第一章 三角形——等腰、等边、直角三角形的性质题型 分类训练（4） 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

初中数学 等腰、等边三角形与直角 三角形的性质 题型分类训练（四） 【题型11】 等腰（等边）、直角三角形的最值问题（小题压轴） 【题型12】 等腰、直角三角形的小题多解问题 【题型11 等腰（等边）、直角三角形的最值问题（小题压轴）】 1.如图中，，，为△ABC的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（     ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．6 2.如图，等腰△ABC中，AD⊥BC，垂直平分AB，交AB于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若△ABC的面积是，BC=6cm，则的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D是BC边的中点，点P是AC边上的一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方做等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是（     ）    A． B．1 C． D．2 4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（      ） A．9.6 B．8 C．6 D．4.8 5.如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，在边，上截取，；然后分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为边上一动点，则的最小值为（     ） A． B．1 C．2 D．无法确定 6.如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是（      ） A．20 B．16 C．12 D．6 7.如图，点B为线段AQ上的动点，AQ=8，以AB为边作等边△ABC，以BC为底边作等腰△PCB，则PQ的最小值为（　 　）    A．3 B．4 C．5 D．6 8.如图，边长为6的等边三角形中，D在上，E为对称轴上的一个动点，连接，作等边三角形，则在点E运动过程中，的最小值为（　　） A．6 B．3 C．2 D．1.5 9.如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB=15，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A． B． C．12 D．15 11.如图，∠AOB=45°，OC为∠AOB内部一条射线，点D为射线OC上一点，OD为，点E、F分别为射线OA、OB上的动点，则△DEF周长的最小值是（ ） A. B． C. 2 D．4 12.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘.E为AB中点，D为AC上一点，BF∥AC交DE的延长线于点F.AC=6，BC=5.则四边形FBCD周长的最小值是（ ） A. 21 B. 16 C. 17 D. 15 13.如图，在中，，如果点分别为上动点，那么的最小值是（ ） A. 8 B. C. D. 14.如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为 　 　 ． 15.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ． 16.如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为 ． 17.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 　 　． 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，点D是BC边上的点， BD=2，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是　 　 ． 19.如图，在长方形中，,动点满足，则点到两点的距离之和的最小值为 . 20.动态几何的问题背景往往是特殊图形，分析过程中要把握好一般与特殊的关系，抓住变化中的不变，做到动中有静，动静结合．如图，△ABC中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边△DBE，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是_____． 21.如图，等边△ABC和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为__________． 22.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等边三角形，P是∠BAC平分线上一动点连接PC、PD，则PC+PD的最小值为 ．    23.如图，在等边△ABC中，AB=6，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF、CF，则FB+FD的最小值为________． 24.边长为2的等边△ABC中，BF是AC上中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接，则周长的最小值是_____． 25.如图，在△ABC中，，若D是边上的动点，则的最小值为______． 26.如图，在的同侧，点为线段中点，，若，则的最大值是_______． 27.如图，四边形ABCD中，连接AC，BD，△ABC是等边三角形，∠ADC□□30°，并且AD□□4.5，BD□□7.5，则CD的长为 ． 【题型12 等腰、直角三角形的小题多解问题】 28.已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）. A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不对 29.若等腰三角形的一个角等于80°，则其顶角的度数为（　　）. A．80° B．20° C．100° D．80°或20° 30.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角的度数为（       ）. A． B．或 C． D．或 31.如图，△ABC是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（     ）． A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100° 32.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当△APQ是直角三角形时，t的值为（      ）. A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s 33.在等腰三角形ABC中，BD是AC边上的高，且，则等腰三角形ABC的底角度数为 . 34.（1）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为 . （2）已知一个等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 . 35.（1）等腰三角形一条腰上的中线将它的周长分成12和9两部分，则腰长为 . （2）若BD是等腰三角形ABC中一条腰上的高，且∠ABD＝50°，则等腰三角形ABC的顶角的度数为 . 36.已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长为5cm，那么这个三角形的腰长为 cm. 37.已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12cm和15cm两部分，则它的腰长是 cm. 38.在△ABC中，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，直线DE与AC交于点，连接BF，若为等腰三角形，则的度数为__________． 39.如图，在△ABC中，，，平分交于点D，点E是上一个动点．若是直角三角形，则的度数可以是__________． 40.如图，在等腰三角形中，，∠B=50°，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是__________． 41.如图，在△ABC中，，，，有一动点自A向B以的速度运动，动点自B向以的速度运动，若，同时分别从A，B出发．    （1）经过___________秒，△BMN为等边三角形； （2）经过___________秒，△BMN为直角三角形． 42.如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”． （1）如图，在△ABC 中，，点 D 在边上，且，则_____度； （2）在△ABC 中，和是△ABC 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E 在 边上，且，，则的度数为____________． 【题型13 等腰、等边三角形的找规律问题】 43.如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（     ） A． B． C． D． 44.如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E；……按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（     ）    A． B． C． D． 45.如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在的C2C3延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长和为 ．    46.如图，钢架中焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=...=P13P14=P14A，则∠A的度数是 . 47.某数学兴趣小组开展了一次数学活动，过程如下:设∠BAC=（0＜＜90°）现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别在射线AB，AC上. 活动一:如图1，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 数学思考: （1）小棒 (填“能”或“不能”)无限摆下去. （2）设AA1=A1A2=A2A3，则= °. 活动二：如图2，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1. 数学思考: （3）若已经摆放了3根小棒，试用含的式子表示 . （4）若只能摆放4根小棒，求的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A B C B D 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 B B C B B 3 8 2 题号 17 18 19 20 21 22 23 24 答案 140° 5 3 8 20 题号 25 26 27 28 29 30 31 32 答案 12 14 6 B D D D D 题号 33 34 35 答案 15°或45°或75° （1）50°或65°；（2）50°或80° （1）8或6；（2）40°或100°或140° 题号 36 37 38 39 40 答案 15 8或10 36°或45° 30°或50° 100°或142° 题号 41 42 43 44 45 46 答案 （1）10；（2）6或15 （1）36°；（2）22°或38° B C 12° 1 【答案】B 【详解】如图，连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G， ∵CD为△ABC的中线，AB=6，AC=BC=5， ∴AD=BD=AB=3， ∴CD==4， ∵AC=BC=5， ∴CD⊥AB， ∴点A与点B关于直线CD对称， ∴AE=BE，AI=BI， ∴AE+EF=BE+EF， ∵BE+EF≥BF，BF≥BG， ∴当点E于点I重合时，AE+EF=AI+IF=BI+IF=BF， ∴当BF与BG重合时，AE+EF=BF=BG，此时AE+EF最小， ∵AC·BG=AB·CD=S△ABC， ∴×5BG=×6×4， ∴BG=4.8， ∴AE+EF的最小值为4.8，故选：B. 2 【答案】B 【详解】解：如图，连接GB． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为3， ∴的最小值为，故选：B． 3 【答案】D 【详解】解：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ． ∴∠CDT=∠QDP=60°，DC=DT， ∵等边三角形PDQ， ∴DP=DQ， ∴∠CDP=∠QDT， 在△CDP和△TDQ中，， ∴△CDP≌△TDQ（SAS）， ∴∠DCP=∠DTQ=90°， ∵∠CTD=60° ， ∴∠CTQ=30°， ∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值）， 当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，而D为BC的中点， 最小值=CT=CD=BC=2， 故选：D． 4 【答案】A 【详解】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD垂直平分BC， ∴BP=CP. 过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P， 则此时PC - PQ取最小值，最小值为BQ的长， 如图右所示： ∵S△ABC=BC·AD=AC·BQ， ∴BQ=.故选：A． 5 【答案】B 【详解】解：由尺规作图步骤可得：平分， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 由垂线段最短可得，当时，最小， ∵平分， ∴当时，，故选：B． 6 【答案】C 【详解】作点P 关于OA的对称点点E，点P关于OB的对称点点F，连接EF分别交OA于点Q，交OB于点R，连接OE、OF， ∵P、E关于OA对称，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP， 同理可证OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF， ∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°， ∴△OEF是等边三角形， ∴EF=12， ∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12． 7 【答案】B 【详解】解：连接AP， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠CAB=60°， 在△ABP和△ACP中， ， ∴△ABP≌△ACP（SSS）， ∴∠CAP=∠BAP， ∴∠PAQ=30°， ∴点P在射线AP上运动， ∴当QP⊥AP时，PQ的值最小， ∴PQ=AQ=×8；故选B． 8 【答案】D 【详解】如图所示，连接BF. ∵△ABC、△BCF为等边三角形， ∴AC=BC，CF=CE，∠BCF=∠ACE， △ACE≌△BCF(SAS)， 又∵AD为△ABC的对称轴，BC=6， ∴∠CBF=∠CAE=30°，BD=DC=3. 当点E在AD上运动时，点F在所在射线BF上运动， 当DF⊥BF时，DF值最小，最小值为BD=1.5. 9 【答案】B 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，且AC=6， ∴BC=AC=6， ∵AD=2， ∴CD=AC-AD=4， 如图，连接OB， 由折叠的性质得：OB=OD， 则△OCD的周长为CD+OC+OD=4+OC+OB， 由两点之间线段最短可知，当点O与点F重合时，OC+OB的值最小，最小值为BC的长， 则△OCD周长的最小值为4+BC=4+6=10， 故选：B． 10 【答案】B 【详解】过点C作CF⊥AB，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， 此时PC + PQ= CF取最小值，如图所示. ∵AD是∠BAC的平分线，PQ⊥AC，PF⊥AB， ∴PQ = PF, ∴CP+ PQ =CF, ∵AB·CF=AC·BC， ∴CF===， ∴CF=， ∴PC+PQ的最小值是，故选：B 11 【答案】C 【详解】如图，分别作点D关于OA、OB 的对称点 D1、D2，连接 D 1D2，分别交 OA、OB 于点E、F，连接 OD1、OD2，则∠EOD1，=∠EOD，∠FOD2=∠FOD，ED1=ED，FD2=FD，OD 1=OD2=0D， 所以DE+EF+DF=ED1 +EF+FD2=D1D2即D1D2的长为△DEF 周长的最小值. 又∠AOB=∠EOD+∠FOD=45°， 所以∠D1 OD2=2(∠EOD+∠FOD)=2∠AOB=90.因为OD=，所以OD1=OD2=， 所以D1D2==2. 12 【答案】B 【详解】∵BF∥AC， ∴∠EBF=∠EAD， 在△BFE和△ADE中 ∴△BFE≌△ADE（ASA）， ∴BF = AD， ∴BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+ BC+FD=11+FD， ∴当FD⊥AC时，FD最短，此时FD=BC=5， ∴四边形FBCD周长的最小值为5 +11=16，故选：B. 13 【答案】B 【详解】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D. 则AD = A'D， ∴AD+DE=A'D+DE≥ A'E. 即AD+ DE的最小值为A'E. ∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=10，AA'=12， ∵S△AA'B=AA'·BC=AB·A'E， ∴A'E===9.6.故选：B. 14 【答案】3 【详解】如图，连接CM、CN， △ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6， ∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点， ∴，， 当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值， ∴MN的最小值为：5﹣2＝3． 故答案为：3． 15 【答案】8 【详解】连接AD交EF与点M，连接AM， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC=BC·AD=×4×AD=12， 解得AD=6， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AM= BM， ∴BM+MD=MD+ AM， ∴当点M位于点M'处时，MB+MD有最小值，最小值6， ∴△BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8；故答案为：8. 16 【答案】2 【详解】作 M关于OA的对称点M1，过M1作MN⊥OB交O于一点P，如图所示， ∵M1是M关于OA的对称点，OM=4，∠AOB=15°， ∴∠MOM=2∠AOB=30，OM1=OM=4，PM=PM1， ∵M1N⊥OB， ∴PM+PN≥M1N，∠ONM1=90°， ∴M1N=OM1=2. ∴(PM+PN)min =2.故答案为：2. 17 【答案】140° 【详解】如图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''， 连接A'A''与BC、CD的交点即为所求的点M、N， ∵∠BAD=110°，∠B=∠D=90°， ∴∠A'+∠A''=180°-110°=70°， 由轴对称的性质得:∠A'=∠A'AM，∠A''=∠A''AN， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A'+∠A''）=2×70°=140°. 故答案为140°. 18 【答案】 【详解】如图，连接CE，交AD于M， ∵沿AD折叠C和E重合， ∴∠ACD=∠AED=90，AC=AE，∠CAD=∠EAD， ∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，BD=2， ∴CD= DE=, 当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE, ∵∠DEA=90°,∴∠DEB = 90° ∵∠BAC =30°,∴∠B= 60°, ∵DE =，∴BE=1,即BC =2+, ∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=2++1=3+. 故答案为:3+. 19 【答案】5 【详解】设△PCD中CD边上的高是h. ∵S△PCD =S矩形ABCD， ∴·CD·h=·CD·AD， ∴h=AD=2， ∴动点P在与CD平行且与CD的距离是2的直线l上， ∵A，D关于直线对称，连接AC交直线点P'，AC的长就是所求的最短距离. 在Rt△ABC中，∵AB=3，BC=4， ∴AC=5，即PA+PB的最小值为5. 20 【答案】3 【详解】如图，取AB的中点Q，连接CQ，DQ.则BQ=AQ=6， ∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠CBQ=60°， ∵BQ=AQ=6， ∴CQ=BQ=AQ=6， ∴△BCQ是等边三角形， ∴BC=BQ， ∵∠DBQ=∠CBQ=60°， ∴∠EBC=∠DBQ， 在△EBC和△DBQ中， ∴△EBC≌△DBQ（SAS）， ∴EC=DQ， ∴当DQ⊥AC时，EC的值最小， 在Rt△AQD中，AQ=6，∠A=30°， ∴DQ=AQ=3， ∴CE的最小值为3. 故答案为：3. 21 【答案】8 【详解】解：如图，连接， ∵和都是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长， ∴的最小值为， 故答案为：8． 22 【答案】20 【详解】解：如图，连接BP， ∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，AB=AC， ∴AP垂直平分BC， ∴CP=BP， ∴PD+PC=PD+PB， ∴当B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长， 又∵△ABD是等边三角形，AB=BD=20， ∴PD+PC的最小值为20， 故答案为：20． 23 【答案】 【详解】∵△ABC是等边三角形，AD⊥CB， ∴∠BAE=∠BAC =30°， ∵△BEF是等边三角形， ∴∠EBF=∠ABC=60°，BE= BF， ∴∠ABE=∠CBF， 在△BAE和△BCF中 ∴△BAE≌△BCF(SAS)， ∴∠BAE=∠BCF=30°， 如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BGBG交CF的延长线于点F，连接DF，此时BF'+DF'的值最小，最小值=线段BG的长. ∵∠DCF=∠FCG=30°∴∠DCG =60°. ∵CD=CG=3.∴△CDG是等边三角形 ∴DB = DC = DG∴∠CGB=90°， ∴BG=, ∴BF+DF的最小值为，故答案为:. 24 【答案】 【详解】如图，△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC=2，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC =60°， ∴∠BAD =∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABD=∠ACE， ∵AF=CF=1，BF=，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30，BF⊥AC， ∴点E在射线CE上运动(∠ACE=30°)， 作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E' 此时AE'+ FE'的值最小， ∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形， ∴AM=AC， ∵BF⊥AC，∴FM=BF=， ∴△AEF周长的最小值= AF+FE'+AE'=AF+FM=1+. 故答案为:1+. 25 【答案】12 【详解】过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示: 在Rt△DFC中，∠DCF=30°， ∴DF =DC， ∵2AD+ DC =(AD+DC)=2(AD+DF)， ∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时， AD+DE的值最小，最小值等于垂线段AF的长， 此时，∠B=∠ADB=60°， ∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD=AB =4， 在Rt△ABC中，∠A=90，∠B=60，AB=4，∴BC =8， ∴DC=BC - BD=4， ∴2AD+DC=2×4+4=12， ∴2AD+ DC的最小值为12， 故答案为：12 26 【答案】14 【详解】如图，作点A关于CM的对称点A'，点B关于DM的对称点B'， 连接CA'、MA'、MB'、A'B'、B'D， ∵∠CMD =120°， ∴∠AMC+∠DMB = 60°， ∴∠CMA'+∠DMB'=60°， ∴∠A'MB' =60°， ∵MA'=MB'， ∴△A'MB'为等边三角形， ∵CD≤CA'+A'B'+B'D=CA+ AM+ BD =2+4+8= 14， ∴CD的最大值为14， 故答案为:14. 27 【答案】6 【详解】如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE. ∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE（SAS） ∴BD=AE， 又∵∠ADC =30°, ∴∠ADE = 90°. 在Rt△ADE中，AE=7.5，AD=4.5， 于是DE== 6, ∴CD = DE = 6.故答案为:6. 28 【答案】B 【详解】解：，， x−5=0，y−10=0， 解得x=5，y=10， 当5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10， ∵5+5=10， ∴不能组成三角形； 当5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10， 能组成三角形，周长=5+10+10=25， 所以，三角形的周长为25，故选：B． 29 【答案】D 【详解】解：∵等腰三角形的一个角是80°，分两种情况考虑， 当80°的角为底角时，顶角为180°-160°=20°， 当80°的角为顶角时，顶角为80°， ∴该等腰三角形的顶角是80°或20°．故答案选：D． 30 【答案】D 【详解】（1）当这个三角形是锐角三角形时，如图所示： ∵高与另一腰的夹角为50°，即， ∴顶角， ∵， ； （2）当这个三角形是钝角三角形时，如图所示： ∵∠ABD=50°，BD⊥CD， ∴∠BAD=90°-50°=40°， ∵，， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为70°或20°．故选：D． 31 【答案】D 【详解】解：当时，如图所示， ，， ， 平分， ， ， ， 当时，如图所示， ，， ， 平分， ， ， ． 当时，如图所示， ，， ， 平分， ， ， ， 故的度数是：、或，故选：D． 32 【答案】D 【详解】解：由题意得：AP＝BQ＝t， Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∴AC＝3， ∴AB＝2AC＝6， ∴当△APQ是直角三角形时，有两种情况： ①当∠APQ＝90°时，如图1，∠AQP＝30°， ∴AQ＝2AP， ∴6﹣t＝2t， t＝2； ②当∠AQP＝90°时，如图2， 当0＜t≤3时，AP＝2AQ，即t＝2(6﹣t)， t＝4（不符合题意）， 当t＞3时，P与C重合，则AQ＝＝6﹣t， t＝4.5， 综上，t的值为2s或4.5s；故选：D． 33 【答案】15°或45°或75°; 【详解】（1）如图①，当B是顶角顶点时， ∵AB=BC，BD⊥AC， ∴AD=CD =AC， ∴BD =AC， ∴BD=AD=CD， ∴∠A=∠ABD=×(180°- 90°)= 45°. （2）如图②，当B是底角顶点时，且BD在△ABC的外部时， ∵BD =AC，AC=BC， ∴BD =BC. 易得∠BCD=30°. ∴∠ABC =∠A=×30°= 15°. （3）如图③，当B是底角顶点时，且BD在△ABC的内部时， ∵BD =AC，AC=BC， ∴BD =BC， ∴易得∠C = 30°， ∴∠ABC=∠A=×(180°- 30°)= 75°. 综上所述，等腰三角形ABC的底角的度数为15°或45°或75°. 34 【答案】（1）50°或65°；（2）50°或80°. 【详解】（1）①当50°的角为底角时，等腰三角形的两个底角相等，若50°的角是底角，则另一个底角也为50°，此时底角的度数即为50°底角的度数为50°； ②当50°的角为顶角时，等腰三角形的内角和为180°，若50°的角是顶角，则两个底角的度数和为180°减去顶角的度数，再除以2即可得到一个底角的度数，两个底角的度数和为180°- 50°= 130°， 一个底角的度数为130°÷2-65°； 故这个等腰三角形的底角为50°或65° （2）①外角为顶角的外角时求顶角，三角形的外角与相邻的内角互补，即外角的度数等于180°减去相邻内角的度数。若该外角是顶角的外角，则顶角的度数为180°减去外角的度数180°-130°=50°. ②外角为底角的外角时求顶角，三角形的外角与相邻的内角互补，先求出底角的度数，即180°减去外角的度数。等腰三角形的两个底角相等，再根据三角形内角和为180°，用180°减去两个底角的度数得到顶角的度数180°-130°= 50°，180°-50°- 50°= 80°. 故答案为：50°或80°. 35 【答案】（1）8或6；（2）40°或100°或140°. 【详解】（1）设腰长为x，底边长为y， 则或， 解得：或， 经检验，都符合三角形的三边关系 因此三角形的底边长为9或5，等腰三角形的腰长为6或8； 故答案为:6或8; （2）∵∠ABD=50°，BD是腰上的高， ∴∠A=90°-∠ABD=90°-50°=40°， ①如图1，点A是顶角顶点时，顶角为∠A，是40°; ②如图2，点A是底角顶点时，顶角∠BAC=180°-40°×2=100°, ③如图3，点A是顶角顶点时，顶角∠BAC=180°-40°=140°, 综上所述，等腰△ABC的顶角的度数为40°或100°或140°. 36 【答案】15 【详解】如图，设等腰三角形的腰长是x cm. 当AD+AC与BC+BD的差是5cm时， 即，解得x=15， 15,15,10能够组成三角形； 当BC+BD与AD+AC的差是5cm时， 即，解得x=5， 5,5,10不能组成三角形， 故这个三角形的腰长为15cm； 37 【答案】8或10. 【详解】分两种情况讨论:当AB+AD=12，BC+DC=15或AB+AD=15，BC+DC=12， 所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为8，8，11或10，10，7. 所以腰长为8或10. 设等腰三角形的腰长是x cm，底边是y cm, 根据题意得或， 解得：或， 经检验，均符合三角形的三边关系因此三角形的腰长是8cm或10cm. 故答案为:8或10. 38 【答案】36°或45°. 【详解】解：由题意可知，尺规作图为中垂线，即是的中垂线， ， ， 在中，，则，设， ， 若为等腰三角形，则分三种情况讨论： ①在中，，则， 是的一个外角， ， 由三角形内角和定理可知，，解得，即； ②在中，，则， 是的一个外角， ， 由三角形内角和定理可知，，解得，即； ③在中，，则， 是的一个外角， ， 与互相矛盾，故此种情况不存在； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 39 【答案】30°或50°. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ， 则：； 当时， ． 故的度数是或． 故答案为：或． 40 【答案】100°或142°. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点， ∴， 过D作，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为： 或. 41 【答案】（1）10；（2）6或15. 【详解】解：点自运动至所需时间为，点自运动至所需时间为， （1）设经过秒，为等边三角形， 由题意得：， ， ， 要使为等边三角形，则， ， 解得，符合题意， 故答案为：10． （2）设经过秒，为直角三角形， 由题意得：， ， ①当时，为直角三角形， ， ，即， 解得，符合题意； ②当时，为直角三角形， ， ，即， 解得，符合题意； 故答案为：6或15． 42 【答案】（1）36°；（2）22°或38°. 【详解】解：（1），， ，，， 设，则，， 即，解得， 则，故答案为：； （2）设， ①当时，如图： ， ； ②当时，如图： ， ， 所以的度数为或； 故答案为：或． 43 【答案】B 【详解】∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2=60°， ∵∠MON =30°, ∴∠OB1A1=60°-∠MON =30°， ∴∠OB1A1=∠MON， ∴A1B1=A1A2= OA1， ∵OA1=， ∴△A1B1A2的边长:A1B1 = OA1=， 同理可得， △A2B2A3的边长:A2B2=OA2=2OA1=2×=20， △A3B3A4的边长:A3B3=OA3=2OA2=1×2=21， ...... 可归纳得△AnBnAn+1，的边长AnBn=OAn= 2n-2， ∴的边长为22022.故选B. 44 【答案】C 【详解】∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB， ∴∠BA1C= ∵A1A2= A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°， 同理可得： ∠EA3A2=×75°，∠FA4A3=×75°， ∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是×75°， 故选:C. 45 【答案】. 【详解】如下图， ∵等边△A1C1C2的周长为1，C1D1⊥A1C2于D1， ∴，， 由得，， ∴， ∴， ∴， 于是， ∴ ∴的周长=的周长， ∴，，，...，，的周长分别为1，，，…，， ∴的周长为， ，的周长和为， ，，的周长和为， ，，，...，的周长和为， 故所有等边三角形的周长和为：． 46 【答案】12°. 【详解】∵AP 1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P 14A， ∴设∠A=∠AP2P1 =∠AP13P14=x，则∠P1P3P2=∠P2P1P3=∠P13P14P12=∠P13P12P14=2x， ∴∠P3P2P4=∠P12P13P 11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x， ∴AP7P8=7x，∠AP8P7=7x， 在△AP7P8中，∠A+∠A7P8+∠AP8P7=180°， 即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°. 47 （1）能；（2）22.5； （3）∵AA1=A1A2， ∴∠AA2A1=∠A=， ∴∠A2A1A3=∠A+∠AA2A1， 即， 同理可得，. （4）由题意，得解得，18°≤＜22.5°. 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