精品解析：甘肃天水市秦州区2025-2026学年度第二学期八年级期期末考试数学试卷

2025—2026学年度第二学期八年级期末考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 在式子、、、、、中，分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：、、是整式， 、、时分式． 故选：B． 2. 某种植物的种子一粒重约克，将科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关键科学记数法的定义解题，结果写成形式，其中，为整数. 【详解】解： 故选：C 【点睛】本题考查科学记数法，是常见基础考点，难度容易，掌握科学记数法的定义是解题关键. 3. 下列函数中，随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【详解】A、∵函数中，，∴该函数图像在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，故本选项错误，不符合题意； B、∵函数中，，∴该函数图像在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，但总体不是随的增大而减小，故本选项错误，不符合题意； C、∵函数（）中，，∴该函数图像在第四象限，且在第四象限内随的增大而增大，故本选项错误，不符合题意； D、∵函数（）中，，∴该函数图像在第三象限，且在第三象限内随的增大而减小，故本选项正确，不符合题意． 4. 下面四个命题； ①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 ②对角线相等的四边形是矩形 ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用同旁内角互补，两直线平行，即可证得此四边形的两组对边分别平行，得平行四边形；②、③举反例等腰梯形，即可判断；④根据平行四边形与菱形的判定即可证得． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 即相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形， 故①是符合题意的； 对角线相等的四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形， 故②是不符合题意的； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； 故③是不符合题意的； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 故④是符合题意的； 5. 在同一坐标系中，函数与的图像大概是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数图像性质等知识点，熟练掌握两个函数图像与系数之间的关系是解题的关键． 一次函数与反比例函数的图像与系数的符号有关，所以分与两种情况进行讨论；当可以得出与所在的象限以及可以得出与所在的象限，进而求解即可． 【详解】解：根据题意需分、两种情况讨论： 当时，的图像在第一、三象限，的图像在第一、三、四象限，只有选项C符合； 当时，的图像在第二、四象限，的图像在第二、三、四象限，无选项符合． 故选C． 6. 如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴B选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角线的性质，熟记平行四边形的性质是解题关键． 7. 某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（ ） A. 从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降 B. 从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45 C. 每月阅读课外书本数的众数是45 D. 每月阅读课外书本数的中位数是58 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图的变化趋势即可判断A，根据折线统计图中的数据以及众数的定义，中位数的定义即可判断B，C，D选项． 【详解】A.从2月到6月，阅读课外书的本数有增有降，故该选项不正确，不符合题意； B.从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值为78比最小值28多50，故该选项不正确，不符合题意； C. 每月阅读课外书本数的众数是58，故该选项不正确，不符合题意； D.这组数据为： 28，33，45，58，58，72，78，则每月阅读课外书本数的中位数是58，故该选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了折线统计图，求极差，求中位数，从统计图获取信息是解题的关键． 8. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系．首先把代入直线即可求出m的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 9. 如图，在矩形中，．对角线相交于点O，过点O作，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的性质和勾股定理，结合线段垂直平分线的性质，通过设未知数建立方程来求解． 【详解】解：在矩形中，，，根据勾股定理可得： ． ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线，故． 设，则． 在中，根据勾股定理，可得： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质，解题关键是利用线段垂直平分线的性质得到，再通过勾股定理建立方程求解． 10. 如图1，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的2倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图2是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2可知，时，点Q运动到点C，点P运动到的中点，的面积为4，进行计算即可． 【详解】解：当点Q在上运动时，的面积为， 当时，的面积为4， 即， 此时点为的中点， 故， 解得：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平行四边形中，，则______． 【答案】##135度 【解析】 【分析】利用和互补，加上已知的角度之比可得度数，那么． 题目主要考查平行四边形的对角相等，邻角互补，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 12. 函数：中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须，即． 故答案为：． 13. 已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点、，如果，那么k的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵，且， ∴y随x增大而减小， ∴． 任写负数即可，如． 14. 如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形性质得到，，在中利用勾股定理得到，从而可以得到答案． 【详解】解：在菱形的两条对角线相交于点，若，， ，， 在中利用勾股定理得到， 菱形的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，涉及菱形对角线相互垂直平分、勾股定理及菱形四条边相等等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键． 15. 如图所示的折线为某地向香港地区打电话需付的通话费（元）与通话时间之间的函数关系，则通话应付通话费_______元． 【答案】7.4 【解析】 【分析】根据函数图象求出直线BC的函数解析式，将t=8代入计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得B（3，2.4），C（5，4.4）， 设直线BC的函数解析式为y=kt+b（t>3），得 ，解得， ∴直线BC的函数解析式为y=t-0.6（t>3）， 当t=8时，y=8-0.6=7.4， 故答案为：7.4． 【点睛】此题考查一次函数的实际应用，一次函数函数图象，求一次函数解析式，正确理解函数图象的意义求出函数解析式是解题的关键． 16. 甲、乙两班同学举行数学知识竞赛，竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 甲 45 83 86 82 乙 45 83 84 135 若再把这两班的成绩制作成箱线图，某同学综合分析以上统计表和统计图后得到如下结论： ①甲、乙两班学生的成绩箱线图的宽度相同； ②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分分为优秀）； ③甲班成绩的离差平方和是3690． 上述结论中正确的是__________（填写所有正确结论的序号） 【答案】 ②③ 【解析】 【分析】逐个分析三个结论，根据已知统计量的定义和性质判断结论是否成立. 【详解】解：①箱线图的宽度由成绩的极差（最大值减最小值）决定，题目仅给出平均数、中位数、方差，未给出两班成绩的最值，无法确定极差相同，因此箱线图宽度不一定相同，故①错误； ②两班参赛人数均为，排序后中位数是第个数据， ∵甲班中位数为，说明至少有个得分， ∵乙班中位数为，说明最多有个得分， ∴乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数，故②正确； ③根据方差的定义，， ∴甲班离差平方和，故③正确， 综上，正确结论为②③. 三、解答题（本大题共6小题，共46分，解答时，写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，先将分式方程化为整式方程，再解整式方程，然后检验计算结果，进而可得结果． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 经检验，是原分式方程的解． 19. 化简求值：．请你选取一个合适的的值，求出分式的值． 【答案】 化简结果为，取时，分式的值为 【解析】 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， 取时，原式． 20. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 【答案】 证明：∵DE//AC，CE//BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD=AC=BD ∴四边形OCED是菱形． 【解析】 【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键 21. 如图，过的顶点作． （1）尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接 （2）请你判断所画的四边形是平行四边形吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由作图方法可得， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）由作图方法可得，再由即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在四边形中，，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）当时，__________． （2）当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形 【答案】（1） （2）6或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，则，据此可得答案； （2）分两种情况：四边形是平行四边形和四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴当时，； 【小问2详解】 解：由题意得，，， ∴，； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得； 综上所述，t的值为6或． 四、解答题（本大题共5小题，共50分，解答时，写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 23. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10， 8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：_______，_______； （2）_______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【答案】（1） （2）乙 （3） 小瑜说的不对，理由如下： 两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛． 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数，利用方差判断稳定形，利用方差作决策，熟练掌握相关数据的计算方法和表示意义，是解题的关键： （1）将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最多的为众数，求出的值即可； （2）根据方差判断稳定性即可； （3）根据方差作决策即可． 【小问1详解】 解：乙中数据排序后，第5个和第6个数据分别为：和， ∴； 甲中数据出现次数最多的是，故； 故答案为：； 【小问2详解】 由表格可知：甲的方差大于乙的方差， ∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定； 故答案为：乙； 【小问3详解】 略 24. 如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． （1）求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； （2）求四边形 的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点，点，过点 作 轴于点 ，则 ，根据，利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴点， ∵ 轴于点 ， ∴ ， ． ∵一次函数与轴交于点 ， 令，解得， ∴点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 25. 已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF． (1)求证：△ABE≌△FCE； (2)若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB∥DC，推出∠1＝∠2，根据AAS证两三角形全等即可； （2）根据全等得出AB＝CF，根据AB∥CF得出平行四边形ABFC，推出BC＝AF，根据矩形的判定推出即可． 【详解】(1)证明：如图． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC 即 AB∥DF， ∴∠1＝∠2， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE． 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE(AAS)． (2)证明：∵△ABE≌△FCE， ∴AB＝FC， ∵AB∥FC， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵AF＝AD， ∴AF＝BC， ∴四边形ABFC是矩形． 【点睛】考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，本题主要考查学生运用定理进行推理的能力． 26. 2026年南阳五一期间，卧龙岗文化园、世界月季大观园等景区文旅活动火爆出圈，带动了本地文创产品热销．某商场计划购进一批南阳特色文创纪念章A、B两款进行销售．已知每个B款纪念章的进价比A款纪念章贵20元，用400元购进的A款纪念章和用500元购进的B款纪念章个数相同． （1）求A，B两款纪念章每个的进价分别是多少元； （2）若商场计划购进A，B两款纪念章共100个，每个A款纪念章售价为120元，每个B款纪念章售价为150元，且B款纪念章的数量不超过A款纪念章数量的．要使售完这批纪念章后的利润最大，应分别购进A，B两款纪念章多少个？并求出最大利润． 【答案】（1）A，B两款纪念章每个的进价分别是80元、100元 （2）应购进A款纪念章60个，B款纪念章40个．最大利润为4400元 【解析】 【分析】（1）设每个A款纪念章的进价为元．根据题意，列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购进A款纪念章个，则购进B款纪念章个，根据题意得出，设销售完这批纪念章后的利润为元，列出一次函数关系式，进而根据一次函数的性质求得最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：设每个A款纪念章的进价为元．根据题意， 得 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． （元）． 答：A，B两款纪念章每个的进价分别是80元、100元 【小问2详解】 解：设购进A款纪念章个，则购进B纪念章型个． 根据题意，得， 解得． 设销售完这批纪念章后的利润为元，则 ， 随的增大而减小， ∴当时，最大， 此时． 答：应购进A款纪念章60个，B款纪念章40个．最大利润为4400元． 27. 【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是__________（填序号）． 【基础探究】 （2）如图，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，．求证：四边形为“神奇四边形”． （3）在（2）的条件下，若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 【答案】（1）④ （2）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ∴四边形是“神奇四边形”； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的性质结合题中所给的新定义进行求解即可； （2）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而问题可求证； （3）由题意易得，然后可得，由可知，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 解：在平行四边形，矩形，菱形及正方形中，只有正方形的对角线是互相垂直且相等，符合“神奇四边形”的定义； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是“神奇四边形”，且四边形的面积为29， ， ， ∵正方形边长为7， ， ， 由（2）可知：， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期八年级期末考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 在式子、、、、、中，分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 某种植物的种子一粒重约克，将科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. （） D. （） 4. 下面四个命题； ①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 ②对角线相等的四边形是矩形 ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ①③ 5. 在同一坐标系中，函数与的图像大概是（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（ ） A. 从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降 B. 从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45 C. 每月阅读课外书本数的众数是45 D. 每月阅读课外书本数的中位数是58 8. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，．对角线相交于点O，过点O作，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的2倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图2是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平行四边形中，，则______． 12. 函数：中，自变量x的取值范围是_____． 13. 已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点、，如果，那么k的值可以是______（写出一个即可）． 14. 如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的周长是__________． 15. 如图所示的折线为某地向香港地区打电话需付的通话费（元）与通话时间之间的函数关系，则通话应付通话费_______元． 16. 甲、乙两班同学举行数学知识竞赛，竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 甲 45 83 86 82 乙 45 83 84 135 若再把这两班的成绩制作成箱线图，某同学综合分析以上统计表和统计图后得到如下结论： ①甲、乙两班学生的成绩箱线图的宽度相同； ②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分分为优秀）； ③甲班成绩的离差平方和是3690． 上述结论中正确的是__________（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共6小题，共46分，解答时，写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解分式方程： 19. 化简求值：．请你选取一个合适的的值，求出分式的值． 20. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 21. 如图，过的顶点作． （1）尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接 （2）请你判断所画的四边形是平行四边形吗？请说明理由． 22. 如图，在四边形中，，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）当时，__________． （2）当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形 四、解答题（本大题共5小题，共50分，解答时，写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 23. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10， 8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：_______，_______； （2）_______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 24. 如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． （1）求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； （2）求四边形 的面积． 25. 已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF． (1)求证：△ABE≌△FCE； (2)若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形． 26. 2026年南阳五一期间，卧龙岗文化园、世界月季大观园等景区文旅活动火爆出圈，带动了本地文创产品热销．某商场计划购进一批南阳特色文创纪念章A、B两款进行销售．已知每个B款纪念章的进价比A款纪念章贵20元，用400元购进的A款纪念章和用500元购进的B款纪念章个数相同． （1）求A，B两款纪念章每个的进价分别是多少元； （2）若商场计划购进A，B两款纪念章共100个，每个A款纪念章售价为120元，每个B款纪念章售价为150元，且B款纪念章的数量不超过A款纪念章数量的．要使售完这批纪念章后的利润最大，应分别购进A，B两款纪念章多少个？并求出最大利润． 27. 【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是__________（填序号）． 【基础探究】 （2）如图，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，．求证：四边形为“神奇四边形”． （3）在（2）的条件下，若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $