A3 南通市2024年中考数学试卷-【壹学知道】2025年江苏13大市中考数学精编28+6套卷

A3 南通市2024年中考数学试卷 (满分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项 是符合题目要求的) 1.如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作 A.-3℃ B.3℃ C.-5℃ D.5℃ 2.2024年5月，财政部下拨1582亿资金，引导和支持地方进一步巩固完善城乡统一、重在 农村的义务教育经费保障机制.将“1582亿”用科学记数法表示为 () A.158.2×109 B.15.82×1010 C.1.582×10 D.1.582×1012 计筑v27×, 的结果是 品外 A.9 B.3 C.33 D.3 4.如图是一个几何体的三视图，该几何体是 囚 A.球 B.棱柱 C.圆柱 D.圆锥 2 (第4题) (第5题)》 (第8题) 5.如图，直线a∥b,矩形ABCD的顶点A在直线b上.若∠2=41°，则∠1的度数为( 效 A.41° B.51 C.49 D.599 6.2021年，红星村水稻田平均每公顷产水稻7200kg,2023年平均每公顷产水稻8450kg 求红星村水稻田每公顷产量的年平均增长率.设红星村水稻田每公顷产量的年平均增长 率为x,则可列方程为 ( A.7200(1+x)2=8450 B.7200(1+2x)=8450 C.8450(1-x)2=7200 D.8450(1-2.x)=7200 翠 7.将抛物线y=x2十2x一1向右平移3个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为 A.(-4,-1) B.(-4,2) C.(2,1) D.(2,-2) 8.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的 直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为5，(m十)2= 21,则大正方形的面积为 () A.12 B.13 C.14 D.15 A3-1 9.甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，两地之间的距离为20k,两人前进路 程s(单位：km)与甲的前进时间t(单位：h)之间的对应关系如图所示.根据图像信息，下列 说法正确的是 () A.甲比乙晚出发1h B.乙全程共用2h C.乙比甲早到B地3h D.甲的速度是5km/h .s/km 20 甲 10 01234h (第9题) (第10题) 10.在△ABC中，∠B=∠C=a(0°<a<45°)，AH⊥BC,垂足为H,D是线段HC上的一个 动点（不与点H,C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2a得到线段DE,连接AE,则 下列判断正确的是 () 小明：当点E在△ABC的边AC上时，D为线段CH的中点； 小华：当AE最小时，AH=AB·AE A.小明的说法正确，小华的说法错误 B.小明的说法错误，小华的说法正确 C.小明、小华的说法都正确 D.小明、小华的说法都错误 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分） 11.因式分解：a.x-ay= 12.已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为6cm,则该圆锥的侧面积为 cm2 13.已知关于x的一元二次方程x2一2x十k=0有两个不相等的实数根，请写出一个满足题 意的k的值： 14.社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度.如图，他们在点B处测得旗杆顶部 A的仰角为60°，旗杆底部C到点B的距离为6m,则旗杆AC的高度为 m, B 9R2 (第14题) (第16题) (第17题) 15.若菱形的周长为20cm,且有一个内角为45°，则该菱形的面积为 cm2. 16.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：2)成反比例 关系，其函数图像如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器的额定电流I不能超过 10A,那么用电器可变电阻R应控制的范围是 17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5,正方形DEFG的边长为5，它的顶点D, E,G分别在△ABC的边上，则BG的长为 A3-2 18.在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0),B(0,3),直线y=kx十b(k,b为常数，且k>0)经过 点(1,0，并把△AOB分成两部分，其中包含原点部分的面积为，则k的值为 三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(12分) ()计算：2n(2m-)-m(m十1). (2)解方程：z千1-3千3 2.x 20.(10分)我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识.为了了解某小区家庭用水 情况，随机调查了该小区50户家庭去年的月均用水量（单位：t)并绘制成如下未完成的 统计图表， 50户家庭去年月均用水量频数分布表 50户家庭去年月均用水量扇形统计图 组别 家庭月均用水量/t 频数 C组 )组 A 2.0≤t<3.4 7 108 E组 A细 3.4t4.8 m B组 4.8≤t<6.2 n D 6.2t7.6 6 7.6t9.0 2 合计 50 根据上述信息，解答下列问题. (1)m= ,n= (2)这50户家庭去年月均用水量的中位数落在 组. (3)若该小区有1200户家庭，请估算去年月均用水量小于4.8t的家庭的数量. A3-3 21.(10分)如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E,且EF=DE.求证： CF∥AB. 22.(10分)南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1,2,3,4的四个出入口，某周六上午，甲、 乙两位志愿者随机选择该站一个出口开展志愿服务活动. (1)甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 (2)求甲、乙两位志愿者在同一出入口开展志愿服务活动的概率. 23.(10分)如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,⊙A与边BC相切于点D. (1)求图中阴影部分的面积. (2)设⊙A上有一动点P,连接CP,BP,当CP的长最大时，求BP的长. A3-4 24.(12分)某快递企业为提高工作效率，拟购买A,B两种型号的智能机器人进行快递分拣， 相关信息如下 信息一 A型机器人的数量台 B型机器人的数量台 总费用万元 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件. (1)求A,B两种型号的智能机器人的单价 (2)现该企业准备用不超过700万元的费用购买A,B两种型号的智能机器人共10台，则 该企业选择哪种购买方案能使每天分拣快递的件数最多？ 25.(13分)已知函数y=(x一a)2十(x一b)2(a,b为常数).设自变量x取x0时，y取得最 小值. (1)若a=-1,b=3,求xo的值. (2)在平面直角坐标系x0y中，点P(a,6)在双曲线y=一二上，且x=2,求点P到y轴 的距离。 (3)当a2一2a一2b+3=0,且1≤xo<3时，分析并确定整数a的个数. A3-5 26.(13分)已知在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,且AD=1.设∠BAD=a,当a= 60°，a=45°或α=30°时，分别如图1、图2、图3所示 图1 图2 图3 a 腰长(AB或AC的长) 两腰的和(AB十AC) 两腰的积(AB·AC) 60° 2 4 45° √2 22 2 309 23 4V3 4 3 3 (1)根据以上信息，请用含a的式子表示AB+AC与AB·AC之间的关系： 问题探究一 (2)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC,AD=1,当AB≠AC时，AB十AC 与AB·AC的关系是否依然成立？请加以证明. 问题探究二 (3)如图，在△ABC中，AB=AC=1,点D在AC上，且满足AD=BD=BC,E为BD上 一点，且CE=CD,过点E的任意一条直线分别交AB,BC于点M,N. 请补全图形并探究M六是香为定值，请加以证明。 A3-6$$\because \angle D A G + \angle A D G = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle A D G = \angle F A B ，$$ 次根式的乘法法则是解题的关键.√ $$\sqrt { 2 7 } \times \sqrt { \frac { 1 } { 3 } } =$$ $$\therefore \tan \angle F A B = \tan \angle A D G = \frac { F J } { A J } = \frac { 1 } { 2 } .$$ 设 GJ=m(0< $$\sqrt { 2 7 \times \frac { 1 } { 3 } } = \sqrt 9 = 3 .$$ \left.{m<2})， ，则 $$O J = 1 + m ， A J = 2 + m ， \therefore F J = \frac { 2 + m } { 2 } ，$$ 4.D 解析：本题考查了由三视图判断几何体的 $$\therefore F \left( m + 1 ， \frac { 2 + m } { 2 } \right) . \because E F \parallel A D ， \therefore \angle F E I = \angle A D G ，$$ 形状，能识别三视图表示的几何体是解题的关键.由主 $$\therefore \tan \angle F E I = \tan \angle A D G = \frac { F I } { E I } = \frac { 1 } { 2 } ， \therefore E I = 2 m . \because E G =$$ 视图和左视图均为三角形、俯视图是圆可判断出该几 何体为圆锥. $$E I + I G ， \therefore 2 m + \frac { 2 + m } { 2 } = - 4 a ， \therefore a = - \frac { 2 + 5 m } { 8 } \textcircled 1 . \therefore$$ 点 5.C 解析：本题考查了平行线的性质、矩形的性 质，正确作出辅助线构造内错角是解题的关键.如图， F在图像 $$C _ { 2 } \bot ， a \left( m + 1 + 1 \right) \left( m + 1 - 3 \right) = \frac { m + 2 } { 2 } ，$$ ，即 过点B作直线 a 的平行线，则有 ∠2=∠4，∠1=∠3. $$a \left( m + 2 \right) \left( m - 2 \right) = \frac { m + 2 } { 2 } . \therefore m + 2 e 0 ， \therefore a \left( m - 2 \right) = \frac { 1 } { 2 } \textcircled 2 .$$ ∵ ·四边形 ABCD 是矩形， $$\therefore \angle A B C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，即 ∠3+ $$\angle 4 = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle 1 + \angle 2 = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle 1 = 9 0 ^ { \circ } - \angle 2 = 9 0 ^ { \circ } -$$ 由①②可得 $$- \frac { 2 + 5 m } { 8 } \left( m - 2 \right) = \frac { 1 } { 2 } ，$$ 整理，得 m(5m- $$4 1 ^ { \circ } = 4 9 ^ { \circ } .$$ C 8)=0， ，解得 $$m _ { 1 } = 0$$ (不合题意，舍去)， $$， m _ { 2 } = \frac { 8 } { 5 } ， \therefore a =$$ -a $$- \frac { 5 } { 4 } ， \therefore$$ .图像 $$C _ { 2 }$$ 对应的函数表达式为 $$y = - \frac { 5 } { 4 } \left( x + \right.$$ D 4 B 3 $$1 \right) \left( x - 3 \right) = - \frac { 5 } { 4 } x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x + \frac { 1 5 } { 4 } .$$ 1 -b y y 6.A 解析：本题考查了由实际问题抽象出一元 二次方程，明确题意，列出相应的一元二次方程是解题 $$C _ { 1 }$$ E 的关键.根据题意可列方程为 $$7 2 0 0 \left( 1 + x \right) ^ { 2 } = 8 4 5 0 .$$ 7.D 解析：本题考查了函数图像的平移，熟练掌 握二次函数顶点式在平移过程中的变化规律“左加右 F 减，上加下减”是解题的关键.先将 $$y = x ^ { 2 } + 2 x - 1$$ 1化为 顶点式 $$y = \left( x + 1 \right) ^ { 2 } - 2 ，$$ ，向右平移 3 个单位长度后得到 A G J x $$y = \left( x - 2 \right) ^ { 2 } - 2 ，$$ ，此时顶点坐标为(2，一2) $$C _ { 2 }$$ 8.B 解析：本题考查了勾股定理、完全平方公 式、正方形面积的计算，根据完全平方公式推导出 $$m ^ { 2 } +$$ D 图2 $$n ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( m + n \right) ^ { 2 } + \left( m - n \right) ^ { 2 } \right]$$ ]是解题的关键. ∵ 小正方 形的面积为 $$\left( m - n \right) ^ { 2 } = 5 ， \left( m + n \right) ^ { 2 } = 2 1 ， \therefore$$ 大正方形的 A A3) 南通市2024年中考数学试卷 面积为 $$m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( m + n \right) ^ { 2 } + \left( m - n \right) ^ { 2 } \right] = \frac { 1 } { 2 } \times \left( 2 1 +$$ 1.A 解析：本题考查了正数和负数，理解“正” 和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量 5)=13. 是解题的关键.零上 $$2 ^ { \circ } C$$ 记作 $$+ 2 ^ { \circ } C ， \therefore$$ .零下 $$3 ^ { \circ } C$$ 记 9.D 解析：本题考查了一次函数的图像.由图 作 $$- 3 ^ { \circ } C .$$ 像可知，甲比乙早出发1h，故A选项错误；乙全程用 2.C 解析：本题考查了科学记数法.用科学记数 了 2-1=1(h)， ，故B选项错误；乙比甲早到4-2= 法表示较大的数的一般形式为 $$a \times { 1 0 ^ { n } } ，$$ ，其中 1≤|a|<10， 2(h)，故C选项错误；甲走完20 km共用了 4h，∴ .甲的 n等于原数的整数位数减1.1582亿= $$= 1 5 8 \quad 2 0 0 0 0 0 0 0 0 =$$ 速度是 20÷4=5(kmh)， 故D选项正确. $$1 . 5 8 2 \times { 1 0 ^ { 1 1 } } .$$ 10.C 解析：本题考查了旋转的性质、相似三角 3.B 解析：本题考查了二次根式的乘法，掌握二 形的判定与性质、等腰三角形“三线合一”的性质、三角 12 2 形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理、等腰三角 形“三线合一”的性质是解题的关键.如图，延长HE交 特征.设反比例函数的表达式为1一食，把点(9,4)的 AC于点F.由题意可知，∠HDE=2a.由DH=DE得 坐标代人，得k=4×9=36,∴.反比例函数的表达式为 ∠EHD=90°-a,∴.∠EHD+∠C=90°，∴.∠HFC= 1-股当=10A时，R==3.6(0,由图像可知， 90°，.HE⊥AC,即线段HE所在直线与△AHC的边 当1≤10A时，R≥3.62. AC上的高共线，当点E在△ABC的边AC上时， ↑A AE⊥HE.由∠HDE=2a,∠C=a得∠DEC=∠C, ∴DE=DC.又：DE=DH,∴.DH=DC,即D为线段 10 CH的中点.当AE取最小值时，AE⊥HE,易证 △AEH∽△AHC,从而得到AH=AE·AC=AE· AB.综上所述，小明、小华的说法都正确 03.69R2 17.3√2解析：本题考查了等腰直角三角形的性 质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定 理.如图，过点G作GH⊥AC于点H,则∠AHG= ∠GHD=90°.AC=BC=5,∠ACB=90°，.∠A 11.a(x-y)解析：本题考查了因式分解，利用 ∠B=45°，.∠AGH=90°-∠A=90°-45°=45°， 提公因式法进行因式分解即可.a.x一ay=a(x一y). 12.12π解析：本题考查了圆锥侧面积计算公 .HG=AH.,四边形DEFG是正方形，.DE=GD, ∠EDG=90°，∴∠EDC+∠GDH=90°.又，∠GHD= 式，熟记公式S侧=πrl是解题的关键.将r=2cm,l= 90°，∴.∠DGH+∠GDH=90°，.∠EDC=∠DGH.在 6cm代入公式，得S侧=π×2×6=12π(cm). 13.0(答案不唯一，满足<1即可)解析：本题 ∠C=∠DHG=90°， △ECD和△DHG中，∠EDC=∠DGH,'.△ECD≌ 考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用一元二次 DE-GD. 方程根的判别式是解题的关键.由题意可知，b一 4ac=(-2)2-4×1×k=4-4k>0,解得k<1. △DHG(AAS),.DC=GH.设AH=x,则GH=DC=x. .AC=AH++HD+DC=5,..HD=AC-AH-DC=5- 14.63解析：本题考查了锐角三角函数，熟练 x-x=5-2.x.在Rt△DGH中，由勾股定理得GD= 运用正切公式是解题的关键.：tamB=tan60-C, AC GH+HD,即(5)2=x2+(5-2x)2,解得x=2, ∴.AC=BC·tan60°=6X√3=6√3(m). AH=GH=2,∴.AG=2√2.在Rt△ABC中，由勾股 15.25,2解析：本题考查了菱形的性质、菱形面 定理得AB=√AC+BC=√5+5=5√2，∴.BG= 2 AB-AG=5√2-22=32 积的计算，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.如图， 过点B作BE⊥AD于点E,则∠BEA=90°.，菱形 ABCD的周长为20cm,.AB=AD=5cm.,∠A= G H 45°，.∠ABE=90°-∠A=90°-45°=45°=∠A, ·BE=AE=52 2 cm,∴.菱形ABCD的面积为AD· BE=5X5E_25,2 解析：本题考查了三角形面积的计算、用 2 (cm2). 18.号 待定系数法求一次函数的表达式.如图，设直线y= kx+b与直线AB的交点为D,将点(1,0)记为点C,过 点D作DE⊥AC于点E.A(3,0),B(0,3),.OA= C OB=3,直线AB的函数表达式为y=一x十3，∴SB= 16.R≥3.62解析：本题考查了用待定系数法 求反比例函数的表达式、反比例函数图像上点的坐标 0A·0B=号X3X3=号.：包含原点部分的面积为 13 只Sm=号4CDE=-9-.又AC=2. 位数是第25个和第26个数据的平均数，第25个和 第26个数据都在B组，∴.它们的平均数也在B组，即 DE=.令y=-十3=，解得=号点D的坐 这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组.故答 案为B. 标为(？，)将C1,0),D(,)的坐标代人y (3)1200×7+20=648(户)，答：去年月均用水量 50 3 0=k+b, k= 5 小于4.8t的家庭大约有648户 kx+b,得39 解得 4+6, 3 6=- 21.解析：本题考查了全等三角形的判定与性质、 5 平行线的判定.先根据“SAS”证明△ADE≌△CFE,然 后利用“内错角相等，两直线平行”来证明CF∥AD,又 由点D在边AB上可知，AD与AB共线，从而得出 CF∥AB. 证明：E是边AC的中点， ..AE=CE. 4x 在△ADE和△CFE中， (AE=CE, 19.解析：本题考查了整式的混合运算、分式方程 ∠AED=∠CEF, 的解法.(1)先去括号，再合并同类项即可：(2)根据解 DE=FE, 分式方程的步骤分步求解并检验即可： .∴.△ADE2△CFE(SAS), 解：(1)原式=n-2m-m2-m=-3n. .∠A=∠ECF, (2)去分母，得3x-3(x十1)=2x, .CF∥AD. 去括号，得3.x-3.x-3=2.x, 又点D在边AB上， 移项，得3.x一3x-2x=3, ,AD与AB共线， 合并同类项，得一2x=3, .CF∥AB 系数化为1，得x=一昌 22.解析：本题考查了概率的求法.(1)直接利用 检验：当x=-2时，3(+10≠0， 概率公式即可得出答案；(2)先列表或画树状图，列出 所有等可能的结果，再统计出两人在同一出人口开展 “=一是原分式方程的解。 志愿服务活动的结果数，代入概率公式即可求出答案. 解：(1)：总共有4个出入口，甲在每个出入口开 原分式方程的解为=一 展志愿服务活动的可能性均相等，∴甲在2号出入口 20.解析：本题考查了频数分布表、扇形统计图、 开展志愿服务活动的概率为子放答案为 用样本估计总体.(1)先由频数分布表求出m+n的 (2)列表如下，由表可知，共有16种等可能的结 值，再由扇形统计图求出的值，从而求出m的值： 果，其中甲、乙两位志愿者在同一出入口开展志愿服务 (2)将这50个数据按从小到大的顺序排列，取中间两 活动的结果有4种，.甲、乙两位志愿者在同一出入口 个数的平均数，即为这50个数据的中位数，从而得出 这个中位数所在的组别；(3)先算出样本中月均用水量 开展志隘服务活动的概率为清一是 小于4.8t的家庭所占的比例，再乘1200即可得出答 1 2 3 4 案 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 解：(1)由频数分布表可知，7+m十n十6十2=50， (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) m十n=35:由扇形统计图可知n=50×8器=15， 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) ∴.m=20.故答案为20,15. 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (2)将这50个数据按从小到大的顺序排列，则中 23.解析：本题考查了切线的性质、不规则图形面 14 积的计算、勾股定理及其逆定理的应用.(1)先由勾股 x+3y=260, x=80, 根据题意，得 解得 定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，且∠BAC= (3x+2y=360, y=60. 90°，从而求出△ABC的面积，再由切线的性质得出 答：A,B两种型号的智能机器人的单价分别为 AD既是⊙A的半径，又是△ABC的边BC上的高，记 80万元/台，60万元/台. ⊙A与边AB,AC分别交于点E,F,用等面积法求出 (2)设购买A种型号智能机器人x台，则购买B种 AD的长，从而求出扇形AEF的面积，最后用△ABC 型号智能机器人(10一x)台，每天分拣快递总件数为 的面积减去扇形AEF的面积即可得出阴影部分的面 22x+18(10-x)=(180+4x)(万件). 积；(2)先证明∠BAP=90°，再利用勾股定理求出BP 根据题意，得80x十60(10-x)≤700，解得x≤5. 的长 4>0,.当x=5时，180十4x取得最大值，即购 解：(1)，AB=3,AC=4,BC=5, 买A种型号智能机器人5台，B种型号智能机器人 ..AB+AC=BC, 5台，能使每天分拣快递的件数最多. ∴.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°， 25.解析：本题是一道综合题，考查了二次函数的 性质、反比例函数的性质、非负数的性质和不等式相关 Sm=2AB·AC=号X3X4=6. 知识.将函数y=(.x一a)2十(x一b)2化为一般式为y= ,⊙A与边BC相切于点D, 2.x2-2(a+b)x+(a2十b),由二次函数的性质可得 ∴.AD既是⊙A的半径，又是△ABC的边BC上 =兰(1)将。=-1，=3代人，求出的值： 的高， Sa-bC·AD. (2)由点P(a,b)在双曲线y=-2上可知ab=-2,又 AD-2誉=2X612 由=2得出a十b=1,从而求出a的值：3)将d- BC 55 记⊙A与边AB,AC分别交于点E,F,则AE= 24一2b十3=0变形为“中_a十3，然后根据1≤，< 2 4 AF-AD=12. 3求出在b的不同取值范围内a所能取的值. 5 解：将函数y=(x-a)2+(x一b)2整理，得y=2z2一 90° 2(a+b)x+(a2+b). 25 自变量x取x,时，y取得最小值， ∴S洞影郑分=S么AN一S0形A=6一25元. 36 ∴x,=2(a+)=a+6 2×2 2 (2)当CP的长最大时，P是线段CA的延长线与 (1).‘a=-1,b=3, ⊙A的交点. ,∠CAB=90°，∴.∠BAP=90° =ab=1)+3=1. 2 2 结合1D可知，AP号 ②)：点P(a,b)在双曲线y三一兰上日 在Rt△BAP中，由勾股定理得BP=√JAP十AB= .∴.ab=-2.① 1 √()+-3厘 =2’ 5 24.解析：本题考查了二元一次方程组与一元一 -安 次不等式的实际应用以及一次函数的性质.(1)根据信 ..a+b=1, 息一列出二元一次方程组解决问题；(2)先根据信息二 ∴.b=1-a.② 列出每天分拣快递的总件数，然后根据题意求出自变 将②代入①，得a(1-a)=-2, 量的取值范围，再由一次函数的增减性，选出分拣快递 整理，得a2-a一2=0， 件数最多的方案。 解得a=2或a=一1. 解：(1)设A,B两种型号的智能机器人的单价分 ∴点P到y轴的距离为2或1. 别为x万元台，y万元/台. (3).a2-2a-2b+3=0, 15 =a+b-a2+3 ∴.AB+AC=2cosa·AB·AC. 2 4 故答案为AB+AC=2cosa·AB·AC 1≤x0<3,.1≤a2<9, (2)成立.证明如下：如图1，过点D分别作DE⊥ ∴.整数a可取-2，-1,1或2. AB于点E,作DG⊥AC于点G,过点C作CF⊥AB于 .a2-2a-2b+3=0, 点F .(-2)2-4×1×(-2b+3)≥0， 解得b≥1. 将a=-1代入1≤3中， 解得3≤b<7,符合b≥1的条件； 将a=1代入1长生<3中， D 解得1≤b<5,符合b≥1的条件： 图1 将a=-2代入1士<3中， ,AD平分∠BAC,∠BAC=60°， ∴.∠BAD=∠CAD=30°，DE=DG, 解得4≤b<8,符合b≥1的条件： 将a=2代入1<空<3中， DE-DG-7AD-2. 2 解得0≤b<4,∴.1≤b<4. Sam=Sam十San=gAB,DE+号AC 综上所述，当b<1或b≥8时，a无解；当1≤b<3 DG-(AB+AC). 时，a可取1或2；当3≤b<4时，a可取-1,1或2：当 4≤b<5时，a可取-1,1或-2；当5≤b<7时，a可取 ,∠CAF=60°， -1或-2；当7≤b<8时，a=-2. 26.解析：本题是一道综合探究题，考查了等腰三 CP-AC.sin o'C. 角形的性质、角的平分线的性质、等积法、相似三角形 Sa=AB.CF-AB·AC 41 的判定与性质等知识.(1)由锐角三角函数求出AB, AC的长，然后得到AB十AC和AB·AC的数量关系； ÷AB+ACO)=9AB·AC. 4 (2)过点D分别作DE⊥AB于点E,作DG⊥AC于点 即AB+AC=2cos30°·AB·AC. G,过点C作CF⊥AB于点F,根据SAARC=SAABD十 (3)设∠A=a. Sm和Sam=AB·CP,分别用含AB+AC和AB· .AD=BD, AC的式子表示S△Ac,从而得出AB十AC和AB·AC ∴.∠ABD=∠A=a, 的数量关系；(3)由于△ABC,△BCD,△CDE的三个 .∠BDC=∠ABD+∠A=2a. 内角都是36°，72°，72°，则△BMN就是(2)小题中的模 .BD=BC, 型，根据第(2)小题结论和方法，可以求出BM+BN与 .∠C=∠BDC=2a, BM·BN的数量关系，从面证得成+品为定值。 1 ∴.∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-4a. .AB-AC. 解：(1)在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC, .∠ABC=∠C, .AD⊥BC 即180°-4a+a=2a, tcos∠BAD=cos&=B, 解得a=36°， ∴AC=AB=AD=1 ∴.∠A=∠ABD=36°，∠DBC=180°-4a=36°， cos a cos a .∠DBC=∠CAB. AB+AC-。+aaAB·AC 设BC=x,则AD=BD=x,CD=1-x. 1.1 :∠C=∠ABC=2a,∠BDC=∠ACB=2a, cos a cos a' .△ABC△BCD, 16 0器 过点N作NK⊥AB于点K,则NK=BN· sin72°， ∴.BC=AB·CD, 即x2=1×(1-x),整理，得x2十x-1=0, :Ss=2BM.NK=号BM·BN·sim72, 解得x=一1十5 2 5,x,=125(舍去)， 2 ÷2BE·sn3S.(BM+BN)=号BM.BN· BC=5-1 sin72°， 2 .CD=1-5-1_3-5 别-s sin 72 2 21 在Rt△ABQ中，AQ=AB·sin72°=sin72. 如图2，以点C为圆心、CD的长为半径画圆弧交 在Rt△BEQ中，EQ=BE·sin36°， BD于点E,连接CE,过点E作直线交AB于点M,交 sin72° BEsin 36EQ 8A陆0-1+品 EQ BC于点V. BE平分∠ABC, 焉謁0 又：BQ-2BC-51 4 1+品-1+号告-6+5 5-15-1(5-1)(W5+1) 图2 5+35+5+3_45+8=2+5, 4 4 .CD=CE, ∴.∠DEC=∠EDC=72°， ∴+BN-2+后，为定值 1 ∴.∠DCE=180°-∠DEC-∠EDC=180°-2X A4无锡市2024年中考数学试卷 72°=36°， ∴.∠ECB=∠ACB-∠DCE=72°-36°=36°， 1.A解析：本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定 ∴.CE平分∠ACB. 义是解题的关键.：乘积是1的两个数互为倒数， ,∠ABC=72°，∠ABD=36°， “4的倒数是子 .∠EBC=36°， 2.D解析：本题考查了二次根式有意义的条件， ·BE=EC=CD=3-5 2 掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.由 过点A作AQ⊥BC于点Q. 题意得，x-3≥0，解得x≥3. .AB=AC, 3.A解析：本题考查了分式方程的解法，熟练掌 ..BQ=CQ 握解分式方程的步骤是解题的关键.原方程两边同时 .点A,Q在边BC的垂直平分线上 乘x(x十1)，得x十1=2x,移项、合并同类项，得-x 又.BE=EC, 一1，系数化为1，得x=1.检验：当x=1时，x(x+1)≠ 点E在边BC的垂直平分线上， 0,∴.原分式方程的解是x=1. ∴A,E,Q三点共线 4.C解析：本题考查了平均数与中位数，熟练掌 过点E作EH⊥AB于点H,则EH=BE·sin36°， 握平均数与中位数的求解方法是解题的关键.这组数 EQ=BE·sin36°， 据的平均数是号×(31+32+35+37+35)=号× 六Sa=SAE+SAy=BM,EH+BN·EQ 2 2 170=34;这组数据按照从小到大的顺序排列为31， 32,35,35,37,中位数为第3个数，即中位数为35. 2(BM·BE·sin36+BN·BE·sn36)= 5.C解析：本题考查了中心对称图形，熟练掌握 sin36°·(BM+BV). 中心对称图形的特征是解题的关键.在平面内，把一个 17