精品解析：江苏省南通市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度第一学期期中学业质量监测试卷九年级数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 2. ⊙的半径为3，点到圆心的距离为5，点与⊙的位置关系是（　　） A. 无法确定 B. 点在⊙上 C. 点在⊙外 D. 点在⊙内 3. 将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象经过点 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 5. 已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接和，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 1 2 … y … c 0 m … 给出下面三个结论： ①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 如图，是⊙的直径，点在⊙上，，垂足为，，点是⊙上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为6，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 点在反比例函数的图像上，则的值是_______． 12. 如图，是的半径，是的弦，且于点D．若，则弦的长是_____________． 13. 已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是_____． 14. 二次函数的图象总是在轴的上方，则的取值范围为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，为轴上一点，若的面积为1，则______． 16. 二次函数的图象过点，，，其中，为常数，则的值为_______；的最大值为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字） 17. 如图是的网格，网格边长为，的顶点在格点上，其外接圆如图所示． （1）仅用无刻度的直尺在给定的网格中画出外接圆的圆心（保留作图痕迹）； （2）求劣弧的长． 18. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及抛物线顶点的坐标； （2）根据图象，请直接写出当抛物线对应函数值大于0时自变量的取值范围． 19. 政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ （2）若这个运输公司每天可运送土石方，公司完成全部运输任务需要多长时间？ 20. 求证：圆内接平行四边形是矩形． 下面已经画出了图形，并写出了已知和求证，请将该命题的证明过程补充完整． 已知：如图，内接于． 求证：是矩形． 证明： 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为_________． 22. 如图，是的直径，点在上，为外一点，且，． （1）求证：直线为的切线； （2）若，求的半径． 23. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 24. （1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 如图1，在中，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到=___________°． （2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数． （3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值． （4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与，重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，则的取值范围为___________． 25. 已知抛物线经过点 （1）求该抛物线的对称轴； （2）若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围； （3）点和分别在抛物线和上（，都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中学业质量监测试卷九年级数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 2. ⊙的半径为3，点到圆心的距离为5，点与⊙的位置关系是（　　） A. 无法确定 B. 点在⊙上 C. 点在⊙外 D. 点在⊙内 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在上；当时，点P在内；当时，点P在外．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵ ∴ 点P在外； 故选：C 3. 将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的表达式是． 故选：D． 4. 若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象经过点 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式的方法是解题的关键．先代入求出的值，再根据反比例函数的性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：代入得，， 反比例函数为， A、，故此选项说法不正确，不符合题意； B、因为，所以函数图象经过点，故此选项说法正确，符合题意； C、当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，不符合题意； D、当时，，故此选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上，在对称轴右侧函数递增；由题意，需要二次项系数，解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴，且当时，随增大而增大， ∴函数图像开口向上， ∴二次项系数， 故选：A． 6. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设反比例函数解析式为，将代入，求得，当时，，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入 得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴根据函数图象可得：当时，， 故选：D． 7. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接和，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，先根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，然后根据平角的定义即可得． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ∴ 故选：C． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由反比例函数解析式得反比例函数图象分布在一、三象限，在每个象限内，的值随着的增大而减小，当时，当时，据此解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，在每个象限内，的值随着的增大而减小，当时，当时， ∵点，，都在反比例函数的图象上 ∴，， ∴， 即， 故选：． 9. 二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 1 2 … y … c 0 m … 给出下面三个结论： ①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴二次函数图象与y轴正半轴相交， ∵当时，；当时，， ∴二次函数的对称轴为， ∵二次函数图象过点， ∴函数的大致图象为： ∴二次函数图象开口向下， ∴， 故结论①错误，不符合题意； ∵二次函数图象过点，开口向下， ∴当时，， ∴， 故结论②正确，符合题意； ∵二次函数的对称轴为，函数图象过点， ∴二次函数过x轴的另一个交点为， ∴的两个根分别为， 故结论③正确，符合题意， ∴正确的结论为②③， 故选：C． 10. 如图，是⊙的直径，点在⊙上，，垂足为，，点是⊙上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为6，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，三角形中位线定理等知识，连接，取的中点，连接和，设的半径为，根据点的运动轨迹，确定点的运动轨迹，确定当点三点共线时，有最大值，此时，得到，根据直角三角形的性质求得，得到，求出即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接和，设的半径为， 点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ， 点是上的动点（不与重合），点为顶点， 点的运动轨迹是以点圆心，以的长为半径的圆上，则， 当点三点共线时，有最大值，此时， ， ， ， 点为的中点， ， ， 解得：， ， 在中，， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 点在反比例函数的图像上，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，将点代入反比例函数解析式，求解m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴代入解析式得：． 故答案为：． 12. 如图，是的半径，是的弦，且于点D．若，则弦的长是_____________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 由垂径定理可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据即可求出弦的长． 【详解】解：∵是半径，是的弦，且于点， ， 在中，根据勾股定理可得：， ， 故答案为：16． 13. 已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，解题思路是先明确圆锥侧面积的计算公式，再将题目中给定的底面半径和母线长代入公式进行计算． 根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长． 已知，， 则． 故答案为：． 14. 二次函数的图象总是在轴的上方，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象始终在x轴上方，需满足开口向上且判别式小于零，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象总是在轴的上方， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，为轴上一点，若的面积为1，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据图形面积求比例系数（解析式），切线的性质定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用切线的性质说明轴，从而可得出轴，根据的面积为1，得出，进而求得． 【详解】解：∵与轴相切于点， ∴轴， ∴轴， ∵的面积为1， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设，则，， ∴ ∴，解得：， 故答案为：4． 16. 二次函数的图象过点，，，其中，为常数，则的值为_______；的最大值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用点和点的纵坐标相同，得出对称轴为直线，从而求出；再代入点和点的坐标，表示出和关于的表达式，进而得到的表达式，根据求最大值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将，代入二次函数的解析式可得：，， ∴，， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的值随着的增大而减小， ∴当时，的值最大为， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字） 17. 如图是的网格，网格边长为，的顶点在格点上，其外接圆如图所示． （1）仅用无刻度的直尺在给定的网格中画出外接圆的圆心（保留作图痕迹）； （2）求劣弧的长． 【答案】（1）如图， （2）． 【解析】 【分析】（1）结合三角形的外接圆与外心的性质，分别作，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． （2）由图可得，由勾股定理可得，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：分别作、的垂直平分线、，相交于点，则点即为所求． 证明：∵，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴直线垂直平分， ∴， 同理可证垂直平分， ∴， ∴，即点是的外接圆的圆心； 【小问2详解】 解：由勾股定理得，，，， ∴， ∴， ∴劣弧的长为． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的判定及性质、勾股定理、三角形的外接圆与外心、弧长的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及抛物线顶点的坐标； （2）根据图象，请直接写出当抛物线对应函数值大于0时自变量的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解与函数图象的应用，熟练掌握二次函数的交点式、顶点式以及利用函数图象确定函数值正负对应的自变量范围是解题的关键． （1）已知抛物线与轴的两个交点，设交点式解析式，代入轴交点坐标求出参数，进而将解析式化为顶点式求顶点坐标． （2）观察抛物线图象在轴上方部分对应的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，， 设抛物线解析式为， 抛物线与轴交于E， ， 解得， 抛物线解析式为，展开得， 化为顶点式：， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线与轴交于，，观察图象可知，抛物线在轴上方时，对应的取值范围是， 当抛物线对应函数值大于时自变量的取值范围是． 19. 政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ （2）若这个运输公司每天可运送土石方，公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】（1） （2）公司完成全部运输任务需要9天 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意并列出函数解析式是解决本题的关键． （1）根据题意即可列函数解析式； （2）根据“这个运输公司每天可运送土石方”进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵这个运输公司每天可运送土石方， ∴ 解得， 答：公司完成全部运输任务需要9天． 20. 求证：圆内接平行四边形是矩形． 下面已经画出了图形，并写出了已知和求证，请将该命题的证明过程补充完整． 已知：如图，内接于． 求证：是矩形． 证明： 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，由平行四边形的性质得到，由四边形内接于，得到，再得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】略 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为_________． 【答案】（1）为，； （2）或。 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数图象上点的坐标特征、联立函数解析式解方程组以及利用函数图象解不等式的方法是解题的关键． （1）先将点横坐标代入一次函数求，得点坐标后代入反比例函数求，再联立两个函数解析式解方程组求点坐标． （2）观察图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【小问1详解】 解：点在上， ， ， 在上， ， ， 反比例函数表达式为， 联立得， 两边同乘得， ， 或， 当时，， ； 【小问2详解】 解： ，， 观察图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 不等式的解集为或． 22. 如图，是的直径，点在上，为外一点，且，． （1）求证：直线为的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线为的切线； （2）的半径是． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得，结合题意推出，从而由平行线的判定得到，进而利用平行线的性质进行证明即可； （2）连接，在中根据勾股定理求得，根据直角三角形边之间的关系推出，从而根据平行线的性质推出，得出是等边三角形，进而求得的半径； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径是． 23. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）当时，有最大值 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）将与的函数配成顶点式，先求出的取值范围，再根据二次函数的性质求出的最大值． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∵，对称轴为直线， 当时，有最大值． 24. （1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 如图1，在中，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到=___________°． （2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数． （3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值． （4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与，重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，则的取值范围为___________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）通过线段，确定以为圆心、为半径作辅助圆，利用圆心角与圆周角的关系求解即可． （2）由，构造以为圆心的辅助圆，结合圆周角定理和角的倍数关系求解即可． （3）利用对称性质确定点的轨迹是圆，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值公式（）求解即可． （4）由翻折性质确定点的轨迹是圆，结合平行四边形性质、勾股定理和三角形三边关系求解取值范围即可． 【详解】（1）解：以点为圆心，为半径作， ， 点、、在上， （圆心角）， ， 故答案为：； （2）解：以为圆心，为半径作， ， 点、、在上， ，， ， ， ， ， ； （3）解：连接、、， 点关于直线的对称点是， ， ，， ，即， 点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，，， ， ∵， 的最小值为； （4）解：连接，过作于， 四边形是平行四边形， ，， 是中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上， ，， ， ∴是等腰直角三角形，，， ， ，， ， 根据三角形三边关系得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的性质（圆周角定理、圆的定义）、轴对称的性质、正方形和平行四边形的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握辅助圆的构造方法是解题的关键． 25. 已知抛物线经过点 （1）求该抛物线的对称轴； （2）若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围； （3）点和分别在抛物线和上（，都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）将代入二次函数的解析式得出，再由二次函数的对称轴公式计算即可得解； （2）当时，，从而可得抛物线的解析式为，进而得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，再结合抛物线的对称性以及题意可得，，求解即可； （3）由题意可得，，结合，得出，由（1）可2，从而得出，整理可得，由题意可得，，从而得出，整理可得，再由是一个与无关的定值，得出，求出的值即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：当时，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵对于该抛物线上的两点，，且当，时，均满足， ∴，， 解得：， 故的取值范围为：； 【小问3详解】 解：∵点和分别在抛物线和上（，都不与原点重合）， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，都不与原点重合， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，因式分解的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $