， 是等边三角形，为边上的高线，分别是边上的点，；如图二，将沿翻折，使点到点的位置，. （1）求证：平面； （2）求二面角正弦值. 18. 如图，在直三棱柱中，，分别是，中点，已知，． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角正弦值； （3）求到平面的距离． 19. 已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $