数学（人教A版）试卷-【1号卷·A10联盟】2025-2026学年高二上学期10月学情诊断

∥号卷·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断 数学（人教A版)试题A 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答 第I卷（选择题共58分） 10.如图，圆雏SO的体积为3π，母线与底面所成角为60°，AB为底面的一条直径，点D是线段S4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 上靠近S的三等分点，点E为AB的中点，则( 题目要求的， A.圆锥S0的侧面积为6π 1.直线1：x+V3y-2=0的倾斜角为() B.SB∥平面ODE A.309 B.60° C.120 D.1509 2.已知平面a的一个法向量为n=(L,-2,3),若直线1川平面a,则直线1的一个方向向量山可以 C直线DE,SB所成角的余弦值为7V22 44 是(） A.(-2.4.-6 B.(0.0.1) C.(0.3.2) D.(1.1.1) D点S到平面ODE的距离为3V7 7 3.“直线1：2x+y+5=0与直线1：x+4y+3=0相互垂直”是“1=-2”的( 11,已知关于x,y的二元一次方程Ax+y+C=0(A+B≠0)表示一条直线，关于x,y的二元 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 次不等式Ax+By+C>0(2+B≠0)或Ar+By+C≤0(A?+B≠0)，则表示-个平面区域， C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 如x+y≥引表示直线x+y=1上的点以及直线x+y=1右上方的点构成的平面区域.基于上述事 4.已知三棱锥S-ABC中，点DE平面ABC,若10SD=7SA+SB+6DC,则1=( A.3 +y8 B.-3 C.2 D.-2 实，记不等式组 y≥+4k+8 所表示的平面区域为D,面积为S,则(） 5.已知空间三点A(0,2,3)、B(-1,1,1)、CL-1.2),则以BA,BC为邻边的平行四边形的面积为( A.若k=-2,则S=64 A56 B.5N2 C.5 D. 5W2 2 B.满足S=16的k的值有两个 6.已知正三棱柱ABC-AB,C的棱长均为6，点M是△ABC的重心，点N是线段CC的中点， “-2 ≤k<0”是“D为三角形”的充分不必要条件 则点B到平面AMN的距离为( D.若D为五边形，则k<-4 492 &95 c.32 3W2 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 4 2 7.已知O为坐标原点，过点(2,7)的直线1分别与x,y轴的正半轴交于M,N两点，则当△MON的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知a=(-3.-1,2),b=(4.3,2),则a在b上的投影向量为 面积取得最小值时，直线/的纵截距为( A.4 B.7 D.14 13.已知△ABC中，A(4,-6),B(6,-2),线段CA.CB的中点分别在x,y轴上，则AB边上的中线所 C.8 在的直线的方程为 .(结果用一般式表示) 8.已知在正方体ABCD-AB,CD中，点AM=元AB(O≤≤)，则直线CM与平面CBD所成角 14.已知四面体ABCD中，∠BCA=∠BAC=∠BDC=∠DBC=45°，AB=4√5，若该四面体 的正切值的最大值为( ABCD的体积为48，则直线AD,BC的夹角为 B.V3 c.v3 D.1 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 2 3 2 15.(13分) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 已知点A(3.5). 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. (1)过点A且与直线1：2x-3y=0相互平行的直线2的方程： 9.已知空间向量a=(2,-1,3),b=(-6,2),c=(L,2,v),其中a∥b,a⊥c,则( (2)求过点A且横截距、纵截距相等的直线，的方程 A.a=14 B.1-4=12 C.v=1 D.(a+bc=-2 】号表，A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（人教A版）试题第1页共4页 号卷，A0联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（人教A版）试脑第2页共4页 16.(15分) 18.(17分) 如图，在三棱柱ABC一AB,C中，点M为线段AB的中点，点N是线段BC上靠近B的四等 已知直线1：(2-√5)x-y=0的倾斜角与直线l2:x+y+元=0的倾斜角之和为60°. 分点 (1)求1的值： (1)若MN=aAB+bAC+cAA,求a,b,c的值： (2)点M(0,)在直线4上运动. (2)若∠ABB=∠CA4=60°，AB=BC=AC=2,BB=4, (i)求MN·BB的值： i)若6∈[3.1，求h+3 的取值范围： x0-2 (i)求MN的大小 (i)点A(-1,2),B(0.3),求当MA+MB取得最小值时直线AM的方程. 17.(15分) 19.(17分) 如图，在棱长为6的正方体ABCD-ABCD中，M是线段BD的中点，N是线段BB上靠 如图，三棱柱ABC-AB,C的所有棱长都相等，M,N分别是线段AC,CC的中点，MC⊥平 近B的三等分点 面ABC (1)求AC与MN所成角的余弦值： (1)证明：平面ABC⊥平面BMN: (2)求点D到直线MN的距离. (2)探究：在线段BC上是香存在一点P,使得平面BMP与平面BMN所成角的正切值为3V5 若存在，求出 CP的值：若不存在，请说明理由。 B 引号表，A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（人教A版）试题第3页共4页 号卷·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（人教A版）试脑第4页共4页 A号卷·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断 数学（人教A版）参考答案A 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 D C 日 A B A D B 1.D易知直线1的斜率k=-5 3,故其倾斜角a=150°.故选D 2.C因为直线l∥平面a,故un=0,观察可知，u=(0,3,2).故选C. 3.B由题意得，22+4=0，解得1=0或-2，故“直线1：2x+y+5=0与直线1：x+4y+3=0 相互垂直”是“九=-2”的必要不充分条件.故选B. 4.A由题意得，10SD=7+SB+63C-6SD,则SD=7S+之SB+6sC,则 16 1616 7+之+6=1，解得2=3.故选A 161616 5.B由题意得，BA=(1,1,2),BC=(2,-2,1),则cos<BA,BC>- BA.BC 2V6 √6.39 ,则 BABC sin BA.BC>=V1-cos<BA,BC>53 则以BA,BC为邻边的平行四边形的面积为 9 .sin<BM,BC6×3×5W5-55.故选B 6.A如图，以线段AC的中点O为原点，取AC的中点为O,以 OC,OB,OO所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 4(-3,0,6,M0,V5,0,N3,0,3),B0,3V5,0,则 4N=(6,0,-3),MN=(3,-5,3,BM=(0,-25,0）.设 n=(x,y,z)为平面AMW的法向量，则 AN.n=6x-3z=0 令x=1,则n=(1,33,2)是平面 M MN.n=3x-/3y+32=0 AMN的一个法向量，则d= n-BM189√2 故选A. 4W24 D设直践1+2，其中a>0,b>0,而名+6=2,27 a h Na b 解得ab>56,当且仅当2=7 a b a=4,b=14时等号成立，故S=。ab>28,此时直线1的纵截距为14.故选D 8.B设正方体的棱长为2，以C为原点，CD,CB,CC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则D(2,0,0),B(0,2,2),C(0,0,0),设M(m,2,2-m)(0≤m≤2)，则 CM=(m,2,2-m),CB=(0,2,2),CD=(2,0,0),设平面CBD的法向量为n=(x,y,z),则 護号卷·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（人教A版）参考答案第1页共6页 A n-C丽=2y+2z=0,令y=,则n=(0,1.-)是平面CBD的-个法向量.设直线CM与平 n.CD=2x=0 n.CM 面CBD所成的角为O,则sin0=cos<n,CM> m 当m=0 V2Vm2+4+(2-m) m 1 时，sin0=0；当me(0,2]时，sin0= =， 设1=2L,+), 2Vm2-2m+4 m 2. 42 +1 m2 m 4-2+1=2-t+1e[l,+∞)，所以 42,0 综上，sin0∈ 0.- 直线CM m2 m 与平面BDA所成角的正切值的最大值为5 故选B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 AB AC ACD 9.ABa=V2+(-P+32=4,故A正确：因为a/b,故6=之=，解得元=3,4=-9， 2-13 所以元-u=12,故B正确；因为a⊥c,故2-2+3v=0,解得v=0,故C错误； a+b=(-4,2,-6),故(a+b)c=(-4,2,6)(1,2,0)=0,故D错误.故选AB 10A0设圆准S0的高为h,由题电传，y-h=和2.5=3汉，则r=5.A=3,放圆锥S0 的侧面积S=l=元×√3×2V3=6元，故A正确；以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐 标系则oaa0.o5o.o-号a2小s0a3.sla.则GE=o o-9a2 S8=（√5,0，-3，设n=(x,y,2)为平面ODE的法向量，则 n.OE=3y=0 n0=- 3x+22=0 令x=25,所以n=（2W5,0,1为平面ODE的-个法向量，则 n-SB=3≠0，故B错误；而DE= -2 3 故直线DE,SB所成角的余弦值为 DE.SB 7 7W22 cos0= DES网 22×25 44 ,故C正确；记点S到 V 平面ODE的距离为d,则OS=(0,0,3),故 0sn3313 d= 故D错误.故选AC n V1313 葡号悬·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（人教A版）参考答案第2页共6页 A 11.ACD由题易知，x+≤8表示的平面区域是以(8,0)，(-8,0)，(0,8)，(0，-8)为顶点的正方形的边界 及其内部，易知该正方形的面积为16X16=128。若K=-2.则+水8 由于直线 y>-2x y=-2x过正方形的中心，其面积S=)×128=64,放A正确；满足S=16的k的值仅有1 个（有种情形天的值不存在，放B错误：若D为三角形，则-？≤k<0或k>2,放C正 3 确；若D为五边形，则临界状态为直线y=c+4k+8过点(0，-8)，此时k=-4,结合图形 可知，k∈（-∞，-4)，故D正确.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 443322 29’29’29 由题意得，ab=-11,b=√29，所以a在b上的投影向量为 bh=-b= 443322 63 29 、292929 13.10x+11y-6= b-6=0 设C(a,b),则 2 a+6=0 得a=-6,b=6,而线段AB的中点坐标为(5，-4)，故AB边上的中线 2 的斜率k=-4-6.10 5+611 故中线所在的直线的方程为y+4=-10( (x-5),即10x+11y-6=0. 11 14.45°或60° 由题意得，BC⊥CD,AB=BC=CD=45,以C为原点，以CD,CB所在直线为x,z轴建立如 图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),D4V5,0,0),B(0,04V5),又AB⊥BC,设Axy,4V3 AB2=x2+y2=48 则 P-××5x4=8·部得x=25.=6.此时 AD=(45-x,-y,-4V3),BC=(00,-4V5),因此AD.BC=48, Bd=45,AD=45-x+y+48=Vi44-8v5x,则 C上 -3w5我4w6,别es8=seC元配 48 或2 所以直线AD,BC的夹角为45°或60°， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分) (1)设直线1，：2x-3y+1=0(2≠0)， …（2分) 将A(3,5)代入得，2×3-3×5+1=0，解得1=9， 故直线1，的方程为2x-3y+9=0. …(6分) (2)若直线l过原点，则设l:y=; 将43,5代人得，k=；、放直线2：y=兮x: 5 …(9分) 3 護号卷·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（人教A版）参考答案第3页共6页 A 若直线不过原点，则设1，：+上=1： aa 将A(3,5)代入得，a=8,故直线l3:x+y-8=0; …（12分) 踪上所述，直线L的方程为yx或x+y-8=0 …（13分) 16.(15分) ()由题童得.瓜=西+8服+8=号西+4+8C 西++号C-西=孤+c+: 故a=b 4 4c=1.…(5分) 1 (2)行面题.丽C=2x2x2.孤4=3x4》4, 4C.4=2x4x4。 …（8分) 照-得孤+}C+瓜4=}丽瓜+号c+ =-1+1+16=16. …（10分) )因肠西-64+衣+丽衣+B+兮c …（12分) =1++16+}-2+2= 67 44 4 4 …（14分) - 67√67 …（15分) 17.(15分) (1)以D为原点，DA,DC,DD为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为A(6,0,6),C(0,6,0),则4C=(-6,6,-6);…(2分) 因为M(3,3,0),N(6,6,4),则MN=(3,3,4): …（4分) 记直线AC,MN所成角为0， AC.MN 故cos0=cos<AC,MN> 24 2W102 …（7分) AC MN 6W3V34 51 (2)因为D(0,0,0),则DM=(3,3,0), …(9分) DM.MN 18 √34 …（11分) D MN B 则点D到直线MN的距离 DM DM.MN 18 12W17 D d=, 18 …(15分) MN 34 17 18.(17分) (1)直线l的斜率=2-√3，倾斜角为a,直线l,的斜率k=-1,倾斜角为a2,则a+a2=60°， 葡号悬·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（人教A版）参考答案第4页共6页 A 则m+a在装=5.得长=1.放=小5分 (2)(i)由（1)可知，直线12：x-y+1=0, %+3 0-2 表示点(x,)与点(2，-3)连线的斜率，作出图形如图所示，…（6分) i记P2,-3),M-3,-2）,N,2),h+3=k. x-2 如；g 2+3-5 …(8分) 1-2 观察可知，kw≤k<kpw,所以么+3 1 七-2 的取值范围为 5,-5 …（10分) (i)作点B(0,3)关于直线l,的对称点B'(m,n), {n-3.1=-1 则m m=2 ，解得 故B'(2,1): m n+3 +1=0 N 22 此时MA+MB=MA+MB≥AB, -5 0 2-11 3x-2, 故直线AM的方程为y-1=- 即x+3y-5=0 …（17分)】 19.(17分) (1)因为△ABC为等边三角形，M为AC中点，所以BM⊥AC, 因为C,M⊥平面ABC,BMC平面ABC,所以BM⊥C,M, 因为AC∩CM=M,所以BM⊥平面AACC.…(2分) 因为ACC平面AACC,所以AC⊥BM. …(3分) 因为四边形AACC为菱形，所以AC⊥AC, 因为M,N分别为AC,CC,中点，所以MN∥AC,所以AC⊥MN. …(4分) 因为BM∩MN=M,所以AC⊥平面BMN,…(5分) 因为ACC平面ABC,故平面ABC⊥平面BMN. …（6分）》 (2)由(1)知，直线MB、MA、MC两两垂直，以M为原点，MB、MA、MC,所在直线为x,y,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2; 5)co-c5) ,4(0,2,5) B(V5,1,V5) 所以MB=(N5,0,0),MC=(0,05),4C=(0,-3,-V5),CB=(V5,1,0).…(8分) 设在棱BC存在点P,使得平面BN与平面BMP夹角的正切值为3Y5,则其余弦值为5V国 5 26 …(9分)》 葡号悬·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（人教A版）参考答案第5页共6页 A 设CP=CB(0≤1)，即CP=2CB=CB=(N32,九，0) 则Mp=MC+CP=(N32,2,5 …（10分)】 因为AC⊥平面BMN,所以AC=(0,-3,-V5)是平面BMN的一个法向量，…(11分) n-MB=√5x=0 设平面BMP的法向量n=(x,y,z),则 n.MP=3x+iy+3z=0 令z=元，则y=-√5，所以n=(0,-V5,2是平面BMP的-个法向量，…(13分) 设平面BMP与平面BMN的夹角为O 则cos0=cos<AC,n>= AC.n 2-3到513 …（14分) 4c 2W3+22 26 化简得22+132-7=0，解得2=。或2=-7（舍).…（16分) 放当B-1时，平面BAMP与平百BMN所成角的正切值为 3V5 …(17分) CP 5 2 B 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分 慧号卷·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（人教A版）参考答案第6页共6页 A