北京市东直门中学2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷

北京市东直门中学2025－2026学年度第一学期期中考试 初三数学 考试时间：120分钟 总分100分 第一部分 一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 打开电视机正在播放广告 C. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D. 抛一枚硬币正面向上 3. 如图，是上的四点，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 4. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象的开口向下 B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当时，y取最大值 D. 当时，y随x的增大而减小 5. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在同一条直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知平行四边形中，点在上，且，与交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若是方程的一个根，则的值为______． 10. 请写出一个开口向下，且经过点（0，－1）的二次函数解析式：__________． 11. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部反面向上的概率是______． 12. 如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点是网格线交点，则______． 13. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝________． 14. 当时，二次函数的最大值为8，则______． 15. 如图，是的直径，交于点C，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为6，则长的最大值是__________________． 16. 某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 景点 A B C D 工人数 4 3 2 5 天数 3 4 5 2 公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作． （1）若，则n的最小值是______； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为______元（用含a的式子表示）． 三、解答题（共68分，第17题5分，第18题4分，第19题6分，第20－22题每题5分，第23－26题每题6分，第27－28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 已知：如图，A为上的一点． 求作：过点A且与相切的一条直线． 作法：①连接OA； ②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB； ③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）； ④作直线PA． 直线PA即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接BA． 由作法可知． ∴点A在以OP为直径的圆上． ∴（ ）（填推理的依据）． ∵OA是的半径， ∴直线PA与相切（ ）（填推理的依据）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）①以点B为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； ②以原点O为旋转中心，画出将按逆时针方向旋转后的； （2）在（1）的条件下，可以由绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为 ，旋转角的度数为 ． （3）的外接圆半径长 ． 20. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 21. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围______． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根小于2，求的取值范围． 23. 阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法： （1）将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 步； （2）中间小正方形的面积为 平方步； （3）若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 ； （4）你依据（2）（3）列出关于x的方程，并求矩形田地的宽． 24. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点G，连接．若，求的长． 25. 图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与直线交于点，点是抛物线上不与重合的一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点． （1）求的值及抛物线的解析式； （2）设线段的长为． ①当时，求与的函数解析式； ②当随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 27. 如图，在正方形中，为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）取的中点，连接，用等式表示线段与线段之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在点，使得是直角三角形且，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度． （1）如图，的半径为2． ①在点中，点_____________是的关联点且其与的关联角度大于，该点与的关联角度为_________________°； ②点在第一象限，若对于任意长度小于1的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为________________； （2）已知点，的半径为4，若线段上所有的点都是的关联点，且这些点与的关联角度都小于等于，直接写出的取值范围． 北京市东直门中学2025－2026学年度第一学期期中考试 初三数学 考试时间：120分钟 总分100分 第一部分 一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 第二部分 二、填空题（共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】（答案不唯一） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】或 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. 8 ②. 三、解答题（共68分，第17题5分，第18题4分，第19题6分，第20－22题每题5分，第23－26题每题6分，第27－28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】， 【18题答案】 【答案】（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理 【19题答案】 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2），； （3） 【20题答案】 【答案】分米 【21题答案】 【答案】（1）见解析， （2） 【22题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【23题答案】 【答案】（1）60 （2）144 （3） （4）；矩形田地的宽为24步 【24题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【25题答案】 【答案】（1）①；②不能 （2） 【26题答案】 【答案】（1）， （2）①；②或 【27题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），证明见解析 【28题答案】 【答案】（1）①，；② （2）的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $