精品解析：北京市第十三中学2026～2027学年第一学期高三数学期中测试

北京市第十三中学2026～2027学年第一学期 高三数学期中测试 2026.11 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页；第II卷第2页至第6页，答题纸第1页至第8页．共150分，考试时间120分钟．请在答题纸上侧密封线内书写班级、姓名、准考证号．考试结束后，将本试卷的答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题　共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，易求. 【详解】， 所以. 故选：A. 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设公比为，因为，所以. . 3. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由已知得，. 4. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为，则点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的定义，将抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程求出点的坐标，进而得出点到原点的距离． 【详解】抛物线的准线为， 由题意，设，，，， 则点P到原点的距离为， 故选：D 5. 直线与圆交于，两点，若圆上存在点，使得为等腰三角形，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的中点为，连接、、，即可求出，分析可知为等边三角形，即可得到点在的中垂线与圆的交点（上方），从而求出点坐标. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 设的中点为，连接、、，则，且， 则，所以，则，即， 若在圆上的点使得为等腰三角形， 若（也类似），连接，则， 此时，则，所以为等边三角形， 若也可得到为等边三角形，所以点在的中垂线与圆的交点（上方）， 由，解得或，所以可以是. 故选：D 6. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为，高为.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合圆柱体积公式求出四片瓦的体积，再求需准备的粘土量. 【详解】由条件可得四片瓦的体积（） 所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为（）， 又， 所以共需粘土的体积为约为， 故选：B. 7. 已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出、的解析式，再根据正弦函数的性质求出使是偶函数且是奇函数时的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，则， ， 若是奇函数，则，解得， 若是偶函数，则，解得， 所以若是偶函数且是奇函数，则， 所以由推得出是偶函数，且是奇函数，故充分性成立； 由是偶函数，且是奇函数推不出，故必要性不成立， 所以“”是“是偶函数，且是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A 8. 已知圆心为C的圆与双曲线E：（）交于A，B两点，且，则双曲线E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，得到，代入双曲线方程，再求出渐近线方程即可. 【详解】由题意可得的圆心，半径， 显然适合和， 即为圆与双曲线E：的一个交点， 且为双曲线的左顶点，则轴； 因为，所以， 所以，解得或（舍），所以， 代入双曲线方程可得， 双曲线E的渐近线方程为， 故选：A. 9. 已知向量满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把平移到共起点以的起点为原点，所在的直线为轴，的方向为轴的正方向，求出的坐标，则根据得的终点得轨迹，根据 的意义求解最大值. 【详解】把平移到共起点，以的起点为原点，所在的直线为轴，的方向为轴的正方向，见下图，设，则 又则点的轨迹为以为直径的圆，又因为所以故以为直径的圆为，所以的最大值就是以为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为 故选：C 10. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得 构造函数， 讨论函数性质，可得，可得,构造函数,求导，求值域可得. 【详解】因为函数 的零点为 ，所以 ． 因为函数 的零点为 ，所以 ， 则 ，即 ， 可得 ． 令 ，则 ，可得 在 上单调递增． 所以 ，则 ，即 . 可得 . 由已知得 ，则 (关于自变量的函数,根据简单的复合函数单调性可知该函数单调递增)． 又 . 则 ，解得 ． 令 ，则 . 令 ,则 ;令,则. 可得在上单调递增,在上单调递减， 则的最大值为,,即. 【点睛】本题考查了学生指对同构的思想，利用指对同构找到，的关系，化多元为单变量，构造新函数解决问题. 第Ⅱ卷（非选择题　共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【详解】由 ，得 . 因为 ，所以 . 12. 已知双曲线C：的焦距为，则______；渐近线方程为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】因为方程，即，是双曲线的方程， 所以其标准方程为，所以， 已知焦距为，即，解得， 所以，即，解得. 所以双曲线的标准方程为， 令，可得渐近线方程为. 13. 灯彩承载着人们祈福迎祥的美好愿望，是我国传统民俗文化的重要组成部分．元宵节前，某校开展“巧手制灯彩，薪火传非遗”主题活动，同学们将传统灯彩工艺与几何造型相结合，用竹条搭建骨架、彩纸装饰灯面．如图，该花灯的主体骨架可抽象为三棱锥，其中两个灯面与均为边长为2的等边三角形，且所在平面互相垂直．制作时，需要沿安装一根竹条，不计连接处的损耗，则这根竹条的长度为______． 【答案】 【解析】 【详解】如图，取的中点，连接， 因为与均为边长为2的等边三角形， 所以，且， 所以即二面角的平面角， 又与所在平面互相垂直， 所以，即为等腰直角三角形， 所以斜边. 14. 设函数，当时，的最大值为______；若无最大值，则实数的一个取值为______. 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】当时，，分别求解两部分函数最大值，然后求出函数的最大值；按照和分类讨论，利用单调性分析最值位置，按照题意列不等式求解即可. 【详解】当时，， 当时，，有，从而， 即当时，有最大值1； 当时，，即当时，有最大值4； 综上，当时，有最大值4； 当时，函数在上单调递增，则存在最大值为； 当时，函数在先单调递减，再单调递增， 若函数无最大值，则，解得， 当时，函数在单调递减， 若函数无最大值，则，解得， 综上，当无最大值时，，故实数的一个取值为（答案不唯一）. 故答案为：；（答案不唯一） 15. 已知正方体的棱长为，是正方体表面上一动点，且，记点形成的轨迹为，给出下列四个命题： ①、，；②、，； ③的长度是；④的长度是. 其中真命题的个数是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】确定是正方体的棱的中垂面与四个侧面的交线，它是一个边长为的正方形，判定①③正确；空间问题平面化，建立坐标系求出轨迹的轨迹方程，判断④正确，②错误. 【详解】对于①③，，分别取棱、、、的中点、、、， 连接、、、，如下图所示： 在正方体中，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 又因为，故四边形为矩形，所以，且， 同理可知，， 所以四边形、、都为矩形，则， 所以，， ，， 因为，、平面，所以平面， 因为，当点不与点重合时，由于为的中点，所以， 若平面，则平面，此时， 故满足的点在平面上，同理可知平面， 所以平面，故，且曲线的长度为平行四边形的周长， 故①③正确； 对于②④，，它与其它三个面无公共点.将正方体两侧面和沿展开为平面图， 建立平面直角坐标系如图， 设动点，因为， 所以，化简得， 故动点P在两侧面内轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧， 因为，所以，所以， 所以在两侧面内点轨迹长度为. 在上底面内，动点轨迹为以为圆心的一段圆弧，    如上图，由，可知，故， 又，所以， 即圆弧所在圆的半径为，所以圆弧的长为， 所以动点形成的轨迹的长度为， 且不存在这样的点、，使，故②错误，④正确. 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点． （1）求证：//平面； （2）当 时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取中点为，连接，如下所示： 在△中，因为分别为的中点，故//； 又，故//，则四边形为平行四边形，//； 又面面，故//面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点为，证明//，即可由线线平行证明线面平行； （2）过作平面的垂线，结合几何特点求得，再求线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作延长线的垂线，垂足为，连接，如下所示： 由（1）可知，//，故平面也即平面； 因为//，则； 又面面，故； 又面，故面； 又面，则，又； 面，故面， 则即为与平面的夹角； 在△中，因为，则，； 在△中，因为，，则； 又，，即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知不是直角三角形，且角A为锐角，，． （1）求角A； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得有两个，求这两个中边的中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式展开，化简，再利用正弦定理即可求出角A； （2）由条件①可知角C不固定，可以是一个锐角或是一个钝角，符合题意，利用正弦定理可求出，则和条件③一致，可知条件③也符合题意，利用同角三角函数基本关系式可求出的正负两个值，利用两角差的正弦公式求出，根据正弦定理求出 b的两个值，利用向量分别求出中线的两个值；由条件②可知角B固定，则角C固定，三角形唯一，不符合题意； 【小问1详解】 ， 因为，则，. 【小问2详解】 若选择条件条件②，,角B为钝角唯一固定，则角C固定，三角形唯一，不符合题意； 由条件①，可知，结论和条件③相同， 可知角C有两个，一个锐角和一个钝角，所以条件①和条件③皆符合题意. 由可得， 当时， ， ，. 当时， ， . ， ， 当时，即时 ，. 当时，即当时 ，. 18. 某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV）和插混电动版（PHEV），为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体（收入<20万元/年） 中收入群体（收入20万元万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立的，用频率估计概率． （1）在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV）的概率； （2）从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记为3人中愿意购买纯电动（EV）汽车的人数，求的分布列和数学期望； （3）若该市社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动（EV）汽车的概率设为，试比较和的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）的分布列为： 0 1 2 3 期望. （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，利用古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）先求得全市中收入群体和高收入群体，购买纯电动版的概率，再得到的可能取值，进而求得分布列和期望； （3）从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动（）汽车的概率设为，利用全概率公式，求得的值，进而得到答案. 【小问1详解】 由表格中的数据，可得在200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人， 可得其频率为，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人， 估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率为. 【小问2详解】 用频率估计概率，从全市中收入群体中对抽取1人， 愿意购买纯电动版的概率为， 从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买纯电动版的概率为， 从该市潜在消费者的中收入群体中堆积抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人， 即随机变量为3人中愿意购买纯电动（）汽车的人数， 则的可能取值为， 则， ， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 则随机变量的期望为. 【小问3详解】 从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动（）汽车的概率设为， 低收入者愿意购买纯电动（）的概率为， 中收入者愿意购买纯电动（）的概率为， 高收入者愿意购买纯电动（）的概率为， 利用全概率公式，可得， 所以. 19. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线，分别与直线交于点，．设为原点，求证：． 【答案】（1）； （2）由（1）得，因为直线与直线相交，所以不与轴垂直， 设直线方程为， 若，则为轴，此时恰为椭圆的两个顶点，不符合题意，故， 设， 联立方程，消去得， ， 所以， 直线方程为，令，得，即， 所以直线的方程为， 由，则直线方程为， ，解得，即， 同理，直线与交点的横坐标为， 所以 ， 即， 又都在直线上，故，即关于原点对称， 所以. 【解析】 【分析】（1）结合题意，列出方程组计算即可得； （2）设直线方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，借助两点坐标可表示出，计算可得，则可得关于原点对称，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 20. 已知函数定义域为，.曲线在处的切线为. （1）设，求的最小值； （2）证明：曲线与直线有且仅有一个公共点； （3）设，记直线与曲线、直线交于点，，直线与曲线、直线交于点，.比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）1 （2）证明：依题意，，则曲线在处的切线方程为， 设，则， 当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上也单调递增，且， 则当时，，当时，， 故函数在上有且仅有1个零点为0， 因此曲线与直线有且仅有一个公共点； （3），理由如下： 根据题意，可得，则， 又因，则， 因，，设， 则，则函数在上单调递减， 故，即，故. 【解析】 【分析】（1）利用求导判断函数的单调性即得其最小值； （2）先求出切线方程，构造函数，通过求导判断其单调性，推得函数在上有且仅有1个零点为0，即可得证； （3）先推得，，构造函数，利用求导判断其单调性，可得，即可比较与的大小. 【小问1详解】 ，， 则，设，则， 因，则，即函数在上单调递增，又因， 故当时，，即，则函数在上单调递减； 当时，，即，则函数在上单调递增. 故当时，取得最小值； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ，理由略. 21. 若有穷数列满足：，则称此数列具有性质. （1）若数列具有性质，求的值； （2）设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列； （3）把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在. 【答案】（1）2；2；4 （2）证明如下： 数列A具有性质，且为奇数，令， 可得， 设， 由于当时，存在正整数，使得， 所以这项均为数列A中的项， 且， 因此一定有 即， 这说明：为公差为的等差数列，再数列A具有性质， 以及可得，数列A为等差数列； （3） 【解析】 【分析】（1）由数列具有性质的定义可得； （2）由数列具有性质的定义和等差数列的定义可得. （3）分、和三种情况讨论即得. 【小问1详解】 由已知可得数列共有5项，所以， 当时，有， 当时，有，所以， 当时，有，所以， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时， 设A：，，， ，， 由于数列具有性质，且满足， 由和，得， 当时，不妨设，此时：，，此时结论成立， 当时，同理可证，所以结论成立. 当时，不妨设，反例如下： 当时，不妨设，反例如下： 综上所述，符合题意. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十三中学2026～2027学年第一学期 高三数学期中测试 2026.11 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页；第II卷第2页至第6页，答题纸第1页至第8页．共150分，考试时间120分钟．请在答题纸上侧密封线内书写班级、姓名、准考证号．考试结束后，将本试卷的答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题　共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为，则点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 直线与圆交于，两点，若圆上存在点，使得为等腰三角形，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 6. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为，高为.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知圆心为C的圆与双曲线E：（）交于A，B两点，且，则双曲线E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知向量满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题　共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. ______． 12. 已知双曲线C：的焦距为，则______；渐近线方程为______． 13. 灯彩承载着人们祈福迎祥的美好愿望，是我国传统民俗文化的重要组成部分．元宵节前，某校开展“巧手制灯彩，薪火传非遗”主题活动，同学们将传统灯彩工艺与几何造型相结合，用竹条搭建骨架、彩纸装饰灯面．如图，该花灯的主体骨架可抽象为三棱锥，其中两个灯面与均为边长为2的等边三角形，且所在平面互相垂直．制作时，需要沿安装一根竹条，不计连接处的损耗，则这根竹条的长度为______． 14. 设函数，当时，的最大值为______；若无最大值，则实数的一个取值为______. 15. 已知正方体的棱长为，是正方体表面上一动点，且，记点形成的轨迹为，给出下列四个命题： ①、，；②、，； ③的长度是；④的长度是. 其中真命题的个数是______． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点． （1）求证：//平面； （2）当 时，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知不是直角三角形，且角A为锐角，，． （1）求角A； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得有两个，求这两个中边的中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV）和插混电动版（PHEV），为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体（收入<20万元/年） 中收入群体（收入20万元万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立的，用频率估计概率． （1）在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV）的概率； （2）从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记为3人中愿意购买纯电动（EV）汽车的人数，求的分布列和数学期望； （3）若该市社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动（EV）汽车的概率设为，试比较和的大小．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线，分别与直线交于点，．设为原点，求证：． 20. 已知函数定义域为，.曲线在处的切线为. （1）设，求的最小值； （2）证明：曲线与直线有且仅有一个公共点； （3）设，记直线与曲线、直线交于点，，直线与曲线、直线交于点，.比较与的大小关系，并说明理由. 21. 若有穷数列满足：，则称此数列具有性质. （1）若数列具有性质，求的值； （2）设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列； （3）把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $