天津市西青区杨柳青第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

杨柳青一中2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试 数学试卷 温馨提示：本试卷分第I卷（选择题)，第II卷（综合题）共两部分，共150分，考试时间120分钟。 第I卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分） 1．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D．3 2．已知向量，若，则（   ） A． B． C．4 D．6 3．已知关于平面向量，有下列四个命题： ①若，则存在，使得； ②若，则或； ③若，则； ④存在不全为零的实数，使得其中正确的命题是（    ） A．① ③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．已知数列满足，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．数列的前项和为，且满足，则（    ） A．1011 B．1013 C．2022 D．2023 6．《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 7．已知数列满足，.给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列的前n项和； ③数列每一项都满足成立； ④数列每一项都满足. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②④ 8．中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 9．已知集合直线l，其中m，n是正常数，，下列结论中正确的是（   ） A．当时，S中直线的斜率为 B．S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 C．当时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2n D．S中所有直线均经过同一个定点 10．如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分） 11．已知等比数列满足，，则a4＝ . 12．数列的前满足的和为，若，（），则 . 13．在数列中，，数列的前n项和为，若，则数列的前n项和为 ． 14．如图，在边长为1的等边三角形ABC中，连接各边的中点得，再连接的各边中点得，……按此方法继续下去，设的面积为，后续各三角形的面积依次为、…、、…，已知数列满足，则数列的最大项的值为 . 15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为 . 16．已知椭圆的长轴长为4，离心率为.若分别是椭圆的上，下顶点，分别为椭圆的上，下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 . 17．如图，椭圆与双曲线有公共焦点，点为两曲线的一个公共点，且为的内心，三点共线，且轴上点满足，则的最小值为 . 18．已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，过点且与轴垂直的直线交椭圆于点，若，直线与直线的交点在轴上，则椭圆的离心率为 三、计算题（本大题共5小题，共60分） 19．（6分）已知数列是各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项. (1)求数列的通项公式；（2分） (2)若数列满足，求数列的前2025项和.（4分） 20．（6分）已知向量，. (1)求的值；（2分） (2)求向量与夹角的余弦值.（4分） 21．（16分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：平面；（4分） (2)求平面与平面夹角的余弦值；（6分） (3)求点到平面的距离.（6分） 22．（16分）如图，长方体 中， ，点 在线段 上，且 . (1)求证: 平面 ;（4分） (2)求点 到平面 的距离;（6分） (3)求平面 和平面 夹角的余弦值.（6分） 23．（16分）已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点. (1)若点M的坐标为，求的面积；（4分） (2)若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值；（6分） (3)如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的最大值，（6分） 高二期中数学试卷 第1页，共3页 高二期中数学试卷 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考试数学学科答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A B C C A C A 填空题 11．2 12．11 13． 14． 15．24 16． 17． 18．/ 19．(1) (2) 解答题 20． (1) (2) （1），， ，， . （2）设与的夹角为，则，     ，，     ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 21． (1)证明见解析 (2) (3) （1）连接交于，连接， 由底面为矩形，则为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面; （2）根据题意，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由 ， 则 ， 则，，， 故平面的一个法向量为， 设为平面的法向量，则，即， 令，则，故， 所以， 根据题意，可得平面与平面夹角为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为； （3）由（2）可知为平面的法向量，， 所以， 所以点到平面的距离为. 22． (1)证明过程见解析 (2) (3) （1）建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， ，， 则有， 显然，因此 平面 ； （2）由， 设点 到平面 的距离为，则有 （3）平面的法向量为， ， 则有， 设平面 和平面 夹角为， 则有. 23．(1)； (2)证明见解析，0； (3) （1）由已知条件得，因为，则，又， 因此的面积为. （2）设，由，得， ，又，， ， 于是 ， 即为定值. （3）因为直线:与相切，则，即， 同理，由直线:与相切，可得， 于是、是关于的方程的两实根， 注意到，且，故， 因为定值，故不妨设（定值）， 于是有，即. 依题意可知，变化，而、均为定值，即有，解得，， 设，，由得，同理， 所以 ，当且仅当时取等号， 因此，解得， 所以的范围为， 故的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $