上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

复旦附中2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 (1-6每小题4分, 7-12每小题5分, 共54分) 1.已知集合A={1，k}，B={2，5}，若A∩B={5}，则k= . 2.不等式x(4-x)0的解集是 . 3.函数的定义域为 . 4．设α：0＜x＜4，β：0＜x＜a，α是β的充分条件，则实数a的取值范围是　 　 ． 5.不等式的解集是 . 6．若函数的取值范围是 . 7．用二分法研究函数f（x）在区间（0，1）内的零点时，计算得f（0）<0，f（0.5）<0，f（1）>0， 那么下一次应计算x＝ 时的函数值． 8.已知关于x的不等式 对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为 . 9.设y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时, 若函数y=f(x)恰有4个零点， 则实数a的取值范围是 . 10．已知正数满足，则的最小值为 . 11．设定义在R上的函数y=满足且当时，； 若对任意，不等式 恒成立，则实数的最大值是 . 12．不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出 和的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题： 设，若对任意，都有成立，则 . 二、选择题 (13-14第4分, 15-16每小题5分, 共18分) 13．下列不等式中，解集为R的是（    ） A． B． C． D． 14．若a，b为实数，则“”是“”的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 15.若存在x∈R,使得不等式|2a+1|-2|x|成立，则实数a的取值范围是（     ） A．（，1） B．（，）（，） C．（，1） D．（，）（，） 16．设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有， 则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下两个结论： ①若y=是＂类严格增函数，则y=一定在上严格增； ②函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ）．A. ①假②真 B. ①真②假 C. ①②均真 D. ①②均假 三、解答题 (共78分) 17.(第1小题6分， 第2小题8分，共14分) 已知集合 （1）求b，c的值；（2）若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围. 18.(第1小题7分，第2小题7分，共14分) 设 k为常数.（1）判断y=f(x)的奇偶性并证明；（2）若k=2, 证明： y=f(x)在(0,1)上是严格减函数. 19.(第1小题6分，第2小题8分，共14分) “CAOLU”科技公司新研发了一款取名“灵犀”的智能笔，每生产x千支“灵犀”笔的总成本为(3x+3)千元， 用AI软件对市场的相关数据进行分析得知，“灵犀”笔投放市场后可以全部销售完， 其销售额为，(单位：千元). （1）求“CAOLU”科技公司生产销售“灵犀”笔的利润y (千元)关于产量x (千支)的函数关系式； （2）当产量为多少千支时，“CAOLU”科技公司在生产销售“灵犀”笔中所获得的利润最大? 20．(第1小题4分, 第2小题6分, 第3小题8分, 共18分) 已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈R，a≠0）的两个实根为x1，x2． （1）若a＝1，b＝-2，c＞0，求|x1|+|x2|的值； （2）若b+c＝0，ab＜0，用反证法证明x1，x2中至少有一个大于等于2； （3）若3a+2b+c＝0，,求实数的取值范围． 21．(第1小题4分, 第2小题6分, 第3小题8分, 共18分) 已知函数在区间D上的图像是一条连续不断的曲线，若对于给定的非零实数T，存在D使得： 成立，则称函数在区间D上具有性质. （1）已知，判断函数上是否具有性质，并说明理由； （2）已知在区间具有性质，求正整数的最小值； （3）已知函数上具有性质，求T的最大值. 复旦附中2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 (1-6每小题4分, 7-12每小题5分, 共54分) 1． 2 . 3. 4. 5. {x|x-3或x2} 6. 7. 0.75 8. 9. 10. 11. 12. 10．已知正数满足，则的最小值为 . 10．【详解】令，则， ，当且仅当，即时取等号； 故答案为：. 11．设定义在R上的函数y=满足且当时，； 若对任意，不等式 恒成立，则实数的最大值是 【详解】由已知即后一个周期区间的函数是前一个周期区间的函数 先向右一个单位，先向上个单位，所以后一个周期区间的函数最大值比前一个周期区间的函数最大值大个单位； ①当时，恒成立， 可得：②当时，， 恒成立； ③当时，， 恒成立；画出函数草图，由图可知，当时，不等式恒成立，，故选：B. 12．不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出 和的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题： 设，若对任意，都有成立，则 . 12． 【详解】①当bb，，对于任意恒成立， 等价于或，解得：②当b类比图像法解不等式，画出和，若对任意都有，函数与x轴的交点为， 函数与x轴的交点为，在同一直角坐标系内，所以两个函数图像应如下图所示： 函数在区间上恒成立， 函数0在区间上恒成立， 等价于或或a=0， 且，解得：，b 所以，故=a的范围为，为；故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分） 13. B 14. D 15. A 16. D 15.若存在x∈R,使得不等式2成立，则实数a的取值范围是（     ） A．（，1） B．（，）（，） C．（，1） D．（，）（，） 【详解】由题意可知：，因此，若满足题意， 必须，等价转化为，解得，故的取值范围为（，1）；故选：A. 16．设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有， 则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下两个结论： ①若y=是＂类严格增函数，则y=一定在上严格增； ②函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ）．A. ①假②真 B. ①真②假 C. ①②均真 D. ①②均假 16． D【详解】①，对于，定义域为R，存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，错误；②，对于函数， ，所以是周期为1的周期函数，，若，则，不符合题意． 因为的周期为1，故不妨设，设，则， 而，此时，矛盾；所以函数不是＂严格增函数＂，错误；故选：D. 三、解答题 (共78分) 17.(第1小题6分, 第2小题8分, 共14分)已知集合 （1）求b，c的值；（2）若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围. 【详解】（1）由B=[1，3]，知二次方程bx+c=0的根为1和3，根据根与系数的关系：，解得：；（2）由（1）可知，3，集合至多一个元素，即方程至多一个实根， 当a=0时，方程变为3x+4=0，解得满足条件；当a≠0时，判别式0，解得 综上，a的取值范围是. 18.(第1小题7分, 第2小题7分, 共14分) 设k为常数.（1）判断y=f(x)的奇偶性并证明；（2）若k=2, 证明： y=f(x)在(0,1)上是严格减函数. 【详解】（1）定义域为：x≠0，关于原点对称；当k=0时，满足f(-x)=f(x),故为偶函数； 当k≠0时，不满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),故非奇非偶； 综上，k=0时，偶函数；k≠0时，非奇非偶； （2）当k=2时， 对任意且 ， 由于，故 综上，. 19.(第1小题6分, 第2小题8分, 共14分) “CAOLU”科技公司新研发了一款取名“灵犀”的智能笔，每生产x千支“灵犀”笔的总成本为(3x+3)千元， 用AI软件对市场的相关数据进行分析得知，“灵犀”笔投放市场后可以全部销售完， 其销售额为，(单位：千元). （1）求“CAOLU”科技公司生产销售“灵犀”笔的利润y (千元)关于产量x (千支)的函数关系式； （2）当产量为多少千支时，“CAOLU”科技公司在生产销售“灵犀”笔中所获得的利润最大? 【详解】（1）因为销售额W（x）， 所以，当0＜x≤6时，利润为y＝2x2+7x﹣（3x+3）＝2x2+4x﹣3， 当6＜x≤14时，利润为，综上，利润为； （2）当0＜x≤6时，y＝2x2+7x﹣（3x+3）＝2x2+4x﹣3，所以x＝6时，y取得最大值为ymax＝93， 当6＜x≤14时，168﹣[3（x﹣1）]， 因为6＜x≤14，所以5＜x﹣1≤13，所以3（x﹣1）≥260， 当且仅当，即x＝11时等号成立，所以，x＝11时，y取得最大值为ymax＝168﹣60＝108； 综上知，当x＝11时，y取最大值为108，所以当产量为11千件时，该企业在生产销售该款玩具中所获得的利润最大． 20．(第1小题4分, 第2小题6分, 第3小题8分, 共18分) 已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈R，a≠0）的两个实根为x1，x2． （1）若a＝1，b＝-2，c＞0，求|x1|+|x2|的值； （2）若b+c＝0，ab＜0，用反证法证明x1，x2中至少有一个大于等于2； （3）若3a+2b+c＝0，,求实数的取值范围． 20．（1）1；（2）证明过程见详解；（3）. 【详解】（1）当a＝1，b＝-2，时，化为， 则两个实根，由韦达定理可得：，则，则； （2）证明：假设，都小于2，，，，且与异号，的两个实根，， 由韦达定理可得：，则与同正，且此时，则，，都小于2， ，这与矛盾，故假设不成立，，中至少有一个大于等于2； （3），，则可化为：， 一元二次方程有两个实根，，且， 即，则，解得或， 又,实数的取值范围为. 21．(第1小题4分, 第2小题6分, 第3小题8分, 共18分) 已知函数在区间D上的图像是一条连续不断的曲线，若对于给定的非零实数T，存在D使得： 成立，则称函数在区间D上具有性质. （1）已知，判断函数上是否具有性质，并说明理由； （2）已知在区间具有性质，求正整数的最小值； （3）已知函数上具有性质，求T的最大值. 21．（1）具有，理由见解析；（2）；（3）证明见解析. 【详解】（1）若具有性质，则存在使得成立，即，解得； 所以具有性质； （2）依题意，得，整理得，解得或（舍去）， 所以，即，而，故正整数m的最小值是2； （3）的最大值为，求解如下：因为，可知在上 有解，所以具有性质，从而可取到；下面证明：不可能出现． 当时，；当时，；可知对任意恒成立， 同理可得：对任意恒成立，假设，当时， ①若，则，且，所以，即； ②若，则，又因为，且，则 ，可得；所以，若，当时，均有，即恒不成立，综上所述：的最大值为. 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $