1.5 等腰、等边、直角三角形的性质题型 分类训练2 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

初中数学 等腰、等边三角形与直角 三角形的性质 题型分类训练（二） 【题型5】 利用等腰三角形“三线合一”作辅助线 【题型6】 寻找等腰三角形的个数问题 【题型7】 共顶点的等腰（等边）三角形 【题型5 利用等腰三角形“三线合一”作辅助线】 1.如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则（       ） A．7 B．6 C．5 D．4 2.如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（　　） A． B．2 C．4 D．6 3.如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（       ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 4.如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，连接AD．点E，F分别是BC，AD的中点．若EF＝3，则AD的长为（       ） A．3 B． C．6 D． 5.课堂上，王老师将一副标准三角板如图放置，若DB=2，那么点A到BC的距离为_________． 6.如图，等边边长为a，点在的延长线上，点在的延长线上，且满足．已知，，则a的值为_________． 7.如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______． 8.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______ 9.如图，在Rt△ABC中，，，为等边三角形，连接，则_____，的面积为 _____． 10.已知，在△ABC中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，． (1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明． 11.如图，△ADB与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，求△ABC的面积（用含，，的式子表示）． 12.已知在△ABC中，，且=．作△ACD，使得． (1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)； (2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若由△ABC与△ACD的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数． 13.如图，在△ABC中，，是上任意一点，过分别向，引垂线，垂足分别为，，CG是边上的高． (1)当点在的什么位置时，？并证明． (2)，，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明； (3)若在底边的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，请直接写出，，CG之间的数量关系，不必证明． 14．(1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据　 　证明△AOC≌△BOC，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在△ABC中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　 　． (3)【拓展延伸】 如图3，△ABC中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，△ABC面积为20，则划出的△ACD的面积是多少？请直接写出答案． 15.【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为OM上一点，过点A作，垂足为，延长交ON于点B，易证△AOC≌△BOC，则．其分析过程如下： 在△AOC和中， 平分 △AOC≌△BOC（___________） 在括号内填写全等判定方法字母简称 （___________） 在括号内填写理由依据 【问题探究】 如图2，中，平分，垂足在的延长线上．证明：； 【拓展延伸】 如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D在线段BC上，向BC左侧作∠BDE=∠ACB，BE⊥DE于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论． 【题型6 寻找等腰三角形的个数问题】 16.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，相交于点F，则图中等腰三角形共有（　　） A．7个 B．8个 C．6个 D．9个 17.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点（小正方形的顶点）A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 18.如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°，点P为直线CB上一动点，并沿直线CB从右向左移动．若点P与△ABC三个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，则将点P在直线CB上进行标记，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 19.如图，坐标平面内一点A（3，﹣2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 20.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴，y轴上，OB＞OA，若点M在y轴上．且△AMB是等腰三角形，则符合条件的点M有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 21.如图，△ABC，点P为直线上的一个动点，若使得△ABP是等腰三角形．则符合条件的点P有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22.如图，线段的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23.如图，直线相交于点，，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25.已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形能作出 个. 26.如图，在长方形ABCD（AB＞BC）的对称轴l上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有 个. 27.如图1，∠DAB=∠ABC=90°，∠BAC=45°，CE⊥BD. (1)求证：AD=BE； (2)如图2，若点E是AB的中点，连接DE、CD，在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形． 【题型7 共顶点的等腰（等边）三角形】 28.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连结DE，若AB=3，AC=5，则ED=（  ）. A． B． C．4 D． 29.如图，和均为等腰直角三角形，且，点、、在同一条线上，平分，连接，下列结论：①；②；③；④S△COE=S△BOE，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30.如图，在△ABC中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写出所有正确结论的序号） 31.如图，△ABC与△DCE为等边三角形，B、C、E在同一条直线上，连接AE、BD相交于点M，连接CM、GF有如下结论：（1）AE=BD （2）MG=MD （3）GFBE   （4）MC平分∠BME，其中正确的有________． 32.如图，在△ABC和△ADE中，，，，且点D在线段上，连． (1)求证：； (2)若，求的度数． 33.如图，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)猜想AE与BD的位置关系，并说明理由． 34.如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P． 求∠AOB的度数． 35.已知：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，点与点A重合，，，． (1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点B、、在一条直线上时，__________°； (3)如图3，当点在边上时，试判断与的位置关系，并说明理由． 36.已知△ABC中，；△DEC中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE． (1)如图1，当时， ①请直接写出△ABC和△DEC的形状； ②求证：； ③请求出的度数． (2)如图2，当时， 若，，求线段AF的长． 37.如图，在直线AB的同侧作△ABD和△BCE，△ABD和△BCE都是等边三角形，连接AE、CD，二者交点为H. 求证： （1）△ABE≌△DBC； （2）AE=DC； （3）∠DHA=60°； （4）△AGB≌△DFB； （5）△EGB≌△CFB； （6）连接GF，则GF∥AC； （7）连接HB，则HB平分∠AHC. 38.在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和等边三角形BCD，连接AD、BE交于点P． (1)如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是： ． (2)如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连接 CF，可证得CF也经过点P，求证：PB+PC+PA=BE． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B D C 8 135°，2 10 【答案】(1)；(2)，理由见解析． 【详解】（1）解：连接， ∵，，点是的中点 ∴，且，平分， ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∴（ASA） ∴． （2），理由如下：连接， 由（1）可知：，， ∴ 在和中， ∴（ASA） ∴ ∵ ∴． 11 【答案】(1)20°；(2)见解析；(3). 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （2）证明：过点作于点，过点作于点， ∴， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴在和△CBG中，， ∴， ∴，， ∵， 设、交于点，则 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）可知，， ∴， ∵， ∴． ． 12 【答案】(1)；(2)见解析；(3)与相等或互补. 【详解】（1）解：∵△ABC中，，且=,          ． （2）如图，过点作于E点， ∵△ABC中，，， ， ∵△ACD中，， ， ,=，               ． 在和△ACH中，,,， ∴≌△ACH，    ∴，    ∴． （3）①如图，作DE⊥AC于E，BF⊥AC于， ∵△ABC与△ACD的面积相等，∴， 又∵ , DC=AB ∴△DEC≌△BFA(HL) ∴，即= ②如图，作于，作垂直于的延长线于． 则． ∵，， ∴， ∵△ABC与△ACD的面积相等， ∴． ∴△ABG≌． ∴． ， ∴， 综上，与相等或互补． 13 【答案】(1)当D点在BC的中点位置时，，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)（2）中的结论不成立，，，之间的数量关系是： （1）当BD=CD时，DE=DF. 理由：∵是的中点，∴， 又， ∴，，， ∴， ∴△BDE≌△CDF（AAS），∴ （2）.连接， S△ABC=S△ABD+S△ADC， 即， ∵， ∴ （3）连接，同理可得S△ABD=S△ABC+S△ADC， 即 ∵， ∴ 故（2）中的结论不成立， ，，之间的数量关系是： 14 【答案】(1)；(2)；(3)，证明见解析；(4)△ACD的面积是. 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 故答案为：； （2）解：如图2，延长交于点F， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，证明如下： 如图3，延长、交于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， 由问题情境可知，， ∴； （4）解：如图4，延长交于E， 由问题情境可知，，， ∴S△ACD=S△ECD， ∵S△ABC=20， ∴S△ACE=， ∴S△ACD=， 答：△ACD的面积是． 15 【答案】[问题情境] ， 全等三角形对应边相等；[问题探究]见解析； [拓展延伸]，见解析 【详解】解：[问题情境]：在和中， ， ≌， 全等三角形的对应边相等． 故答案为：，全等三角形对应边相等； [问题探究]证明：延长交延长线于， 平分， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ． [拓展延伸]解：结论：理由如下： 过点作，交的延长线于点，与相交于， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， ． 题号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 答案 B C C C A D C D D 7 5 27 （1）证明：∵∠ABC=90°，∠BAC=45°， ∴∠ACB=45°，∠ABD+∠DBC=90°， ∴AB=BC， ∵CE⊥BD， ∴∠BCE+∠DBC=90°， ∴∠ABD=∠BCE， 在△DAB和△EBC中， ， ∴△DAB≌△EBC（ASA）， ∴AD=BE； （2）△ADE、△ABC、△BCD、△CDE是等腰三角形. 题号 28 29 30 31 答案 C B ①②③④ （1）（3）（4） 32 【答案】(1)见解析；(2)30°. （1）证明：∵， ∴，即． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：由（1）得， 又∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴且， 在△ACE中∵且 ∴， ∴． 33 【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析. （1）解：，理由如下： ∵∠ACB=∠DCE=90°， ， 即， 在与中， ， ； （2）解：，理由如下： 设与相交于点，在与中， ， ， ， ， ． 34 【答案】∠AOB＝60° 【详解】证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE， 即∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中，， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠CAE＝∠CBD， ∵∠APC＝∠BPO， ∴∠BOP＝∠ACP＝60°，即∠AOB＝60°． 35  【答案】(1)，理由见详解；(2)90；(3)，理由见详解. （1）解：，理由如下： ∵，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）由（1）可知，△ABE≌△ACF， ∴∴∠AEB=∠AFC， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90； （3），理由如下： ∵，， ， 由（1）可知，△ABE≌△ACF， ∴， ∵， ∴， ∴． 36 【答案】(1)①△ABC和△DEC是等边三角形；②见详解；③60°；(2)4. （1）①∵，， ∴△ABC，△DEC为等腰三角形， 又∵， ∴△ABC和△DEC是等边三角形； ②∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠BCE+∠DCB，∠ACB=∠DCE， ∴∠ACD=∠BCE， 又∵，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE； ③∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∵∠ADC=180°-∠CDE=180°-60°=120°， ∴∠BEC=∠CEF+∠AEB=120°， ∵∠CEF=60°， ∴∠AEB=120°-60°=60°； （2）延长BE、AC相交于点G， ∵=90°，，， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD=∠CBE， ∵∠AFC=∠BFE， ∴∠ACF=∠BEF=90°， ∴∠AEB=∠AEG=90°， 在∆ACF和∆BCG中， ∵ ， ∴△ACF≌△BCG（ASA）， ∴AF=BG， ∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=∠AEG=90°，AE=AE， ∴∆AEB≌∆AEG(ASA)， ∴BE=GE=2， ∴AF=4． 37 【解析】：（1）证明：∵∠ABD = ∠EBC=60， ∴∠ABE = ∠CBD， ∵BA = BD，BE=BC， ∴△ABE≌ △DBC. （2）∵△ABE≌ △DBC， ∴AE = DC. （3）如图：∵△ABE≌ △DBC， ∴∠1=∠2， ∵∠DGH = ∠AGB， ∴∠DHA = ∠4 = 60°. （4）如图，∵∠3=180°- ∠4-∠CEB=60°， ∴∠4=∠3， ∵∠1=∠2，AB=DB， ∴△AGB≌△DFB （5）同理(4)可证△EGB≌△CFB. （6）如图①所示：连接GF，由（4）得△AGB≌△DFB， ∴BG=BF， 又∵∠5=60°， ∴△BGF是等边三角形， ∴∠3=60°， ∴∠3=∠4， ∴GF∥AC. （7）如图②所示，过点B作BM⊥DC于M，过点B作BN⊥AE于点N， ∵△ABE≌△DBC， ∴S△ABE=S△DBC， ∴1/2×AE×BN=1/2×CD×BM， ∵AE=CD， ∴BM=BN， ∴点B在∠AHC的平分线上， ∴HB平分∠AHC. 38 【答案】(1)AD =BE；(2)AD =BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°，见解析； (3)见解析. （1）解：∵△ACE和△BCD都是等边三角形， ∴∠ACE＝∠DCB＝60°，CA＝CE，CD＝CB， ∴∠ACE＋∠DCE＝∠DCB＋∠DCE，即∠ACD＝∠ECB， 在△ECB和△ACD中，， ∴△ECB≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE； （2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°， 证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形， ∴EC = AC，BC=DC，∠ACE=∠BCD=60°， ∴∠ACE+∠ACB =∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD， 在△ECB和△ACD中，， ∴△ECB≌△ACD（SAS）， ∴AD=BE，∠CEB=∠CAD，设BE与AC交于Q， 又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP +∠APQ =∠EQC+∠CEQ +∠ECQ=180°， ∴∠APQ =∠ECQ=60°，即∠APE=60°； （3）由（2）同理可得△EAB≌△CAF（SAS）， ∴∠AEB＝∠ACF， 设BE与AC交于Q，则∠AQE＝∠PQC， ∴∠CPE=∠EAC=60°， 在PE上截取PH=PC，连接HC， ∴△PCH为等边三角形， ∴HC=PC，∠CHP=60°， ∴∠CHE=120°， 又∵∠APE=∠CPE =60°， ∴∠CPA=120°， ∴∠CPA=∠CHE， 在△CPA和△CHE中，， ∴△CPA≌△CHE（AAS），∴AP =EH， ∴PB+PC+PA= PB+PH+ EH =BE． ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $