精品解析：福建省龙岩初级中学教育组团2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

龙岩初级中学教育组团 2025-2026学年第一学期期中质量检测 八年级数学试卷 （满分：150分考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项） 1. 甲骨文是我国古代的一种文字，反映了我国悠久的历史文化，下列甲骨文中，可看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的为（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 7，8，14 D. 2，4，2 3. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常钉上两条斜拉的木条(即图中的两根木条)，这样做根据的数学知识是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，平分，过点D作，若，，则长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（    ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C D. 9. 如图，在中，是高，是角平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为___________． 12. 如图，在中，，，若，则___________． 13. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是____________命题．（填“真”或“假”） 14. 如图，在中，若，点是和角平分线的交点，则___________． 15. 一副三角尺如图放置，为中点，边、分别与边、分别交于点、，若，则阴影部分面积为___________． 16. 在中，，，，，点P、M、N分别是边、、上的动点，当周长最小时，的值为______（用a，b的式子表示） 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 如图，，求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴的对称图形； （2）点的坐标为___________，的面积为___________． 19. 如图，已知点、、、同一直线上，且，，，与相交于点．求证： 20. 已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，AE平分∠DAB．求证：BE平分∠ABC． 21. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，点为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连结DE． （1）当∠BAD＝60°，求∠CDE的度数； （2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，求证：∠BAD＝2∠CDE． 23. 阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？ 问题探究 探究1 （1）如图2，是中线，可以得到它们面积的大小关系为：___________(填、或)； （2）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点为的重心，则___________． （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长，分别交，于点，．若，，，则的面积为___________． 探究2 小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图5，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形与图形拼成一个图形(无缝隙、不重叠)，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心所连的直线上； （4）如图6，请画出该图形重心所在的直线． 24. 数学课上，老师出示了如下框中的题目： 在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且， 如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：________（填“＞”，“＜”或“=”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是：________（填“＞”，“＜”或“=”）理由如下： 如图2，过点作，交于点，（请你继续完成解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点在直线上上，点在直线上，且．若的边长为3，，求的长（请你直接写出结果）． 25. 类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：　 　 ； （2）如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）． （3）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩初级中学教育组团 2025-2026学年第一学期期中质量检测 八年级数学试卷 （满分：150分考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项） 1. 甲骨文是我国古代的一种文字，反映了我国悠久的历史文化，下列甲骨文中，可看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．根据轴对称图形的概念分别判断得出答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的为（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 7，8，14 D. 2，4，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之差小于第三边，两边之和大于第三边求解即可； 【详解】解：、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 、由于，所以能构成三角形，故本选项符合题意； 、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数． 【详解】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为， ∴． 故选：D． 4. 如图，工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常钉上两条斜拉木条(即图中的两根木条)，这样做根据的数学知识是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】钉上两条斜拉的木条后，形成了两个三角形，故这种做法的根据是三角形的稳定性． 【详解】解：这样做根据的数学知识是：三角形的稳定性． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据即可解答． 【详解】解：由图可以看出这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边， 因此符合． 故选：D． 6. 如图，在中，，平分，过点D作，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 7. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，等腰三角形中两个底角相等，此题中一个角是，有可能是顶角，也有可能是底角，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：当为顶角时，底角度数即为， 当为底角时，底角的度数， 综上所述，它的底角是或， 故选：C． 8. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图−基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可． 【详解】解：A、选项作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故本选项不符合题意； B、选项作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，能确定，不能确定，故本选项不符合题意； C、选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故本选项不符合题意； D、选项作图痕迹可知，D在的平分线上，故本选项符合题意； 故选：D． 9. 如图，在中，是高，是角平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据三角形内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、直角三角形的性质可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高，是角平分线， ∴，， ∴． 故选：D 10. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】通过角平分线性质、全等三角形判定与性质、等腰三角形性质等知识本题需逐一分析四个结论，判断即可得解． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴ 又∵，， ∴，故①正确． ∵， ∴ 由，得， 又∵， ∴，故②正确． ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故③正确． ④过作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故④正确． 综上，①②③④正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（、等）及角平分线的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称点的坐标性质，熟练掌握关于轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数是解题的关键． 利用关于x轴对称点的坐标性质来求解，即明确横坐标和纵坐标的变化规律． 【详解】解：点，关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半这一性质，熟练掌握该性质是解题的关键． 利用直角三角形中角所对的直角边与斜边的关系来求解斜边的长度． 【详解】解：在中，，，， ∴ ， 故答案为：． 13. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是____________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假． 【详解】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题． 故答案为：真． 14. 如图，在中，若，点是和角平分线的交点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和为和角平分线的定义是解题的关键． 先利用三角形内角和求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，最后再次利用三角形内角和求出的度数． 【详解】解：在中，，三角形内角和为， ， 点是和角平分线的交点， ，， ， 在中，三角形内角和为， ， 故答案为：． 15. 一副三角尺如图放置，为中点，边、分别与边、分别交于点、，若，则阴影部分面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半以及全等三角形的判定是解题的关键． 连接，利用直角三角形中线性质、三角尺角度关系，证明三角形全等，进而通过面积转化求出阴影部分面积． 【详解】解：连接， ∵为中点，是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴（）， 同理可证， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， 故答案为： 16. 在中，，，，，点P、M、N分别是边、、上的动点，当周长最小时，的值为______（用a，b的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，作点B关于的对称点，E、F，连接，则由轴对称的性质可得，再由得到当M、N、E、F四点共线时， 周长最小，最小值为的长，由勾股定理得，则当时，周长最小，求出此时，则可求出的长，进而求出的长． 【详解】解；如图所示，作点B关于的对称点，E、F，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴； ∵， ∴当M、N、E、F四点共线时，有最小值，则此时有最小值，即此时周长最小，最小值为的长， 中，由勾股定理得， ∴当最小时，周长最小， ∴当时，周长最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 如图，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“”判定三角形全等及全等三角形对应角相等是解题的关键． 利用判定三角形全等，再由全等三角形的对应角相等得出结论． 【详解】证明：∵，，， ∴（）， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴的对称图形； （2）点的坐标为___________，的面积为___________． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征以及三角形面积的计算，熟练掌握关于轴对称的点的坐标规律和三角形面积公式是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数，分别找出、、三点关于轴的对称点、、，再顺次连接这三个点即可得到对称图形． （2）求的坐标，利用关于轴对称的点的坐标特征求解；求的面积，可根据三角形面积公式（其中为底，为高），以为底，求出的长度和边上的高，进而计算面积． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵点关于轴的对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴． ∵的长度为，边上的高为点到直线的垂直距离，即， ∴． 19. 如图，已知点、、、在同一直线上，且，，，与相交于点．求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定（），熟练掌握判定定理是解题的关键． 通过已知条件推导出，再结合、，利用直角三角形全等的判定定理证明，从而得出． 【详解】解：， ， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 20. 已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，AE平分∠DAB．求证：BE平分∠ABC． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】根据题意，先过E点作EF⊥AB于点F，然后根据角平分线的性质及判定定理进行解答即可. 【详解】过E点作EF⊥AB于点F， ∵∠D＝∠AFE＝90°，AE平分∠DAB ∴DE=EF ∵E是CD的中点 ∴DE＝EC ∴EF＝EC ∵EF⊥AB，∠C＝90° ∴BE平分∠ABC． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的辅助线画法，以及角平分线的性质及判定的证明，熟练掌握有关角平分线的性质及判定的证明方法是解决本题的关键，这类题目是考试的重点，要理解性掌握. 21. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，点为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定、等腰三角形的性质以及三角形外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，利用垂直平分线的性质得到，再根据线段垂直平分线的判定（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）结合、是中点，得到，进而证明； （2）由（1）中得到，再结合三角形外角性质和的等腰三角形性质求出的度数． 【小问1详解】 证明：连接， 是的垂直平分线， ， ，是的中点， 是的垂直平分线 ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， 22. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连结DE． （1）当∠BAD＝60°，求∠CDE的度数； （2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，求证：∠BAD＝2∠CDE． 【答案】（1）∠CDE＝30°；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC＝90°，根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质计算，得到答案； （2）设∠CDE＝x，根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理用x表示出∠BAD，证明结论． 【详解】（1）∵∠B＝∠C＝45°， ∴∠BAC＝90°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°， ∴∠ADE＝∠AED＝＝75°， ∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝30°； （2）设∠CDE＝x， 则∠AED＝∠CDE+∠C＝x+45°， ∴∠DAC＝180°﹣2∠AED＝90°﹣2x， ∴∠BAD＝90°﹣∠DAC＝2x， ∴∠BAD＝2∠CDE． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 23. 阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？ 问题探究 探究1 （1）如图2，是的中线，可以得到它们面积的大小关系为：___________(填、或)； （2）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点为的重心，则___________． （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长，分别交，于点，．若，，，则的面积为___________． 探究2 小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图5，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形与图形拼成一个图形(无缝隙、不重叠)，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心所连的直线上； （4）如图6，请画出该图形重心所在的直线． 【答案】（1）；（2）2；（3）；（4）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，据此判断与的关系． （2）利用三角形重心的性质，即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，来求解． （3）先根据重心性质得出线段比例关系，再结合垂直条件求出相关三角形面积，进而推导出的面积． （4）将图6的图形拆分为两个基本图形（三角形和长方形），分别确定它们的重心，连接重心的直线即为该图形重心所在直线． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 又∵和同高， ∴， 故答案为：． （2）∵点为的重心， ∴， ∴，，，， ∴即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：2． （3）连接并延长交于点． ∵点是的重心， ∴由（2）得，， ∵，， ∴，；，． ∵， ∴．，，， ∵点是重心， ∴由（2）得， ∴． ∴， 故答案为：． （4）如图所示，直线即为所求． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质、三角形中线与面积的关系、图形的拆分与重心确定，熟练掌握三角形重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为以及等底同高三角形面积相等是解题的关键． 24. 数学课上，老师出示了如下框中题目： 在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且， 如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：________（填“＞”，“＜”或“=”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是：________（填“＞”，“＜”或“=”）理由如下： 如图2，过点作，交于点，（请你继续完成解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点在直线上上，点在直线上，且．若的边长为3，，求的长（请你直接写出结果）． 【答案】（1）= （2）=，解答过程见解析 （3）8或2 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形三线合一可得∠ECB=30°，根据等边对等角可得∠D=∠ECB=30°，结合三角形的外角和定理，即可证明AE=DB； （2）用“AAS”证明即可得出结论； （3）根据（2）的思想，用一样的方法证明即可求出BD=AE，结合图形分情况讨论即可． 【小问1详解】 ∵△ABC为等边三角形，点为的中点， ∴∠ABC=∠ACB=60°，CE平分∠ACB， ∴∠ECB=30°， ∵ ∴∠D=∠ECB=30°， ∴∠DEB=60°-30°=30°， ∴DB=BE， ∵AE=BE， ∴AE=DB； 故答案为：= 【小问2详解】 理由如下： 如图2，过作交于， ∵是等边三角形， ，， ，， 即， 是等边三角形， ， ∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF ， ，， ， ， ， 在和中， ，，BE=CF ， ， 即， 【小问3详解】 ①如图： 当点E在直线BC下方时，以点E为圆心，EC长为半径画弧，交直线BC于点D， 过点E，作，延长AC于EF交于点F， ∵， ∴∠AFE=∠ACB=60°，∠BCE=∠CEF， ∵∠A=60°，∠∠AFE=60°， ∴△AEF为等边三角形， ∵DE=CE ∴∠BDE=∠BCE ∴∠BDE=∠CEF ∵∠ABC=60°， ∴∠DBE=60°， 在△BDE和△EFC中 ∠BDE=∠CEF， ∠DBE=∠AFE，DE=CE ∴△BDE≌△EFC， ∴BD=EF， ∵EF=AE=5， ∴BD=5， ∴CD=5+3=8； ②如图： 当点E在直线BC上方时，以点E为圆心，EC长为半径画弧，交直线BC于点D， 过点E作，延长CA，交EF于点F， ∵， ∴∠EFC=∠ACB，∠FEC=∠ECD ∵∠ACB=∠B， ∴∠EFC=∠B=60°， ∵∠FAE=∠BAC=60°， ∴△AEF为等边三角形， ∴EF=AE=5， ∵DE=CE， ∴∠ECD=∠EDC， ∴∠FEC=∠EDC， 在△BDE和△EFC中 ∠BDE=∠CEF， ∠DBE=∠AFE，DE=CE ∴△BDE≌△EFC， ∴BD=EF=5， ∴CD=BD-BC=5-3=2， 综上：CD=8或2． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定于性质，结合题意做出相应的图形和辅助线是解题的关键． 25. 类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：　 　 ； （2）如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）． （3）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）①见详解②． 【解析】 【分析】（1）证，得，，利用线段的和差即可得解； （2）证明，得，，从而即可得解； （3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，从而即可得证； ②由，得当时，最小，如图，过点作于点，利用等角对等边证，从而即可得解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ①证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴为定直线， ∴当时，最小， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形的内角和定理，垂线短最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $