精品解析：广东省广州市南武中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期广州市南武教育集团联合练习题 八年级数学 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 全运会正在广东开展，观察下列运动标志，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可得，A、B、D均不能找到一条直线，使A、B、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合， ∴A、B、D不是轴对称图形，不符合题意； 由图可得，C能找到一条直线，使C沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合， ∴C是轴对称图形，符合题意； 故选：C． 2. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段能构成三角形，符合题意； 故选：． 3. 点关于轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称点的性质，解题的关键是掌握该性质． 根据两点关于轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：B． 4. 下列各图中，作边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、不是边上的高，不符合题意； B、是边上的高，不符合题意； C、不是边上的高，不符合题意； D、是边上的高，符合题意； 故选：D． 5. 在台风“摩馤”灾后的电力抢修重建中，为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一”的性质 D. 垂直平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 详解】解：， ， ， 工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质； 故选：C． 6. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 7. 满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ） ①有两个角是的三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形 ③腰上的高也是中线的等腰三角形 ④三个外角都相等的三角形 ⑤有一个角为的等腰三角形． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定，熟记等边三角形的定义是解题关键．根据等边三角形的定义判断即可． 【详解】解：一个三角形有两个角是，根据三角形内角和定理可知，另一个角也为，即有两个角是的三角形是等边三角形，故正确； 一个等腰三角形有两个底角相等，则底角的外角相等，不能判定该三角形为等边三角形，即有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故错误； 有一腰上的中线也是这个腰上的高的等腰三角形，则说明该等腰三角形的腰与底一样长，即该三角形为等边三角形，故正确； 一个三角形的三个外角都相等，则这个三角形的三个内角都相等，即三个外角都相等的三角形是等边三角形，故正确； 有一个角是的等腰三角形，根据三角形内角和定理即可得到该三角形的三个角均为，即该三角形为等边三角形，故正确． 综上，正确的有，共个． 故选：C． 8. 等腰三角形的周长为，其中一边长，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和底边长为两种情况，求出对应情形下的腰长或底边长，再根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，则底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形符合题意； 当底边长为时，则腰长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，底边长为或． 故选：C． 9. 如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为．其中正确的结论为（ ） A. ②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键． 首先证明，得到，得到是等边三角形，②正确；根据与都是等腰直角三角形，得到得到①③正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，得出的度数为④正确． 【详解】解：∵与都等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴②是等边三角形正确， ∴， ∵与都等腰直角三角形， ， ，， 为的角平分线， 为等腰三角形， ①垂直平分正确， ， ③平分正确， 等腰三角形，顶角， ， 同理， ∴④的度数为正确． 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 直角三角形中，一个锐角为，则另一个锐角的度数为_____． 【答案】##65度 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余，正确掌握其性质是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵直角三角形中，一个锐角为， ∴另一个锐角的度数为． 故答案为：． 12. 如图，在中，D是BC延长线上一点，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解． 【详解】∵∠B=50∘，∠ACD=110∘， ∴∠A=∠ACD−∠B =110°−50°=60° 【点睛】本题考查三角形的外角，熟练掌握三角形的性质是解题关键. 13. 如图，在中，，为的平分线，若，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据“三线合一”求解即可． 【详解】∵，为的平分线， ∴． 故答案为：5． 14. 如图，线段与交于点，且，要证明，若以“”为依据，则需添加一个条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，若以“”为依据证明，则需要已知两边及其夹角对应相等，题中已知，根据对顶角相等，可知，所以需要补充的条件是． 【详解】解：在和中，已知， 根据对顶角相等，可知， 若以“”为依据证明， 则需要添加． 故答案为： ． 15. 如图，在中，， ，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先求出，再根据直角三角形的性质即可得解，熟练掌握直角三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知，两点关于直线对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于成轴对称的点，纵坐标相同，横坐标相加等于4，求解. 【详解】已知，两点关于直线对称， ， ， ， 故答案为：-2. 【点睛】本题考查了关于直线对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律. 三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，和相交于点O，，求证：； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．利用证明全等即可． 【详解】证明：在与中， ， ∴． 18. 如图为4×4的正方形网格，的三个顶点均在小正方形的顶点上．在图1．图2中分别画和，使得和都与全等，（要求：D点和E点的位置不相同） 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了轴对称作图，全等三角形的性质，正确掌握全等三角形的性质利用轴对称作图是解题的关键． 【详解】如图，和即为所求． ． 19. 作图题． （1）请画出关于轴对称的； （2）直接写出三点的坐标：______，______，______； （3）在轴上找一点使得最小． 【答案】（1）图见解析 （2），， （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据图形写出点的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接与该点的线段与轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 由图可知：，，； 【小问3详解】 如图，点即为所求． 20. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，在边找一点，使得点到边距离相等； （2）如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—角平分线的作法、作图—线段垂直平分线的作法： （1）作出的角平分线，要求的点为该角平分线与的交点； （2）作出三角形任意两边的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点． 【小问1详解】 解：如图： 以为圆心画圆弧与分别交于，以分别为圆心，的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接并延长交于，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图： 以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接； 以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接； 和交于即为所求点． 21. 如图，在中，是高，是角平分线． （1）若，，求的度数． （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）的度数为 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理应用，角平分线的定义，关键是三角形面积公式的应用． （1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，最后结合三角形内角和定理即可求解； （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． 【小问1详解】 解：，， ， 是角平分线， ， ． 【小问2详解】 解：，，，，是高， ， ∴， ． 22. 如图，在中，，，，现有一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，试回答下列问题： （1）运动几秒时为等腰三角形？ （2）运动几秒时为直角三角形？ 【答案】（1）运动4秒或8秒时为等腰三角形 （2）运动2秒或5秒时为直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质； （1）由于点在线段上时，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，然后求出，再根据时间路程速度计算即可得解；根据有一个外角是时可得出的长，故可得出结论； （2）分和两种情况求出，再求出的长，然后根据时间路程速度计算即可得解． 【小问1详解】 当点在线段上时，如图1， ，为等腰三角形， ∴是等边三角形， ， ， 运动时间为：秒， 当点在线段外时，记为，如图2， ， ， 此时，， 时间等于． 故运动4秒或8秒时为等腰三角形； 【小问2详解】 时，， ， 运动时间为：秒， 时，， ， 运动时间为：秒， 故运动2秒或5秒时为直角三角形． 23. 如图，中，平分，且平分，于，于． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形性质可得，再设，根据线段的和差建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中，  ， ∴， ． 【小问2详解】 解：平分，于，于， ，， 在与中，  ， ∴， ， 由（1）已证：， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴． 24. 【探究与发现】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为______． A． B． C． D． 【变式与应用】（2）如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据中线的性质证得，再由对顶角相等的性质证得，结合，利用全等三角形的判定方法证得； （2）延长至点，使，连接，证得，根据全等三角形的性质证得，再根据三角形的三边关系证得，计算求解即可； （3）延长至，使，连接，根据中线的性质，可证得，进而证得，根据全等三角形的判定方法证得，由全等三角形的性质得到，进而证得即可． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图： 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 25. 如图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接． （1）如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明； （3）如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． 【答案】（1）， （2）垂直，见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果； （2）过点E作轴于H，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接、，O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则，根据三角形的面积关系可得出． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：过点E作轴于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为垂直； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 取点G，连接， ∵，， ∴O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则， 此时最小，， ∵E到的距离相等，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期广州市南武教育集团联合练习题 八年级数学 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 全运会正在广东开展，观察下列运动标志，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度三条线段能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 点关于轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各图中，作边上的高，正确的是（ ） A B. C. D. 5. 在台风“摩馤”灾后电力抢修重建中，为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一”性质 D. 垂直平分 6. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 7. 满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ） ①有两个角是的三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形 ③腰上的高也是中线的等腰三角形 ④三个外角都相等的三角形 ⑤有一个角为的等腰三角形． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 等腰三角形的周长为，其中一边长，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 9. 如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为．其中正确的结论为（ ） A. ②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 直角三角形中，一个锐角为，则另一个锐角的度数为_____． 12. 如图，在中，D是BC延长线上一点，，，则__________. 13. 如图，在中，，为的平分线，若，则的长为______． 14. 如图，线段与交于点，且，要证明，若以“”为依据，则需添加一个条件是______． 15. 如图，在中，， ，，，则__________． 16. 在平面直角坐标系中，已知，两点关于直线对称，则________． 三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，和相交于点O，，求证：； 18. 如图为4×4的正方形网格，的三个顶点均在小正方形的顶点上．在图1．图2中分别画和，使得和都与全等，（要求：D点和E点的位置不相同） 19. 作图题． （1）请画出关于轴对称的； （2）直接写出三点坐标：______，______，______； （3）在轴上找一点使得最小． 20. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，在边找一点，使得点到边距离相等； （2）如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等． 21. 如图，在中，是高，是角平分线． （1）若，，求的度数． （2）若，，，，求的长． 22. 如图，在中，，，，现有一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，试回答下列问题： （1）运动几秒时为等腰三角形？ （2）运动几秒时为直角三角形？ 23. 如图，中，平分，且平分，于，于． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 24. 【探究与发现】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为______． A． B． C． D． 【变式与应用】（2）如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 25. 如图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接． （1）如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明； （3）如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $