数学试卷-【1号卷·A10联盟】2025-2026学年高二上学期9月学情诊断

/号卷·A10联盟2024级高二上学期9月学情调研 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C A C B A B 1.C由题意得，4=xeN8∈N=12,48,所以C,A=3,5.6,71.故选C x 2.D 13+41_5 =5.故选D 1 3.C 因为用分层随机抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级有25人，高 三年级有15人，所以高二年级有60-25-15=20人，因为该校高二年级共有学生600人，所以 每个个休楼黄到的概率是忍。所以该按学生总贵无 1 =1800,即该校学生总数为1800 60030 30 人.故选C 4.A由题意得， V3 wa即sna-别片则eaa-}-2ana引月 故选A. c因为花=3C.所以E=am+证=Bm+}4C=丽+C-B到-}Bi+}BC.散连C 6B.设圆锥底面配半径为r.则2X2π.解得r三名， 3 故圆锥表面积S=元×，×2+，刀 s16 π.故选B 9 1()=1 7.A由题意得，正实数x,y,z满足2”=10-x,y2=10-y, log2 z=10-z,f(t)=2,f(t)=t2,f(t)=l0g,1, f(1)=log,t f(t)=10-t,则函数(t),f5(t),f5(),f4()的大致图象 f()=2 如图所示，由图象可知，曲线与直线的交点横坐标满足 O72415131 1,<1<43,即实数x,y,z之间的大小关系为y<x<z· f4)=10-1 故选A. 8.B由sin2B=cos2A-cos2C得sin2B=sin2C-sin2A,所以c2-a2=b2, 2 所以cosC=4+2-c2_°-(c2-a2)b2-6 b ,即b=4 a cos C,由正弦定理得， 2ab 2ab 2ab 4a sin B=4sin AcosC,sin B=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C=4sin AcosC, 所以3 sin AcosC=-cos AsinC,因为在锐角△ABC中，0<A,C<)则cosA>0,cosC>0 所以tanC=3tanA,令tanA=t,则t>0,tanC=3t,而 号卷·A10联盟2024级高二上学期9月学情调研·数学参考答案第1页共7页 [-ac]-a40=mC4-y”>0. 1>5,所以1+1+1=+1+-+1B25- ≥2 3 tan A tan B tanC t 4t 3t 4 1214 12t 2 号·零学号度，此时a49amC=限分=2 当且仅当3-13 3 1 满足题意.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号9 10 11 答案 BCABC BD 9.BC对于A,因为P(A)+P(B)=0.6+0.5=1.1>1,所以A∩B≠☑，所以A与B不可能为互斥 事件，故A错误；对于B,因为P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.5=0.3,所以A与B相互独立， 故B正确；对于C,若B三A,则P(AB)=P(B)=0.5,故C正确；对于D,若A与B相互 独立，则A与B相互独立，所以P(AUB)=P(A)+P(B-P(AB) =P(A)+1-P(B)-P(A)P(B=P(A)+1-P(B)-P(A)[1-P(B)] =0.6+1-0.5-0.6×0.5=0.8,故D错误.故选BC 10.ABC 母)-0©}一3，故A正确：画出函数大致图象如下，由图可得)有3 个实数根，故B正确；对于C,不难得到x+x2=-4,x3·x4=4且 ∈[-4，-2)，x3∈(-2,0]，x3∈ 后小e4例. +x2+X3+x4=-4+ 4 961 ,故C正确；对于D,令1=f(x),则 8(1)≥0 8(5)>0 -am+20+1=0,取g0=-0+2a+1,易得1<g<5,0得a4+25,) 8(2下0 故D错误.故选ABC. 64 !号卷·A10联盟2024级高二上学期9月学情调研·数学参考答案第2页共7页 11.BD由题意得，P点在矩形ACC,A内部及边界上，由正四棱柱及底面为菱形，可得AC⊥BD,且 AA⊥BD,可证BD⊥平面ACCA.对于A,由题意得，CC⊥AB,当P点与C点重合时， CP⊥AB,故A错误；对于B,易证AP与BC所成角的最小角为BC与平面ACC,A所成角， 设AC与BD交于O点，由BD⊥平面ACCA,得∠BCO即为BC与平面ACC,A所成角， 故4P与BC所成角的最小值为石，又CC L BC,故直线AP与BC所成角的范围是元引 6'21 故B正确；对于C,由BP=2,BO=1,可得P点的轨迹是以O点为圆心，以√3为半径的圆 与矩形ACC4相交的部分，即为半圆，故轨迹长度为V3π，故C错误；对于D,由P点在AC 上，且BP⊥AC,可得P点与O点重合，则'D-PMc=VM-pcD,易知M点到平面PCD的距离 为2，mXIx5-,取n中点，记为N,接MN,PN,可得M=5,连接 NC,在△NBC中，由余弦定理可得NC=√7，在Rt△MNC中，可得MC=√I,又 PC=V5,PM=V5,由余弦定理可得cos∠MPC= 5+3-11V15 2×V5×V310 则SwX5xw5x医- .设D点到平面PCM的距离为h,则 104 Xhx-X2x5,故D点到平面MC的E离为 4W17 ,故D正确。 故选BD 3 43 17 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.6 0B·AB=0B.(OB-OA=0B-0A.0B=9-3=6. 13.(-∞，1 2024 2024 2024 由题意得，命题“x∈R,x2025-m+1>0”为真命题，即m-1≤x2025,而x2025最小值为0，即m≤1. 〔- 由题意得，对于任意x∈R,有 0=s可-小子+1-es小i2-1 22 i+小子门-四，所以为有政 义因为必)=oe,(++与)=十2+1在上单调速塔，所以)在R上是增面数 所以f(2a+cos2x)<-f4sinx-7）=f7-4sinx),即2a+cos2x<7-4sinx, 即2a<-cos2x-4sinx+7对任意x∈R都成立， 由于-cos2x-4sinx+7=(sinx-2)2+2,其中-1≤sinx≤1，所以(sinx-2)2+2>3, 所以2a<3,解得a<2 号卷·A10联盟2024级高二上学期9月学情调研·数学参考答案第3页共7页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分) 15 (1）由题意得，3=2=22 1 …(3分) 由韦达定理得， 31+22=-P ,所以 p=-1 …（6分) 2122=q (2)由题意得， A g- 设C(a,b), 则有 -9店}g9 …(9分) 1 3 a =1 a= 2 即 得C …(11分) b- =0 2 b= 2 则z= 35 +2 1, …（13分) 16.(15分) (1)由题意得，(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,可得a=0.030.…（3分) (2)若从样本成绩为[60,70)和[70,80)的学生中共抽取6人， 则成绩在[60,70)的人数为6x,0.15 =2人，记为1,2； 0.15+0.3 在[70,80)的人数为6×。 0.3 0.15+0.3 -=4人，记为3,4,5,6.…(5分) 从这6名学生中抽取2人，则样本空间为 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6), 共有15种基本事件，…（7分) 来自[60,70)组的有(1,2)，(1,3)，1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，共9种，…（9分) 则P=名-号放2人中有米有6@0知的学生的减率为} …(10分) (3)因为元=90，所以：+x2+…+x0=10×90=900, …(11分) -c-+e-r+t,0]=5 …(12分) 剔除其中的94和86两个成绩，设剩余8个成绩为x,2,x3,,x?,平均数与标准差分别为x,S, 则剩余8个成绩的平均数： 石-5+5+5++=900-94-86=90，…(15分) 8 8 方卷：号-8102-94-909-(86-0]-g250-16-16=2725. …（15分) 号卷·A10联盟2024级高二上学期9月学情调研·数学参考答案第4页共7页 17.(15分) (1)因为cosB=0+2,所以2 ccosB=2a+h. …(2分) c 2c 由正弦定理得，2 sin Ccos B=2sinA+sinB=2sin(B+C)+sinB,得2 sin BcosC=-sinB, 因为snB≠0，所以easC-号又Cc0).所以C-2 …(7分) 3 (2)由余弦定理得，c2=a2+b2-2 ab cos C,即16=a2+b2+ab, 又a=3b,解得a=后，b 4 ' …（10分) 又因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD= 3 因为S,c-SAo+Sn所以5bsin20=b-CD-sin5+a 32 3t2a.CD.sinπ 解得CD=3V3 …(15分) 13 18.(17分) (1)如图所示，取PC的中点F,连接OF,EF, 因为E,F为PB,PC中点，则EF为△PBC的中位线，故EF∥BC,且EF=BC=1,(2分) 由题意得，AM0=4D=1,又BC/D.所以M0/EF且MO=Br. 则四边形EFOM为平行四边形，故ME∥FO,…(4分) 又ME￠平面POC,FOc平面POC,故ME∥平面POC.…(5分) (2)(i)因为PA=PC=PD=V5,O为AD中点，所以PO⊥AD 因为AO=OD=2,所以在Rt△PAO中，P0=VP2-AO2=1,…(7分) 因为BC∥AO且BC=AO,AB=BC=2,AB⊥AD,所以四边形ABCO为正方形， 所以OC=AB=2,所以PO2+OC2=PC2,即PO⊥OC 因为AD∩OC=O,所以PO⊥平面ABCD,则PO即为四棱锥的高.…(9分) 因为直角梯形ABCD的面积为4+2)x2=6, 2 所以四棱锥P-ABCD的体积为V=1x6X1=2.…(11分) 3 (ⅱ)Q点为三棱锥P-ACD外接球的球心，由(i)知PO⊥平面ABCD, 在△ACD中，O为AD中点，且CO⊥AD,CO=2,AD=4, 故△ACD为等腰直角三角形，则Q点在直线PO上.…(13分) 设QP=QA=R,QO=h, 当Q点在平面ABCD下方时，在△QAO中，有R2=h2+4, 又因为QP=Q0+0P=h+1=R,所以有h+1=+4,即h=2: 3 …（15分) 同理可得，当Q点在平面ABCD上方时，(1-h)2=h+4,即h= 3 不成立：…(16分) 3 5 综上，QP=3+1= …（17分) 2 号卷·A10联盟2024级高二上学期9月学情调研·数学参考答案第5页共7页 19.(17分) (1)由对数函数性质得f(x)的定义域为(0，+∞)， 令t=log2x,即f(x)可化为h(t)=3t(4-t)=-3t2+12t, 由二次函数性质得h()在(-∞，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 由对数函数性质得1=l0g2x在(0，+∞)上单调递增，…（2分) 令log2x≤2，解得x∈(0,4]，则f(x)在(0,4]上单调递增， 令log2x>2,解得x∈(4，+∞)，则f(x)在(4，+∞)上单调递减， 综上，f(x)的单调递增区间为(0,4]，单调递减区间为(4，+∞).…(4分) (2)令m)=x+16,易得m)在0,4上单调递减，在(4，∞)上单调递增 令8=，x(4-e(+9） 结合(1)的性质得g(x)在(0,4)上单调递增，在(4，+∞)上单调递减， 面ga=f2)-2-9=3g,2-(4-og,2-10=-1<0, g4=f④-49-g44-l0g,4到-8=4>0 则g(2)·g(4)<0,由零点存在定理得存在x∈(0,4)为g(x)的零点， 而g8=f8-8-16=31og,8-(4-1og,8-10=-1<0. 6 则g(8)g(4)<0,由零点存在定理得存在x2∈(4，+∞)为g(x)的零点， 故g(x)一定存在两个零点x,x2,得到g(x)=g(x2)=0 …(7分) 9}-/9)+:（4-9+ =3log,16-1og,[4-(og,16-1lcg,]-{6+x =304-1,[4-(4-og,]-16+x =38x4-30+80.到g9）=g0. 16 故8\ =g(x),结合g(x)=g(x2),得到g 16 =8(x2), 16 而x∈(0,4)，则°∈(4，+∞)，结合为e(4,+∞)， 故16和与都在同一单调区间内，即6=5，解得x5=16。 …（10分)》 X (3)证明：p(x)=-2cos2x+2sinx+3a=2sin2x+2sinx+3a-2, 令t=sinx3<0,t,=sinx4<0,则t,52为方程2t2+2t+3a-2=0的两根， 易得t+t2=-1,所以sin3+sinx4=-1, …(12分)》 两边平方得sin2x,+sin2x4+2sinx3·sinx4=1. 因为2sinx3·sinx4>0,所以sin2x3+sin2x4<1=cos2x4+sin2x4, 巃号卷·A10联盟2024级高二上学期9月学情调研·数学参考答案第6页共7页 所以sin2x3<cos2x4=sin2 …（14分) 2 3江，得π< 由元<x4< -x 所以sin 5π <0 2 2 5π 5 则-sinx3<-sin 即sinx,>sin 2 2 因为y=sinx在元， 3元 5π -4,即x+x4< 5π 2 上单调递减，所以x< …（17分) 2 复号卷·A10联盟2024级高二上学期9月学情调研·数学参考答案第7页共7页皖智 号卷·A10联盟2024级高二上学期9月学情调研 1046: 数学试题 命题单位：舒城中学数学教研组 编审单位：合肥皖智教育研究院 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答 第【卷（选择题共58分） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 目要求的， 9.已知A,B是随机事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.5,则下列说法正确的有() L已知集合U=孔2345.67，.A={xeN8eN,则CA=() x A.A与B可能为互斥事件 B.若P(A门B)=0.3,则A与B相互独立 A.{1,3,5,7 B.L,2,4.8} C.{3.5,6,7} D.{2,4,68} G.若B三A,则P(AB)=0.5 D.若A与B相互独立，则P(AUB=0.6 2已知复数：=3+i,则日=( -x2-4r+1,x≤0 i 10.已知函数f(x)= A.5 B.3 og:-儿x>0则下列说法正确的有() C.4 D.5 3.用分层随机抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为60的样本，其中高一年级有25人，高三年 级有15人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总人数为() A.1440 B.1600 C.1800 D.2400 且)=号有3个实数眼 4已知5sna=1+oasa,则ea2a-到}() C.若f(x)=1有4个实数根，从小到大分别为x,,x,x,则+x+x+x∈ 961 3 16 D-3 4 5.在△ABC中，E点在AC上，满足AE=3EC,则BE=() 卫者)-可0+2a+1-0有8个实数根，则e2】 人研+好风&丽+号c C.B4+3 BC D.2+BC 11.如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，AA=AB=2,底面ABCD为菱形，且 3 4 4 ∠ABC=2红，P点为枝柱内部（含表面）的点，满足A币=AC+4杯，M为棱 3 6。已知圆维的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为2亚的扇形，则该圆维表面积为() 3 AB的中点。则下列说法正确的有() B.16x C. 4π A.不存在P点的位置，使得CP⊥AB M 9 3 7.正实数x,y,z满足函数2+x=10,y2+y=10,z=10+1og5z,则实数x,y,z之间的大小关 R.直线AP与BC所成角的范围是[工，工 6'2 系为() C.若BP=2,则P点的轨迹长度为23π A.y<x<z B.x<y<z C.y<z<x D.z<x<y 8在锐角△4BC中，已知)sin2B=cos24-cos2C,则，L 1 tan4 tan BanC的最小值为( 1 D.若P点在4C上，且BPLAC时，D点到平面PMC的距离为4 17 B.V3 第Ⅱ卷（非选择题共92分） A.√5 2 3 D.3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知O4OB=3,且OB=3,则OB.AB= 多卷·A10联盟2024级高二上学期9月学情调研·数学试题第1页共4页 乡表·A10联盟2024级高二上学期9月学情调研·数学试题第2页共4页 B若命题“玉ER。器-m+1<0”为报命题，则m的原值范时为】 18.(17分) 如图.在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,BC∥AD,AB=BC=2,AD=4,E,O,M 从设数=@：(+2+品+1.如果对任意xeR,不等式 分别为PB,AD,AO的中点. f(2a+cos2x)+f4sinx-7)<0恒成立，则实数a的取值范围为 (1)证明：ME∥平面POC; 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (2)若PA=PC=PD=5,且Q点到P,A,C,D四点距离都相等 15.(13分) (i)求四棱锥P-ABCD的体积： 已知复数，马是关于x的方程+m+g=0(p.q∈R)的两个根且=51+号 2+2 (i)求QP的长 (1)求p,9的值： (2)记复数：，32，z在复平面内对应的点分别为A,B,C,已知O为坐标原点，且AC=OA+OB 求复数z 16.(15分) 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的 成绩x(单位：分，得分取正整数，40≤x≤100)作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为 六组（如图）： (1)求a的值： (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为60,70)和70,80)的学生中共抽取6人，再从6人 19.(17分) 中选2人，求2人中有来自60,70)组的学生的概率： (3)学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：x,2,x,,:0,已知这10个成绩的平均数 (1)求函数f(x)=3log1x(4-log2x)的单调区间： x=90,标准差s=5,若剔除其中的94和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差. (2)证明：方程3og2x-(4-1og,)=x+16有两个实数根无，x,并求5，的值： （3)已电西数=-2osx+2血牛知(u为数.者到在资 上有两个零点x 0.02 0.01 明：+钱经 0.01 0.00 0405060708090100成 17.(15分) 已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosB=口+ b ,点D在边AB上，且CD平 c 2c 分∠ACB. (1)求C的大小： (2)若a=3b,c=4,求CD的长 号卷·A10联盟2024级高二上学期月学情调研·数学试题第3页共4页 葡号冬·A10联盟2024级高二上学期9月学情调研·数学试题第4页共4页