数学（湘教版）-2024-2025学年高二上学期阶段性学习效果评估一（第一次月考）

2024一2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高二数学（一）参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.A2.C3.D4.C5.A6.B7.A8.D 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.BC 10.BC 11.AC 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 13.n-1(答案不唯一) 14.139 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 解：(1)在等差数列{an}中，因为a=-8,S3=-18, 所以S,=34+3x2d=-24+3d=-18,则d=2, 所以an=-8+(n-1)×2=2n-10; (6分) (2)s=aa=-8+2n-10=r2-9n, 2 2 （n9_8,且n为正整数， :Sn=n2-9n=n-3 2J4 ∴.n=4或5时，Sn的最小值为-20 (13分) 16.(15分) 解：(1)设数列{an}的公比为9，因为a,a2+1,43+1成等差数列， 所以2(a2+1)=a,+a3+1, 又因为a,=1,所以2(q+1)=2+9,即g2-2g=0, 所以9=2或9=0（舍去），所以an=2； (7分) ®周A-2肉 所以Tn=(2°+1)+(2+3)+…+(22m-2+2n-1) =(2°+22+…+22m-2）+(1+3+…+2n-1) =1-4n(1+2n-) 1-4 2 32、1 4 = (15分) (湖南教育)高二数学（一)参考答案第1页（共3页） 17.(15分) 解：(1)由题意可知，a1=5×1.5-1.5=6, a2=6×1.5-1.5=7.5,a3=7.5×1.5-1.5=9.75, 因为an41=1.5an-1.5,所以an+1-3=1.5(an-3), 又因为a,-3=3,所以{an-3}是首项为3，公比为1.5的等比数列，即得证； (7分) (2)由(1)知，a,-3=3×1.5”,所以an=3+3×1.5-, 令3+3x1.51>21,解得m-1>1g6-1g3+lg2 ≈4.42， Ig1.5 1g3-1g2 所以n>5.42,n取6,2021+(6-1)=2026，所以至少到2026年的年底，企业的剩 余资金会超过21千万元. (15分) 18.(17分) (1)证明：如图，连接BD,,四边形ABCD是正方形， .AC⊥BD 在正方体ABCD-ABCD中，D,D⊥平面ABCD, 又ACc平面ABCD,∴.AC⊥DD 又D,D∩BD=D,D,DC平面BDD,B,BDC平面BDD,B, .:AC⊥平面BDDB,. 又DEc平面BDDB,,·.AC⊥DE; (8分) (2)解：设AC与BD交于点F,连接BF,AB,如图 在正方体ABCD-ABCD中，BD∥B,D,BD=BD. 又E,F分别是BD,BD的中点，∴.DF∥B,E,DF=B,E, .四边形DFBE是平行四边形，.DE∥BF DE平面ABC,BFC平面ABC,∴DE∥平面AB,C. 又正方体ABCD-ABCD的棱长为4， =:e=人ac=m=写88Sx=x4xX4x4=2 1 (17分) 3 3 2 3 19.(17分) (1)解：由于Sn是3an与-3的等差中项，.2Sn=3a,-3. 当n=1时，2S,=3a1-3,得a1=3; 当n≥2时，2an=2Sn-2S1=3an-3a1,得an=3a1. 则数列{a}是以3为首项，3为公比的等比数列，则an=3”; 当n≥2时， 6=么+6，-么)+6-，)++6-b)=1+2+3+…+n=+n,4=1满 2 足上式，综上，a,=3”,b,=”+m; 2 (5分) @明：由0知，当，。“五，“日。'为 (湖南教育)高二数学（一)参考答案第2页（共3页） 则当0=1时，G=1<子，不等式成立：当m=2时，6+9-子 44 当n≥3，neN时，c+c2+C3+…+Cn=1+ 11 >2一“““大 1 <1+- 1. 1 十十 42×33×4 n(n-1) =1++5-+}-++1-1-3-1 42334 n -1 n 4 n 4 7 综上，C+C2+…+Cn< 4 (11分) (3)7=1+35 33+…+2n-1 大2++2”—+3+5 3” 则+++2， 1,35 1.22 3，得T=+3+3+…- 3 3” 3y2*1 2m-1_2121-1-22m+ 1、I 3133*1= 33+1 3 则7=1-+1 30。 (17分) (湖南教育)高二数学（一）参考答案第3页（共3页）2024一2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高二数学（一） 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3,回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)》 1.已知数列a,}的通项公式为a-1+-,nN,则该数列的前4项依次为 2 A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 c.3,0,7,0 D.2,0,2,0 2.已知向量a=(m,l),6=(0,3),且a1(a-b),则m= A.√2 B.2 C.±√2 D.+2 S2=7n+2 ,a+as的值 3.两个等差数列{a,}和，其前n项和分别为S,工，且元n+3,则么+ 为 9 A. B. 37 c D. 22 4.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|x<-2或x>-1},则不等式2x2+bx+a<0的 解集为 A. x-1<x< 2 B.xc-成 c.x D.{xx<-2或x>1} 5.已知{an}是等比数列，若an>0,且aa+2a4a6+a,=49,则a4+a6= A.7 B.14 C.21 D.49 (湖南教育)高二数学（一）第1页（共4页)》 6.抛掷两枚质地均匀的骰子，已知两枚骰子向上的点数之和为偶数，则向上的点数之和 为8的概率为 5 5 A·36 B. 18 C.I D.3 0的值 7.已知等比数列{a,}的前n项和为S,4+a=12且a,4+6,a成等差数列，则 为 A.244 B.243 C.242 D.241 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a=1,a2=2,且对于任意n≥2，n∈N, S+1+Sm1=2(Sn+1)恒成立，则下列说法正确的是 A.{an}是等差数列 B.{an}是等比数列 C.S,=81 D.Sto=91 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.下面四个结论正确的是 A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 B.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集1,2,3，，})上的函数 C.数列的图象是一系列孤立的点 D.数列的项数是无限的 10.无穷等比数列{an}的首项为a1,公比为q,下列条件能使{an}既有最大值，又有最 小值的有 A.4>0,0<9<1 B.a>0,-1<9<0 C.a1<0,9=-1 D.a1<0,q<-1 11.数列an}的前n项和为Sn,已知S,=-n+7n,则下列说法正确的是 A.{an}是递减数列 B.a0=-14 C.当n>4时，an<0 D.当且仅当n=3时，Sn取得最大值 第Ⅱ卷（非选择题 共92分) 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.已知角的终边经过点 、,则sma-） √31 13.写出同时满足下面两个条件的数列{an}的一个通项公式an= ①{an}是递增的等差数列；②a1-a3+2a4=4. (湖南教育)高二数学（一）第2页（共4页）》 14.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积 公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数 之差或者高次差成等差数列，如数列1,3,6,10，前后两项之差得到新数列2,3,4，新数 列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉 之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列{an},其前7项分别为3,4,6,9,13,18， 24,则该数列的第17项为 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a=-8,S3=-18. (1)求公差d及数列{an}的通项公式； (2)求Sn,并求S,n的最小值及取得最小值时n的值. 16.(15分)已知数列{an}是等比数列，且a=1,其中a,a2+1,a3+1成等差数列. (1)数列{an}的通项公式； an,n为奇数 (2)记b.= log,a,为偶数，则数列6}的前2n项和. 17.(15分)某企业2021年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平 均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产.设 从2021年年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为a,a2,a,…. (1)求出a,a2,43的值，并证明数列{a,-3}是等比数列； (2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？(g2≈0.301，lg3≈0.477) (湖南教育)高二数学（一）第3页（共4页）》 18.(17分)如图，ABCD-ABCD是棱长为4的正方体，E是B,D的中点. (1)证明：AC⊥DE; (2)求三棱锥A-CEB的体积. D A B 19.（17分)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn是3an与-3的等差中项；数列{bn}中b1=1, bm-bm-1=n(n≥2)， (1)求数列{a}与{b}的通项公式； 1 (2)若9，=2b-n,证明：9+6+…+c.≤ (3)设7，=1+3+5 +…+2n-1 a。，求7 (湖南教育)高二数学（一）第4页（共4页）