A4 无锡市2024年中考数学试卷-【壹学知道】2025年江苏13大市中考数学精编28+6套卷

A4 无锡市2024年中考数学试卷 (满分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.4的倒数是 ( A B.-4 C.2 D.±2 2.在函数y=√x一3中，自变量x的取值范围是 A.x≠3 B.x>3 C.x<3 D.x≥3 2 3. 分式方程1= x十的解是 A.x=1 B.x=一2 品外 C.- D.x=2 4.有一组数据：31,32,35,37,35，这组数据的平均数和中位数分别是 ☒囚 A.34,34 B.35,35 C.34,35 D.35,34 5.下列图形是中心对称图形的是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.正五边形 6.已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为 A.6π B.12π C.15π D.24π 7.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意是：野鸭从南海飞到北海需要7天， 大雁从北海飞到南海需要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相 放 遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是 ( ) A. B. 7t-9t=1 C.9x+7x=1 D.9.x-7x=1 8.如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ABC'.当点 B落在边AC上时，∠BAC'的度数为 ) 帕 A.65° B.70° C.80° D.85° (第8题) (第9题) 9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是边CD的中点，则si∠EBC的值为 ( A.③ c阳 D. 5√7 5 14 A4-1 10.已知y是x的函数，如果存在实数m,n(m<n),当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤ tn(t>0),那么我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”.例如：函数y=2x,存在 m=1,n=2,当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t=2,所以1≤x≤2是函数y=2x的“2级关联范 围”.现有下列结论：①1≤x≤3是函数y=一x十4的“1级关联范围”；②0≤x≤2不是函 数y=x的“2级关联范围”，③函数=(k>0)总存在“3级关联范围”；④函数y=一2+ 2x十1不存在“4级关联范围”.其中正确的结论为 () A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.因式分解：x2一9= 12.在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界.截至2023年 底，我国高铁营业里程达到45000km.数据“45000”用科学记数法表示为 13.正十二边形的内角和等于 14.命题“若a>b,则a一3<b-3”是 。（填“真”或“假”)命题 15.某个函数的图像关于原点对称，且当x>0时，y随x的增大而增大.请写出一个符合上 述条件的函数表达式： 16.在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=8,D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点，则△DEF 的周长为 17.在探究“反比例函数的图像与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三 角板ABC摆放在平面直角坐标系xOy中，使其两条直角边AC,BC分别落在x轴负半 轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单 位长度后，发现A,B两点恰好都落在函数y=6的图像上，则a的值为 6 0(C (第17题) (第18题) 18.如图，在△ABC中，AC=2,AB=3,直线CM∥AB,E是边BC上的动点（端点除外），射 线AE交CM于点D.在射线AE上取一点P,使得AP=2ED,作PQ∥AB,交射线AC 于点Q.设AQ=x,PQ=y.当x=y时，CD= ;在点E运动的过程中，y关于x 的函数表达式为 A4-2 三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(8分)计算： 1)-4-16+(2). (2)a(a-2b)+(a+b)2. 2x-3x, 20.(8分)(1)解方程：(x一2)2-4=0. (2)解不等式组： x+2>1. 21.(10分)如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，连接AE,DE. (1)求证：△ABE≌△DCE. (2)求证：∠EAD=∠EDA. 22.(10分)一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都 相同. (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.求 2次摸到的球颜色不同的概率.（请用画树状图或列表等方法写出分析过程） A4-3 23.(10分)“五谷者，万民之命，国之重宝.”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑.农业 科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次 调查研究. 【确定调查方式】 (1)小李计划从试验田里抽取100根麦穗，将抽取的这100根麦穗的长度作为样本.下列 抽样调查方式合理的是 .(只填序号) ①抽取长势最好的100根麦穗的长度作为样本； ②抽取长势最差的100根麦穗的长度作为样本； ③随机抽取100根麦穗的长度作为样本. 【整理分析数据】 (2)小李采用合理的调查方式获得该试验田100根麦穗的长度（精确到0.1cm),并将调 查所得的数据整理如下表 试验田100根麦穗长度频率分布表 试验田100根麦穗长度频数分布直方图 长度xcm 频率 4.0x<4.7 0.04 频数 50 4.7x<5.4 m 40 30 5.4x6.1 0.45 204 12 6.1x6.8 0.30 1 0 4 6.8≤x7.5 0.09 4.04.75.46.16.87.5长度cm 合计 根据以上图表信息，解答下列问题， ①频率分布表中的m= ②把频数分布直方图补充完整.（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 (3)估计长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占的比例. A4-4 24.(10分)如图，在△ABC中，AB>AC (1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，在这条平分线上确定点D,使得DB=DC.(不写作法，保 留痕迹) (2)在(1)的条件下，若∠BAC=90°，AB=7,AC=5,则AD的长是多少？（直接写出AD 的长) 25.(10分)某校积极开展劳动教育，两次购买A,B两种型号的劳动用品，购买记录如下表. A型号劳动用品/件 B型号劳动用品/件 合计金额元 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求A,B两种型号劳动用品的单价. (2)若该校计划再次购买A,B两种型号的劳动用品共40件，其中A型号劳动用品购买 数量不少于10件且不多于25件.该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备 注：A,B两种型号劳动用品的单价保持不变) 26.(10分)如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O,CD=DB,AB,CD的延长线相交于 点E,且DE=AD (1)求证：△CAD∽△CEA. (2)求∠ADC的度数. B A4-5 27.(10分)【操作观察】 如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，BC=8,AB=12,AD=13.折叠 四边形纸片ABCD,使得点C的对应点C始终落在AD上，点B的对应点为B',折痕与 AB,CD分别交于点M,N. 【解决问题】 (1)当点C与点A重合时，求BM的长， (2)设直线B'C'与直线AB交于点F,当∠AFC=∠ADC时，求AC的长， 0 28.(10分)已知二次函数y=ax2十x十c的图像经过点A(-1,-)和点B(2,1). (1)求这个二次函数的表达式. (2)若点C(m+1,y),D(十2，y2)都在该二次函数的图像上，试比较y和y2的大小，并说 明理由、 (3)点P,Q在直线AB上，点M在该二次函数的图像上.问：在y轴上是否存在点N,使 得以P,Q,M,N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 N的坐标；若不存在，请说明理由 A4-60器 过点N作NK⊥AB于点K,则NK=BN· sin72°， ∴.BC=AB·CD, 即x2=1×(1-x),整理，得x2十x-1=0, :Ss=2BM.NK=号BM·BN·sim72, 解得x=一1十5 2 5,x,=125(舍去)， 2 ÷2BE·sn3S.(BM+BN)=号BM.BN· BC=5-1 sin72°， 2 .CD=1-5-1_3-5 别-s sin 72 2 21 在Rt△ABQ中，AQ=AB·sin72°=sin72. 如图2，以点C为圆心、CD的长为半径画圆弧交 在Rt△BEQ中，EQ=BE·sin36°， BD于点E,连接CE,过点E作直线交AB于点M,交 sin72° BEsin 36EQ 8A陆0-1+品 EQ BC于点V. BE平分∠ABC, 焉謁0 又：BQ-2BC-51 4 1+品-1+号告-6+5 5-15-1(5-1)(W5+1) 图2 5+35+5+3_45+8=2+5, 4 4 .CD=CE, ∴.∠DEC=∠EDC=72°， ∴+BN-2+后，为定值 1 ∴.∠DCE=180°-∠DEC-∠EDC=180°-2X A4无锡市2024年中考数学试卷 72°=36°， ∴.∠ECB=∠ACB-∠DCE=72°-36°=36°， 1.A解析：本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定 ∴.CE平分∠ACB. 义是解题的关键.：乘积是1的两个数互为倒数， ,∠ABC=72°，∠ABD=36°， “4的倒数是子 .∠EBC=36°， 2.D解析：本题考查了二次根式有意义的条件， ·BE=EC=CD=3-5 2 掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.由 过点A作AQ⊥BC于点Q. 题意得，x-3≥0，解得x≥3. .AB=AC, 3.A解析：本题考查了分式方程的解法，熟练掌 ..BQ=CQ 握解分式方程的步骤是解题的关键.原方程两边同时 .点A,Q在边BC的垂直平分线上 乘x(x十1)，得x十1=2x,移项、合并同类项，得-x 又.BE=EC, 一1，系数化为1，得x=1.检验：当x=1时，x(x+1)≠ 点E在边BC的垂直平分线上， 0,∴.原分式方程的解是x=1. ∴A,E,Q三点共线 4.C解析：本题考查了平均数与中位数，熟练掌 过点E作EH⊥AB于点H,则EH=BE·sin36°， 握平均数与中位数的求解方法是解题的关键.这组数 EQ=BE·sin36°， 据的平均数是号×(31+32+35+37+35)=号× 六Sa=SAE+SAy=BM,EH+BN·EQ 2 2 170=34;这组数据按照从小到大的顺序排列为31， 32,35,35,37,中位数为第3个数，即中位数为35. 2(BM·BE·sin36+BN·BE·sn36)= 5.C解析：本题考查了中心对称图形，熟练掌握 sin36°·(BM+BV). 中心对称图形的特征是解题的关键.在平面内，把一个 17 图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原 “2级关联范围”，故②不正确；③k>0,.该反比例 来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.等边 函数的图像位于第一、三象限，且在第一象限内，y随 三角形、直角三角形、正五边形均不是中心对称图形； 上的销大而减小，则当0<m≤≤m时，会≤)会若 平行四边形是中心对称图形. 6.B解析：本题考查了圆锥的相关计算，掌握圆 m≤≤n是函数y=(k>0)的“3级关联范围”，则 锥的侧面积计算公式是解题的关键.S侧=πrl=π×3× 4=12π. （k3m 7.A解析：本题考查了由实际问题抽象出一元 整理得夷=3，：>0,0<m≤x≤，总存 mn =3n, 一次方程，根据题意找出等量关系是解题的关键.设经 过x天相遇，根据题意可列方程为7x十日=1 在符合条件的m,,k使得=3，函数y=(k>0) 72n 7 8.B解析：本题考查了旋转的性质、三角形内角 总存在“3级关联范围”，故③正确；④函数y=一x2十 和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.，·∠BAC十 2x+1的对称轴为直线x= 2×(-1)=1,且-1<0， 2 ∠B+∠C=180°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=180° .当x<1时，y随x的增大而增大，故当m≤x≤n<1 80°-65°=35°.又由旋转的性质得∠BAC'=∠BAC= 时，有-m2+2m+1≤y≤-n+2+1.若m≤c≤1<1 35°，.∠BAC=∠BAC+∠BAC=35°+35°=70. 是函数y=一x2+2x十1的“4级关联范围”，则 9.C解析：本题考查了菱形的性质、解直角三角 形、勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题 -m2+2m+1=4, m=-1-√2， 解得《 .-1-√2≤ 的关键.如图，过点E作EH⊥BC交BC的延长线于 -n2+2n+1=4, n=-1+√2， 点H.,四边形ABCD是菱形，.BC=CD,AB∥CD, x≤一1十√2是函数y=一x2+2x+1的“4级关联范 .∠ECH=∠ABC=60°.设BC=CD=4a.E是边 围”，.函数y=一x2十2x十1存在“4级关联范围”，故 CD的中点，CE=2CD=2a.:EH1BH,∴EH= ④不正确.综上所述，正确的结论为①③. 11.(x+3)(x-3)解析：本题考查了用公式法 CE·sin60°=2a·3=3a,CH=CE·cos60°=2a: 分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键。 2 x2-9=(.x十3)(.x-3). 2=a,BH=BC+CH=4a+a=5a.在R△BHE中， 12.4.5×10解析：本题考查了科学记数法.用 由勾股定理得BE=√B开+E开=√(5a)2+(5a)= 科学记数法表示较大的数的一般形式为a×10,其中 27ain∠EBC-是=Ba=② 1≤a<10,n等于原数的整数位数减1.，.45000= BE 27a 14 4.5×10. 13.1800解析：本题考查了多边形的内角和，熟 D 练掌握多边形的内角和公式是解题的关键.(12一2)× 180°=1800°，∴.正十二边形的内角和等于1800°. B 14.假解析：本题考查了命题的真假判断、不等 10.A解析：本题考查了新定义、一次函数的性 式的性质.a>b,∴.a-3>b-3,.“若a>b,则a 质、反比例函数的性质、二次函数的性质，掌握一次函 3<b-3”是假命题. 数、反比例函数及二次函数的性质是解题的关键.①当 15.y=x(答案不唯一)解析：本题考查了函数 x=1时，y=一x十4=3，当x=3时，y=一x十4=1， 的图像与性质.由“图像关于原点对称”可以考虑正比 -1<0,.y随x的增大而减小，∴.当1≤x≤3时， 例函数和反比例函数；当选择正比例函数时，由“当 1≤y≤3，即t=1,.1≤x≤3是函数y=-x十4的 x>0时，y随x的增大而增大”可知，k>0;当选择反比 “1级关联范围”，故①正确；②当x=0时，y=x=0, 例函数时，由“当x>0时，y随x的增大而增大”可知， 当x=2时，y=x2=4,:y=x2的对称轴为y轴，且 k<0. 1>0,.当x≥0时，y随x的增大而增大，.当0≤x≤ 16.9解析：本题考查了三角形的中位线定理、 2时，0≤y4,即t=2,.0x≤2是函数y=x2的 三角形的周长计算.如图，D,E,F分别是边AB, 18 BC,AC的中点，∴.DE,EF,DF均为△ABC的中位线 直接开平方，得x一2=士2， AB-4.BC-6.AC-8DE-AC-X8-4. .x1=0,x2=4. (2)解不等式2x一3x,得x≤3： EF=号AB=2×4=2,DP=)BC=号X6=3, 解不等式x十2>1，得x>-1. .C△DE=DE+EF+DF=4十2十3=9，即△DEF的 .原不等式组的解集为一1<x≤3. 周长为9. 21.解析：本题考查了矩形的性质、全等三角形的 判定与性质、等边对等角.(1)根据矩形的性质得到 ∠B=∠C=90°，AB=CD,再利用中点的定义得到 BE=CE,进而根据“SAS”即可证得结论；(2)由△ABE≌ △DCE得到AE=DE,然后根据“等边对等角”得到 17.2或3解析：本题考查了反比例函数图像上 ∠EAD=∠EDA. 点的坐标特征和坐标平移规律.由题意得，点A,B的 证明：(1)，四边形ABCD为矩形， 坐标分别为（一5,0），(0,5)，平移后的坐标分别为 ∴.AB=CD,∠B=∠C=90 (-5十a,-a),(a,5-a).平移后点A,B均落在y= E是边BC的中点，.BE=CE 9的图像上，a(5-a)=6,解得a=2或a=3 AB=CD, 在△ABE和△DCE中，∠B=∠C, 18.2y=8-2x 3x2 解析：本题考查了相似三角形 BE=CE, .△ABE≌△DCE(SAS). 的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例 是解题的关键.CM∥AB,PQ∥AB,∴CD∥PQ, (2).△ABE≌△DCE,∴.AE=DE, .∠EAD=∠EDA. △APg△ACA怨-器即号=六CD 22.解析：本题考查了用列表或画树状图的方法 2义.x=,∴CD=2.设ED=t.AP=2ED,AP= 求事件的概率.(1)直接利用概率公式即可得出答案； (2)画树状图得出所有等可能的结果数及符合条件的 2红：CM∥AB,△CED△BEA,謂贯即 结果数，再根据概率公式即可得出答案。 2y 解：(1)由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸 3=。,整理得，EA=2,AD=EA十ED=3Ct+ 2y 到白球的结果有1种，一摸到白球的概率为 1=3x+22.:△APQD△ADC..A0-AP, 2y ACAD,即- 故答案为？， 2t 3x2 1(3x+2,整理得y=82元 (2)画树状图如图所示.由树状图可知，共有9种 2y 等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有 19.解析：本题考查了实数的混合运算、，整式的混 6种∴2次拨到的球额色不同的概率为号-导。 合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的 关键.(1)先分别对绝对值、算术平方根、负整数指数幂 井始 进行化简，再计算即可；(2)先根据去括号法则和完全 第1次 红 绿 平方公式将原式展开，再合并同类项即可. 解：(1)原式=4-4十2=2. 第2次 白红绿 白红绿白红绿 (2)原式=a2-2ab+a2+2ab+b=2a2+b. 23.解析：本题考查了抽样调查中样本的选择、频 20.解析：本题考查了一元二次方程和一元一次 数分布表与频数分布直方图、用样本估计总体，读懂频 不等式组的解法.(1)先移项，然后用直接开平方法即 数分布直方图是解题的关键.(1)根据抽样调查中样本 可求解：(2)先分别求出两个不等式的解集，然后找出 的特点回答即可.(2)①用1减其他频率之和即可求出 这两个不等式解集的公共部分即可得出答案： m的值；②先求出麦穗长度（单位：cm)在6.1≤x<6.8 解：(1)移项，得(x一2)2=4， 范围内的频数，然后补全频数分布直方图即可.(3)把 19 长度不小于5.4cm的麦穗的频率相加即可估计出概 (2)如图2，过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足 率，从而求解， 分别为E,F,则∠AED=∠AFD=90°.又，∠BAC= 解：(1)，抽样调查中样本的选取需要的是广泛性 90°，∴.四边形AEDF为矩形.AD是∠BAC的角平 和代表性，∴.抽样调查方式合理的是随机抽取100根 分线，.DE=DF,四边形AEDF为正方形，∴AE= 麦穗的长度作为样本 AF=DE=DF,在R1△DEB和R△DFC中.DB=DC, DE-DF. 故答案为③ (2)①频率分布表中的m=1一(0.04十0.45十 .Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),.BE=CF..AB十 0.30+0.09)=0.12 AC=AE+EB+AF-CF=AE+AF=7+5=12, 故答案为0.12. ∴AE=AF=DE=DF=6.在Rt△AFD中，由勾股定 ②麦穗长度（单位：cm)在6.1≤x<6.8范围内的 理得AD=√JAF+DF=√6+6=6√2. 频数为100×0.30=30，补全频数分布直方图如图所 示 频数 50 45 40 30 30 20 D 10 图2 4 0 4.04.75.46.16.87.5长度cm 25.解析：本题考查了二元一次方程组以及一次 函数的实际应用.(1)设A型号劳动用品的单价为 (3)0.45+0.30+0.09=0.84. x元件，B型号劳动用品的单价为y元件，根据表格 答：长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占 中的数据，列出方程组求解即可：(2)设购买A型号劳 的比例大约为84%. 动用品a件，则购买B型号劳动用品(40一a)件，根据 24.解析：本题考查了作图一基本作图、角平分 题意得出10≤a≤25，设购买这40件劳动用品需要 线的性质、勾股定理、正方形的判定、全等三角形的判 W元，列出W关于a的函数表达式，根据一次函数的 定与性质等知识.(1)根据角平分线和线段垂直平分线 性质即可解答， 的性质定理可知，点D应为∠BAC的角平分线和线段 解：(1)设A型号劳动用品的单价为x元件，B型 BC的垂直平分线的交点；(2)过点D分别作DE⊥ 号劳动用品的单价为y元件.根据题意得， AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,首先证明四边形 20x+25y=1150 AEDF是正方形，得到AE=AF=DE=DF,再利用 解得20， 答：A型号劳动用品 10.x+20y=800, y=30. “HL”证明Rt△DEB≌Rt△DFC,得到BE=CF,从而 的单价为20元/件，B型号劳动用品的单价为30元件. 求得AE=AF=DE=DF=6,最后利用勾股定理即可 (2)设购买A型号劳动用品a件，则购买B型号劳 求出AD的长. 动用品(40一a)件.根据题意得，10≤a≤25.设购买这 解：(1)如图1，点D即为所求.（作法：作∠BAC的 40件劳动用品需要W元，则W=20a十30(40一a)= 角平分线和线段BC的垂直平分线，两线交于点D) 一10a+1200.,一10<0，∴.W随a的增大而减小， .当a=25时，W取得最小值，最小值为-10×25+ 1200=950(元).答：该校购买这40件劳动用品至少 需要950元. 26.解析：本题考查了圆周角定理、相似三角形的 判定与性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质 等知识.(1)由圆周角定理得到∠CAD=∠DAB,再由 等腰三角形的性质得到∠DAB=∠E,利用等量代换 图， 即可得到∠CAD=∠E,从而证得△CAD∽△CEA; 20 (2)连接BD,由圆周角定理得到∠ADB=90°，设2所示)，由折叠的性质可得，MN垂直平分AC,AB= ∠CAD=∠DAB=a,则∠CAE=2a,再由相似三角形 B'C,则点N与点D重合，AM=CM,∴AB-AM= 的性质可得出∠CDA=∠CAE=2α，然后根据圆内接 B'C-CM,即BM=BM.设B'M=BM=x,则AM= 四边形的性质可得出2a+2a+90°=180°，从而求出 CM=12-x.∠ABC=90°，∴.在Rt△MBC中，由勾 α的值，进一步即可得出答案. 股定理得BMP十BC=C,即x2+82=(12一x)2,解 (1)证明：CD=BD,∴.∠CAD=∠DAB.,DE= 得x=9BM=BM=9 31 AD,∴.∠DAB=∠E,.∠CAD=∠E.又∠C= ∠C,.∴.△CADp△CEA. A(C DN (2)解：如图，连接BD.AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°.设∠CAD=∠DAB=a,则∠CAE= ∠CAD+∠DAB=a+a=2a.由(1)知，△CAD0 △CEA,∴.∠CDA=∠CAE=2a,∴.∠CDB=∠CDA+ ∠ADB=2a十90°.，四边形ABDC是圆的内接四边 图1 图2 形，∴.∠CAB+∠CDB=180°，即2a+(2a+90)= (2)如图3，当点F在线段BA上时，由(1)可知， 180°，解得a=22.5°，.∠ADC=2a=2×22.5°=45°. tan∠ADC三5，'∠AFC=∠ADC,∴tan∠AFC 号设AP=5z,则AC-12,CF=13,根据折叠的 性质可得，B'C'=BC=8,则B'F=8-13.x,,'∠B'FM= ∠AFC.am∠BFM=tan∠AFC-号.FM 27.解析：本题考查了矩形的判定与性质、折叠的 号8-180.BM=BM=号(8-13.：AB=AF+ 性质、勾股定理、锐角三角函数的应用等知识，结合题 意画出图形是解题的关键.(1)过点C作CH⊥AD于 PM+BM-12.5c+9(8-13x)+号8-13z) 5 点H,先证四边形ABCH是矩形，从而得出CH= 12,解得=名AC=12:-8:如图，当点F在线 AB=12,AH=BC=8,再求出HD的长，然后根据勾 股定理求出CD的长，当点C与点A重合时，由折叠的 段BA的延长线上时，同上，am∠AFC=号，在 性质可得出MN垂直平分AC,AB=B'C,则点N与点 Rt△AFC中，设AF=5x,则AC=12x,CF=13.x, D重合，AM=MC,从而得到B'M=BM,设BM= BM=x,则AM=CM=12一x,再利用勾股定理即可求 BF=13x-8,FM三53(13x-8),B'M=BM今 出BM的长：(2)分“点F在线段BA上”和“点F在线 号(13x-8).:AB=FM-AF+BM=12,3(13z- 段BA的延长线上”两种情况讨论，设AF=5.x,则AC= 12.x,CF=13x,利用∠AFC'=∠ADC=∠B'FM及角 8)-5x+号(13x-8)=12,解得x=是AC 5 的正切表示出各个线段的长度，最后利用线段的和差 关系求解即可. 12x-是综上所述，AC的长为得或号 5 解：(1)如图1，过点C作CH⊥AD于点H,则 ∠CHA=∠CHD=90°.又，AD∥BC,∠ABC=90°， 5x .∠BAH=180°-∠ABC=180°-90°=90°，.四边形 A 12x C 5x 13x 12x ABCH是矩形，∴.CH=AB=12,AH=BC=8,.HD= AD-AH=13-8=5.在Rt△CHD中，由勾股定理得 CD=√CH+HD=√122+5=13，∴.AD=CD, 1an∠ADC-品-长当点C与点A重合时（如国 B C 图3 图4 21 28.解析：本题是二次函数综合题，考查了待定系 2t,∴.M(-2t,-2-2t+1),∴.点N的纵坐标为-2r 数法求函数表达式、解直角三角形的应用、正方形的性 2t+1+t=-2-t+1,即N(0,-2-t+1),:以P, 质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全 Q,M,N为顶点的四边形是正方形，.∠PMN=90°， 等三角形是解题的关键.(1)利用待定系数法求出a和 PM=MN,∴.∠PMH+∠VMG=90°，，∠PMH+ c的值，从而得出二次函数的表达式；(2)根据题意得出 ∠MPH=90°，.∠MPH=∠NMG,∴.△PHM≌ y=- 2(n+1)2+(m+1)+1,y2=2(m+2)2+ △MGN,.PH=MG=2t,HM=NG=t,∴.P(-3t, 1 (m+2)十1，再用作差法得出八一为=m十2，进行分 -2+1),把P(-3t,-2+1)的坐标代入y=2x, 类讨论即可：(3)利用待定系数法求出直线AB的函数 得-2+1= 3×(-3),解得4=3+g④， 8 表达式，然后进行分类讨论：当PQ为正方形的边及对 角线时，结合正方形的性质和全等三角形的判定与性 3-√④（不合题意，舍去）N(0,-15+5√④)： 8 16 质，即可解答 解：1)把A(-1,-2 ,B(2,1)的坐标代入y= a-1+c=- a.x2十x十c,得 2’解得 a= 2, 这个 4a+2+c=1, c=1, 二次函数的表达式为y=号十十1 (2)点C(m十1，y),D(m+2,y2)都在该二次函 AG 数的图像上，∴n=一号(m+1)+(m十1)+1， 图1 ②如图2，构造Rt△MQG和Rt△NMH,同理① 2(m+2)+(m+2)+1.y-为=-2(m+1D+ 可得，△MQG≌△NMH,tan∠MNH=号，设NH= (m+1D+1-[-号m+2)+(m+2)+1]=m+2 GM=21,QG=MH=1,.M(2t,-212+2+1), 当m十2>0，即m>-号时y>当m十号=0，即 N(0,-2r+t+1),Q(t,-2+4t+1),把Q(t,-2+ m=- 2时y=为当m+2<0,即m<-2时1< 4红+1)的坐标代入y=,得一2r+4红+1=，解得 y2. t1=2,t2=一 （不合题意，含去）N(0,-5 (3)存在，设直线AB的函数表达式为y=kx+e, 把A(-1,-2),B(2,1)的坐标代人，得 1 C 1 2 =一k十e, k 解得 2'.直线AB的函数表达 1=2k+e, e=0, 式为y=2 (1)当PQ为正方形的边时， 图2 ①：B(2,1Dtam∠BOC-号，如图1，过点M作 ③如图3，构造Rt△GMN和Rt△HPM,同理① MG⊥y轴于点G,过点P作PH⊥MG于点H,.PQ∥ 可得，△GMN≌△HPM,ian∠GNM=号，设GN= MN,MG∥x轴，∴.∠NMG=∠BOC,∴.tan∠NMG= HM=2t,则GM=HP=t,.M(-2t,-2-2t+1), -an∠B0C-,则MG=2NG,设NG=,则MG= NG N(0,-2-t+1),P(-t,-22-4t+1),把P(-t,-2 22 4红+1)的坐标代人y=x,得-20-41+1=一2，解 得t= 子4=-2（不合题意，会去），N(,号)： B 图5 图3 ⑥如图6，构造Rt△PMH和Rt△NPG,同理①可 ④如图4，构造Rt△GMN和Rt△HNP,同理① 得，△PMH≌△NPG,同理⑤可得，am∠PNG=子， 可得，△GMN≌△HNP,an∠GMN=号，设GM= 设PG=HM=t,则PH=GN=3t,∴.M(-2t,-2t- HN=2t,则GN=HP=t,∴.M(2t,-2t+2t+1), 2t+1),N(0,-2t2一6t+1),P(-3t,-2t-5t+1),把 N(0,-2t+t+1),P(t,-2t-t+1),把P(t,一2t P(-3,-2r-51+1)的坐标代人y=号，得-2r- 十1D的坐标代入y=名，得一2-1十1=21，解得 5+1=- ，解得=6=一2（不合题意，合去）， 3 4=3①，=3厘（不合题意，含去）， 8 8 N(o,-) N(0,15+5 16 图6 图4 (ⅱ)当PQ为正方形的对角线时， 综上所述，点N的坐标为(0，-15+5√厘)或 16 ⑤如图5，构造矩形HGJI,过点P作PK⊥IJ于 点K,.PK∥x轴，.∠QPK=∠BOC,∴.tan∠QPK= (0,-15+5④)或(0，-5)或(0,5)或(0,8)或 16 an∠BOC-=2,设QK=,则PK=2x,同理①可得， (0,-8) △PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI,∴.HN=PG= A5常州市2024年中考数学试卷 MJ=IQ,PH=GM=QJ=NI,∴.四边形HGJI为正 方形，PK=U=2,∴1Q=PG=JK=号(W-QK) 1.D解析：本题考查了绝对值的意义，熟练掌握 绝对值的定义是解题的关键.一2024的绝对值是 名，则rH=GM=aJ=NMI=in∠PiG-k 2024. 2.D解析：本题考查了二次根式有意义的条件， }设PG=HN=,则PH=GM=3,M2,-2+ 熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关 2t+1),N(0,-2+6t+1),P(-t,-2t+3t+1),把 键.式子√x-2有意义，x-2≥0，解得x≥2.只有 P(-,一2r+3+1D的坐标代入=2，得-2f+3+ D选项符合题意. 3.B解析：本题考查了合并同类项，熟练掌握其 1=2,解得4=26=一子（不合题意，合去）N05: 运算法则是解题的关键.2a2一a2=a2. 23