精品解析：新疆乌鲁木齐市第一中学与第125中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025－2026学年第一学期八年级期中考试 数学试卷 满分：100分 时间：100分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的边长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 2. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则的值为（ ） A. 21 B. 90 C. 134 D. 1125 4. 下列各式因式分解正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，C处在B处的北偏西方向，C处在A处的北偏西方向，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ） A B. C. D. 7. 若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 8. 如图是可调躺椅示意图，与的交点为，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（ ） A. 增加 B. 减少 C. 增加 D. 减少 9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 10. 如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性，这样做蕴含的数学道理是______． 12. 因式分解：______． 13. 如图，是的中线，，的周长比的周长大2，则_____． 14. 已知，且，则________． 15. 如图，，，，P、Q两点分别在线段和射线上运动，且．若与全等，则的长度为_____． 16. 用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，x取______时，S最大，为______． 三、解答题（共52分） 17 计算： （1） （2）在化简，再求值：，其中，． 18. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. ①尺规作图，需保留作图痕迹．已知：．求作：，使； ②在用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据的数学原理是：______ 20. 如图，在中，点D在边上． （1）若，求的度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 21. 如图，于于F，若， （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 22. （1）图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形，请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积． 方法1：____________，方法2：____________；等量关系：____________； （2）利用等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 23. 综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期八年级期中考试 数学试卷 满分：100分 时间：100分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的边长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 【详解】解：设第三边长为，由题意得： ， 则， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 2. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】解：∵两个三角形全等，在第一个三角形中，为，两边的夹角度数， 在第二个三角形中，为，两边的夹角， ∴． 故选：A． 3. 若，，则的值为（ ） A. 21 B. 90 C. 134 D. 1125 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则将变形为，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：D． 4. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解：提公因式法、运用公式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．根据平方差公式、完全平方公式、提公因式法分解因式即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，C处在B处的北偏西方向，C处在A处的北偏西方向，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向角是视线与正南或正北方向的夹角，根据平行线的性质和三角形内角和的性质即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，方向角的定义，熟练掌握方向角的定义与平行线的性质、三角形内角和定理的综合应用是解此题的关键． 6. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，解答即可． 本题考查了平方差公式，熟练掌握公式的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，得． 故选：D． 7. 若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将，进行因式分解，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或； ∴这个三角形一定是等腰三角形． 故选D． 【点睛】本题考查因式分解的应用．解题的关键是掌握分组法进行因式分解． 8. 如图是可调躺椅示意图，与的交点为，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（ ） A. 增加 B. 减少 C. 增加 D. 减少 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角性质，由内角和定理可得，即得，再根据三角形外角性质可得，进而得，据此即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴增加， 故选：． 9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 10. 如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据外角的性质和角平分线的定义，结合三角形内角和定理求出，，得出，从而得出． 【详解】解：是的平分线，是的平分线， ，， 又，， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了规律探究：图形的变化类，熟练掌握三角形内角和定理和外角性质是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性，这样做蕴含的数学道理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性，这样做蕴含的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解答的关键． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案：． 13. 如图，是的中线，，的周长比的周长大2，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的概念，熟记三角形的中线与一边的交点平分这条边是解题的关键；借助三角形周长公式以及中线的概念（三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线）得到线段与之间的关系即，从而问题得以解决． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 14. 已知，且，则________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用和的完全平方公式与差的完全平方公式的关系求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴ ． 故答案：36． 15. 如图，，，，P、Q两点分别在线段和射线上运动，且．若与全等，则的长度为_____． 【答案】8或4 【解析】 【分析】分和两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 故答案为：8或4． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 16. 用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，x取______时，S最大，为______． 【答案】 ①. 5 ②. 25 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用．设矩形一边长为，则另一边长为，利用面积公式建立二次函数，进而求解即可． 【详解】解：设矩形一边长为，则另一边长为． ∴面积， ∵， ∴当时，S有最大值25， ∴ 矩形花圃面积的最大值为． 故答案为：5；25． 三、解答题（共52分） 17. 计算： （1） （2）在化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据积的乘方法则，同底数幂的乘法，合并同类项法则计算即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式法则化简，然后把的值代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当，时，原式． 18. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式进行分解是解题的关键． （1）提取公因式，即可得到答案； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可得到答案． （3）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解即可得到答案； （4）利用十字相乘法进行分解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 19. ①尺规作图，需保留作图痕迹．已知：．求作：，使； ②在用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据的数学原理是：______ 【答案】①见详解；②全等三角形的对应角相等 【解析】 【分析】①第一步：以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点N，M；第二步：画一条射线，以点D为圆心，长为半径画两条弧，一条弧交于点C，另一条弧在上方；第三步：连接，以点C为圆心，长为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于E点；过点E，画射线，则； ②证明，根据全等三角形对应角相等，即可得． 【详解】解：①如图所示： ②因为，，，所以， 那么，即， 因此在用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中， 依据的数学原理是：全等三角形的对应角相等． 【点睛】本题考查了尺规作图，涉及全等三角形的判定与性质内容，全等三角形的对应角相等，难度中等． 20. 如图，在中，点D在边上． （1）若，求的度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线等知识．熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线是解题的关键． （1）由题意知，，根据，计算求解即可； （2）由为的中线，可得，由的周长比的周长大3，可得，进而可得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：∵为的中线， ∴， ∵的周长比的周长大3， ∴，即， ∴，即， 解得，， ∴的长为6． 21. 如图，于于F，若， （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. （1）图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形，请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积． 方法1：____________，方法2：____________；等量关系：____________； （2）利用等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）；；；（2）①，；② 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式． （1）方法1，根据“图②中大正方形的面积-图①中长方形的面积”即可得出答案；根据图②中小正方形的边长为，小长方形的面积即可得出答案； （2）①由（1）中所得的等量关系得，将，，代入即可得的值；再根据，得，据此可得的值； ②将配方得，进一步计算即可得出答案． 【详解】解：（1）方法1，∵图②中大正方形的边长为， ∴图②中大正方形的面积为：， ∵图①中长方形的长为、宽为， ∴图①中长方形面积为：， 又∵图②中大正方形的面积图①中长方形的面积， ∴， 方法2：∵图②中小正方形的边长为， ∴小长方形的面积， 等量关系：， 故答案为：；；； （2）①∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴． 23. 综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与数量关系是______． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【答案】（1）①；②3；（2）8 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练分类讨论的思想是解题的关键． （1）①根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案， ②同理①证明即可得到答案； （2）过作于E，证明即可得到答案． 【详解】（1）①解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：过作于E， ∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $