专题03 圆中常见的多解问题（举一反三专项训练）数学沪教版九年级下册

专题03 圆中常见的多解问题（举一反三专项训练） 【沪教版】 【题型1 由点与圆的位置关系引发多解问题】 1 【题型2 由点在弧（或弦）上的位置关系引发多解问题】 1 【题型3 由圆心与弦的位置关系引发多解问题】 2 【题型4 由一弦对两弧引发多解问题】 2 【题型5 由外心与三角形位置关系引发多解问题】 3 【题型6 由直线与圆的位置关系引发多解问题】 3 【题型1 由点与圆的位置关系引发多解问题】 【例1】已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段，线段，那么直线AB与⊙O的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【变式1-1】若所在平面内一点P到上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径是（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．10或6 【变式1-2】⊙O的半径为10cm, A是⊙O上一点, B是OA中点, C点和B点的距离等于5cm, 则C点和⊙O的位置关系是 （    ） A．C在⊙O内 B．C在⊙O上 C．C在⊙O外 D．C在⊙O上或C在⊙O内 【变式1-3】在已知线段，且、两点都在的外，圆上动点与点的最小距离为6，与点的最小距离为4，若为直角三角形，则的半径 ． 【题型2 由点在弧（或弦）上的位置关系引发多解问题】 【例2】已知⊙O的半径为7，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为4，则⊙O上到直线l的距离为3的点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】如图，分别与相切于两点，且，若点是上异于点的一点，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】在半径为的中，弦，点在弦上，且，则 ． 【变式2-3】）的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为 ． 【题型3 由圆心与弦的位置关系引发多解问题】 【例3】（2025·江西宜春·模拟预测）已知为的半径，是的弦，且，，点P在上，若点P到直线的距离为2，则的度数为 ． 【变式3-1】是的弦，分别是的中点，若，则的度数为 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·广西崇左·期末）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升______． A．70 B．70或170 C．100 D．100或200 【变式3-3】如图，的直径为10，A、B、C、D是上四个动点，且，，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是 ． 【题型4 由一弦对两弧引发多解问题】 【例4】圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（      ） A．30° B．60° C．150° D．150°或30° 【变式4-1】圆的一条弦将圆分成弧长之比为1：5的两条弧，则这条弦所对圆周角的度数是 ． 【变式4-2】已知的直径长为，弦长为，那么弦所对的圆周角的度数等于 ． 【变式4-3】已知等腰内接于半径为的，如果底边的长为，那么边上的高为 ． 【题型5 由外心与三角形位置关系引发多解问题】 【例5】PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为 ． 【变式5-1】点是等腰的外心，且，为底边，则的度数为（    ） A．30° B．30°或150° C．150° D．60°或120° 【变式5-2】已知，在中，，，以为直径的圆经过的外心，则的长为 ． 【变式5-3】若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【题型6 由直线与圆的位置关系引发多解问题】 【例6】如图，正方形的边长为8，M是的中点，P是边上的动点，连接，以点P为圆心，长为半径作． （1）当时，点C在 ；(填“上”“内”或“外”) （2）当与正方形的边相切时，的长为 ． 【变式6-1】在中，，，．以点为圆心，为半径的圆作⊙C，若边与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ． 【变式6-2】如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着轴向下运动，当⊙C与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．3秒或6秒 B．6秒 C．3秒 D．6秒或16秒 【变式6-3】如图，半径为的与边长为的正方形的边相切于E，点F为正方形的中心，直线过点．当正方形沿直线以每秒的速度向左运动 秒时，与正方形重叠部分的面积为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆中常见的多解问题（举一反三专项训练） 【沪教版】 【题型1 由点与圆的位置关系引发多解问题】 1 【题型2 由点在弧（或弦）上的位置关系引发多解问题】 3 【题型3 由圆心与弦的位置关系引发多解问题】 6 【题型4 由一弦对两弧引发多解问题】 10 【题型5 由外心与三角形位置关系引发多解问题】 13 【题型6 由直线与圆的位置关系引发多解问题】 17 【题型1 由点与圆的位置关系引发多解问题】 【例1】已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段，线段，那么直线AB与⊙O的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离． 【详解】解：∵⊙O的半径为10cm，线段，线段， ∴点A在以O为圆心，10cm长为半径的圆上，点B在以O圆心，6cm长为半径的⊙O上 当时，如左图所示，由知，直线AB与⊙O相切； 当AB与OB不垂直时，如右图所示，过点O作于点D，则，所以直线AB与⊙O相交； ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与半径的大小，从而可确定位置关系． 【变式1-1】若所在平面内一点P到上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径是（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．10或6 【答案】C 【分析】由于点与的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：设的半径为， 当点在圆外时，； 当点在内时，． 综上可知此圆的半径为3或5． 故选：C． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，对题目进行分类讨论，然后求得结果是解题的关键． 【变式1-2】⊙O的半径为10cm, A是⊙O上一点, B是OA中点, C点和B点的距离等于5cm, 则C点和⊙O的位置关系是 （    ） A．C在⊙O内 B．C在⊙O上 C．C在⊙O外 D．C在⊙O上或C在⊙O内 【答案】D 【详解】试题解析：因为⊙O的半径是10cm，A是圆上一点，所以OA=10cm， 又B是OA的中点，所以BA=5cm． 而BC=5cm，所以点C应在以B为圆心，5cm为半径的⊙B上． ⊙B上的点除点A在⊙O上外，其它的点都在⊙O内． 故选D． 【变式1-3】在已知线段，且、两点都在的外，圆上动点与点的最小距离为6，与点的最小距离为4，若为直角三角形，则的半径 ． 【答案】2或20 【分析】设与交于点，与交于点，分当时，当时，当时三种情况讨论，再根据勾股定理，列方程求解即可． 【详解】解：设与交于点，与交于点， 当时，如图， 圆上动点与点的最小距离为6，与点的最小距离为4，    则， 在中，， ， （舍去）； 当时，如图，圆上动点与点的最小距离为6，与点的最小距离为4，      则， 在中，， ， ， 当时，为斜边，， ， 故此情况不成立，舍去． 综上所述：的半径的值为2或20． 故答案为：2或20． 【点睛】本题考查了点与圆的关系，勾股定理，解一元二次方程等知识，运用分类讨论的思想方法是本题的关键． 【题型2 由点在弧（或弦）上的位置关系引发多解问题】 【例2】已知⊙O的半径为7，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为4，则⊙O上到直线l的距离为3的点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线间的距离相等，先过点D作AB⊥OC，即可求得⊙O上到直线l的距离为3的点的个数． 【详解】解：如图， ∵⊙O的半径为7，点O到直线l的距离为4， ∴CE＝3， 过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，且DE＝3， ∴⊙O上到直线l的距离为3的点为A、B、C， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了与圆有关的知识点，准确利用平行线的性质进行求解是解题的关键． 【变式2-1】如图，分别与相切于两点，且，若点是上异于点的一点，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质根据、分别与相切于、两点可得，即可求出，从而求出的大小，求出的度数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：、分别与相切于、两点， ， ， ， 当在优弧上时，， 当在劣弧上时，， 的大小为或， 故选：C． 【变式2-2】在半径为的中，弦，点在弦上，且，则 ． 【答案】或 【分析】作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可． 【详解】作OC⊥AB于点C， ∴AC=AB=16， OC==12，又OP=15， ∴PC==9， 当点P在线段AC上时，AP=16−9=7， 当点P在线段BC上时，AP=16+9=25. 故选7或25. 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，解题的关键是熟练的掌握垂径定理的相关知识点. 【变式2-3】）的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为 ． 【答案】或 【分析】分①点在线段上，②点在线段上两种情况，连接，先利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在线段上时，连接， 的直径， ， ， ， ， ， ； ②如图，当点在线段上时，连接， 同理可得：， ， ； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键． 【题型3 由圆心与弦的位置关系引发多解问题】 【例3】（2025·江西宜春·模拟预测）已知为的半径，是的弦，且，，点P在上，若点P到直线的距离为2，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】作于H，由垂径定理得，可得，．由点P在上，且点P到直线的距离为2，可知满足条件的P点有3个．延长交于，过点O作直线交于，．根据等腰三角形的性质分别求解即可解决问题． 本题考查圆垂径定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，作于H， 则， ∵， ∴， ∴． ∵点P在上，且点P到直线的距离为2， ∴满足条件的P点有3个． 延长交于，此时， 过点O作直线交于，，此时，到直线的距离为2． 连接，，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ∴． 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【变式3-1】是的弦，分别是的中点，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分圆心在∠BAC的内部和外部两种情况，根据垂径定理得出直角，进行计算即可． 【详解】解：∵ 分别是的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠AMO=∠ANO=90°， 如图1，∵∠ADM=∠ODN， ∴∠MON=∠BAC=40°； 如图2 ∠MON=360º-90º-90º-40º=140°， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂径定理，三角形内角和，四边形内角和等知识，解题关键是利用垂径定理得出90°，根据圆心的位置不同分类讨论． 【变式3-2】（24-25九年级上·广西崇左·期末）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升______． A．70 B．70或170 C．100 D．100或200 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，分水面在圆心下方和上方，两种情况，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示：， 由题意， 根据垂径定理，得，， ∵直径为，半径， ∴在中，， ∴ ∴在中，， ∴， ①当在圆心下方时，， ②当在圆心上方时，， 故选：B． 【变式3-3】如图，的直径为10，A、B、C、D是上四个动点，且，，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】连接、、、，利用垂径定理求出、，再根据在圆心的同侧和两侧，以及E、O、F三点共线时线段最长或最短进行求解即可． 【详解】连接、、、，如图所示： ∵的直径为10， ∴， ∵点E、F分别是弦AB、CD的中点，，， ∴，， ∴， 当AB、CD位于O的同侧时，， E、O、F三点共线时，线段EF的长度最短， 当AB、CD位于O的两侧时，， E、O、F三点共线时，线段EF的长度最长， ∴线段EF的长度的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，以及线段的最值问题．熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 【题型4 由一弦对两弧引发多解问题】 【例4】圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（      ） A．30° B．60° C．150° D．150°或30° 【答案】D 【分析】首先根据题意画出图形，由某个圆的弦长等于它的半径，△OAB是等边三角形，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理与圆的内接四边形的性质，求得答案． 【详解】如图， 根据题意得：OA=AB=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠ACB=∠AOB=30°， ∴∠ADB=180°−∠ACB=150°. 即这条弦所对的圆周角的度数为：30°或150°. 故答案为30°或150°. 【点睛】本题考查圆周角定理与圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆周角定理与圆的内接四边形的性质. 【变式4-1】圆的一条弦将圆分成弧长之比为1：5的两条弧，则这条弦所对圆周角的度数是 ． 【答案】30°或150° 【分析】根据题意，画出图形，根据弧和圆心角的关系即可求出∠AOB，然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出∠APB，再利用圆的内接四边形的性质即可求出∠AQB． 【详解】解：如图所示，弦AB将圆分成弧长之比为1：5的两条弧，则这条弦所对圆周角是∠APB和∠AQB ∴∠AOB=×360°=60° ∴∠APB=∠AOB=30° ∴∠AQB=180°-∠APB=150° 故答案为：30°或150°． 【点睛】此题考查的是圆的综合题型，掌握弧和圆心角的关系、同弧所对的圆周角是圆心角的一半和圆的内接四边形的性质是解决此题的关键． 【变式4-2】已知的直径长为，弦长为，那么弦所对的圆周角的度数等于 ． 【答案】或 【分析】此题考查了求圆周角；直径所对圆周角是直角，勾股定理求出，证得为等腰直角三角形即可解得． 【详解】解：如图, 连接， 的直径 , 根据勾股定理得 ∴ 为等腰直角三角形 ， 弦所对的圆周角的度数等于或者． 【变式4-3】已知等腰内接于半径为的，如果底边的长为，那么边上的高为 ． 【答案】或 【分析】分点O在△ABC内部和点O在△ABC外部两种情况求边上的高即可. 【详解】分为两种情况： ①当O在△ABC内部时，如图，连接OB、OA，延长AO交BC于D， ∵⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，BC=8， ∴AD⊥BC，BD=DC=AB=4， 在Rt△OBD中，由勾股定理得：OD==3， ∴BC边上的高AD=AO+OD=5+3=8； ②当O在△ABC外部时，如图，连接OB、OA，AO交BC于D， 此时AD=AO-OD=5-3=2； 故答案为8或2． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、三角形的外接圆、垂径定理及勾股定理的应用，关键是能进行分类讨论求出符合条件的所有情况． 【题型5 由外心与三角形位置关系引发多解问题】 【例5】PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为 ． 【答案】65°或115° 【分析】根据题意画出符合题意的图形，分别求出∠AOB，再根据切线的性质求出∠COD的度数． 【详解】如图，连接OA、OB、OE ∵PA，PB是⊙O的切线 ∴OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠OAP=∠OBP=90° ∵∠APB=50°， ∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130° ∵CD是⊙O的切线 ∴OE⊥CD ∵∠CEO=∠DEO=90° ∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点， ∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE， ∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE， ∴∠AOC=∠EOC 同理可得∠BOD=∠EOD ∴∠COD=∠EOC+∠EOD=∠AOE+∠BOE=∠AOB=65° 如图，连接OA、OB、OE 同理可得∠AOB=130° 同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD=∠AOE+∠BOE ∴∠COD=（360°-130°）=115° 故答案为：65°或115°． 【点睛】此题主要考查考查了切线的性质，切线长定理，三角形的内角和等知识点的应用，解题的关键是根据题意分情况作图求解． 【变式5-1】点是等腰的外心，且，为底边，则的度数为（    ） A．30° B．30°或150° C．150° D．60°或120° 【答案】B 【分析】根据题意画出等腰外接圆，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 是的外心，， ，， 的度数为：或． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外心的定义，掌握圆周角定理是解题的关键． 【变式5-2】已知，在中，，，以为直径的圆经过的外心，则的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况画出图形：情况1为当外心在内部时，情况2为当外心在外部时，根据圆心角与圆周角的关系易得为或，再作出边上的高，利用勾股定理解直角三角形，求出的长． 【详解】解：设是以为直径的圆，点O是的外心． 情况1，如图，当点O在内部时，根据圆心角与圆周角的关系得：， 作于点E，则是等腰直角三角形，， 由勾股定理有，即，， ， ； 情况2，如图，当点O在外部时，根据圆心角与圆周角的关系得： ， 作的延长线于点F，则是等腰直角三角形，， 由勾股定理有，即，， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、勾股定理解直角三角形、等腰直角三角形的性质等，灵活运用相关知识并画出图形分类讨论是解决问题的关键． 【变式5-3】若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可．本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或 【题型6 由直线与圆的位置关系引发多解问题】 【例6】如图，正方形的边长为8，M是的中点，P是边上的动点，连接，以点P为圆心，长为半径作． （1）当时，点C在 ；(填“上”“内”或“外”) （2）当与正方形的边相切时，的长为 ． 【答案】 内 3或/或3 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，切线的性质，分类思想． （1）根据勾股定理，求的半径，计算，比较与半径的大小即可解答． （2）分与两种情况，运用勾股定理列式计算即可． 【详解】（1）∵正方形的边长为8，M是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， 故点C在圆的内部， 故答案为：内． （2）当与相切时， 设， 则，， ∴， 解得， 经检验是方程的根且符合题意； 当与相切时，设切点为K， 则， ∵正方形的边长为8，M是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设， 则， ∴， 解得或（舍去）， 经检验符合； 故答案为：3或． 【变式6-1】在中，，，．以点为圆心，为半径的圆作⊙C，若边与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 此题注意考虑两种情况，因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上. 【详解】解：过点作于点， ∵在中，，，， ， ， 如图，当与和相切时，则的半径为； 当和相交，且只有一个交点在斜边上时，则 ． 故半径r的取值范围是或． 故答案为或． 【变式6-2】如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着轴向下运动，当⊙C与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．3秒或6秒 B．6秒 C．3秒 D．6秒或16秒 【答案】D 【详解】试题解析：如图， ∵x=0时，y=-4， y=0时，x=3， ∴A（3，0）、B（0，-4）， ∴AB=5， 当C在B上方，直线与圆相切时，连接CD， 则C到AB的距离等于1.5， ∴CB=1.5×=2.5； ∴C运动的距离为：1.5+（4-2.5）=3，运动的时间为：3÷0.5=6； 同理当C在B下方，直线与圆相切时， 连接CD，则C运动的距离为：1.5+（4+2.5）=8，运动的时间为：8÷0.5=16． 故选D． 【变式6-3】如图，半径为的与边长为的正方形的边相切于E，点F为正方形的中心，直线过点．当正方形沿直线以每秒的速度向左运动 秒时，与正方形重叠部分的面积为． 【答案】1或． 【分析】将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论． 【详解】解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA，OB，AB交OF于点E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OAB-S△OAB 由题意可知：OA=OB=AB=2，OF⊥AB ∴△OAB为等边三角形 ∴∠AOB=60°，OE⊥AB 在Rt△AOE中，∠AOE=30°，∴AE=，OE= ∴S扇形OAB-S△OAB ∴OF= ∴点F向左运动个单位 所以此时运动时间为秒 ②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC，OD，CD交OF于点E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OCD-S△OCD 由题意可知：OC=OD=CD=2，OF⊥CD ∴△OCD为等边三角形 ∴∠COD=60°，OE⊥CD 在Rt△COE中，∠COE=30°，∴CE=，OE= ∴S扇形OCD-S△OCD ∴OF= ∴点F向左运动个单位 所以此时运动时间为秒 综上，当运动时间为1或秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为 故答案为：1或． 【点睛】本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情况讨论是本题的解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $