九年级数学上学期第二次月考·培优卷（苏科版，举一反三，测试范围：第1章 一元二次方程～第7章 锐角三角函数）

九年级数学上学期第二次月考·培优卷 【苏科版】 测试范围：第1章 一元二次方程~第7章 锐角三角函数 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共27题，单选6题，填空10题，解答11题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若成立，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象与x轴有两个交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 6．如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点,．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）用配方法解方程时，配方后得到，则 ． 8．一组2，，y，14中，平均数是12，唯一的众数是14，则数据的中位数是 ． 9．（2025·江西九江·模拟预测）主持人现站在舞台的一端处，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点点处方可获得最佳美学效果（），若舞台长米，则 米．（别忽视括号内的条件哟！） 10．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 11．如图，在中， 分别以点和为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点作直线分别交点和点若则的长为 ．    12．（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 13．（2025·宁夏银川·一模）如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为 ． 14．（2025·上海嘉定·二模）如图，在正方形纸片中，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么的值是 ． 15．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）点C为直线上的任意一点，以C为顶点的抛物线与直线l的另一交点为D，则线段长的为 ． 16．如图，中，，点P从A点出发沿运动到点B，连接，作，且，，连接，则线段的取值范围是 ．    三、解答题（本大题共11小题，满分88分） 17．（7分）如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知P为抛物线（不与点B重合）上的一点，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标． 18．（7分）（2025·宁夏·模拟预测）如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹． (1)以O为位似中心，在网格中作，且与的相似比为． (2)在线段BC上作点P，使． 19．（7分）（2025·江苏苏州·模拟预测）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： (1)补全调查结果的条形统计图； (2)小刚和小强分别从五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 20．（8分）（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 21．（8分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 22．（8分）（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 23．（8分）（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 24．（8分）（2025·陕西西安·模拟预测）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 25．（8分）（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 26．（9分）（2025·广东东莞·二模）某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题： (1)小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分． ①图2中弧的长为______，弧的长为______； ②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数． (2)小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长． 27．（10分）（2025·广东·一模）如图所示，抛物线交轴于两点，将在轴下方部分翻折得到抛物线，将抛物线与整体视作曲线，以下设问均不考虑抛物线在轴下方的部分． 【知识技能】 （1）直接写出抛物线的解析式； 【数学理解】 （2）记曲线交轴于点，连接，点为在上方且在曲线上的一个动点，连接，求面积的最大值； 【拓展探究】 （3）设平面内存在动直线 ①讨论并直接写出动直线与曲线的交点个数； ②若动直线与曲线有四个交点，记这四个交点的横坐标从左往右分别为，问是否存在这样的动直线，使满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第二次月考·培优卷 【苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若成立，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的基本性质，能够灵活对一个比例式进行变形是解题的关键．由比例和分式的基本性质，针对选项进行各种演变，逐一判定即可． 【详解】解：A、由已知得到，故选项符合题意； B、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； C、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； D、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象与x轴有两个交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法，二次函数图象与坐标轴的交点．把点代入函数解析式，即可求出m的值，判断A选项；根据二次函数的解析式可求出对称轴，判断B选项；求出的值，根据其正负性，判断C选项，根据二次函数的图象及性质判断D选项． 【详解】解：将代入， 得， 解得， 故A选项正确，不符合题意； 二次函数的图象的对称轴为直线， 故B选项正确，不符合题意； ， 二次函数解析式为， ， 二次函数图象与x轴没有交点， 故C选项不正确，符合题意； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y的值随x值的增大而增大， 即当时，y的值随x值的增大而增大， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，先根据定义确定的约数条件，再利用判别式求出范围即可． 【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得： 方程是一元二次方程， 二次项系数， 综上所述，且． 故选：D． 4．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：如图： 在中，，，， ， 故选D． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质． 根据正方形的性质可得，由，可设，则，证明，根据相似三角形的性质表示出，证明得到，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 由 ∵， ， ，即， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：B． 6．如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点,．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的弦、弧、圆心角的关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据在同圆中，等弦所对的弧相等可得，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例可得，根据垂直于弦的直径平分这条弦可得，推得，即可得出，，根据在同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，根据两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 则，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）用配方法解方程时，配方后得到，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 先对配方，然后与对比求得a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．一组2，，y，14中，平均数是12，唯一的众数是14，则数据的中位数是 ． 【答案】14 【分析】本题考查了平均数、中位数及众数的意义，解题的关键是熟练掌握相关概念并应用求解．先根据数据的平均数为12，得出，再根据唯一众数为14，得出或，然后按照从小到大排列即可得出答案． 【详解】解：数据，，，的平均数是， ，即， 数据，，，唯一的众数是14， 或， 当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：； 当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：； 故答案为：． 9．（2025·江西九江·模拟预测）主持人现站在舞台的一端处，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点点处方可获得最佳美学效果（），若舞台长米，则 米．（别忽视括号内的条件哟！） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用，熟记黄金分割比是解题关键．由黄金分割比列方程解答即可． 【详解】解：∵点是舞台的黄金分割点（），米， ∴依题意得，， 解得． 故答案为：． 10．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 11．如图，在中， 分别以点和为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点作直线分别交点和点若则的长为 ．    【答案】 【分析】由 可得出可知垂直平分在中，解直角三角形即可求出． 【详解】解： 由作法得垂直平分 在中， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性这些质，解直角三角形，熟练掌握这些性质是解此题的关键． 12．（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 13．（2025·宁夏银川·一模）如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正多边形和圆，连接，由题意可知为等边三角形，得到，再根据五边形为正五边形，可得，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·上海嘉定·二模）如图，在正方形纸片中，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 设，因为四边形是正方形，点E是边的中点，所以，， 由翻折得，，可证明，由勾股定理得， 求得，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：由题意可得如图所示： 设， ∵四边形是正方形，点E是边的中点， ∴，，， 由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 15．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）点C为直线上的任意一点，以C为顶点的抛物线与直线l的另一交点为D，则线段长的为 ． 【答案】 【分析】首先设点，再求出抛物线的顶点坐标，由此可得出，则抛物线的解析式为，进而再求出点D的坐标为，最后利用两点间的距离公式即可求出的长． 【详解】解：∵点C为直线上的任意一点， ∴设点C的横坐标为m，则点C的纵坐标为，即：， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点C是抛物线的顶点坐标， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 将代入上式得：， 整理得：， 即：， ∴， ∴或， 由解得：， 由解得：， 将代入，得， 将代入，得， ∴点D的坐标为， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数与二次函数的交点坐标，二次函数的顶点坐标等，熟练掌握求二次函数顶点坐标及一次函数与二次函数交点坐标的方法是解答此题的关键． 16．如图，中，，点P从A点出发沿运动到点B，连接，作，且，，连接，则线段的取值范围是 ．    【答案】 【分析】过点C作于点T，连接，过点B作于点H，，首先证明四点共圆，推出，推出点Q的运动轨迹是射线，求出，即是的最小值，当点P与B重合时，是最大值，从而可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点T，连接，过点B作于点H，    ∵， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∴点Q的运动轨迹是射线， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点Q与点H重合时，的值最小，最小值为； 如图，点P与B重合时，的值最大，最大值为，    ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了轨迹，含的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是分析出最短距离和最长距离时三角形的位置． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分） 17．（7分）如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知P为抛物线（不与点B重合）上的一点，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【分析】（）利用待定系数法求抛物线的解析式； （）先利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，由对称可得点的坐标为，将其代入抛物线的解析式即可求解． 本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称，解一元二次方程，掌握待定系数法求函数解析式及关于轴对称的点坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 由（）中得，点的坐标为， 将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 解得，， 又∵点不与点重合， ， ， ∴点的坐标为． 18．（7分）（2025·宁夏·模拟预测）如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹． (1)以O为位似中心，在网格中作，且与的相似比为． (2)在线段BC上作点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）延长到使，延长到使，延长到使，则满足条件； （2）点向右4格的点与点向左2格点连接起来与交点即为点P，此时根据平行可得，即得到． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图，点P即为所求． 19．（7分）（2025·江苏苏州·模拟预测）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： (1)补全调查结果的条形统计图； (2)小刚和小强分别从五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息识别，用树状图或列表求概率，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据条形统计图和扇形统计图的信息得到总的人数，再根据圆心角的所占比例算出结果即可补全条形统计图； （2）审清题意可知，列出树状图得到结果即可； 【详解】（1）解：由题意可得： 总的人数为：（人） 选厨艺的人数为：（人） 选园艺的人数为；（人） （2）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A，B，C，D，E，画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种， ∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 20．（8分）（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质可得，然后利用三线合一得出，证明，求出即可； （2）先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据垂径定理和勾股定理求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：如图，设与交于点E， ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，垂径定理和勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 21．（8分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)， (3)存在， 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究． （1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据“”点的定义判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而可得答案； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可． 【详解】（1）解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是； （2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； （3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 22．（8分）（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在中，求出即可解决问题； （2）延长交与点，可得，在中，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    由题意可知，四边形是矩形， ，， 在中， ， ， ， 支柱的高为 ． （2）延长交与点，可得，    由题意可知，四边形是矩形， ， ． ， 在中， ， ， ， 顶棚处离地面的高度约为 ． 23．（8分）（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可； （2）连接，首先得到，然后得到，推出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是5． 【点睛】此题考查了垂径定理的推论，角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24．（8分）（2025·陕西西安·模拟预测）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求解即可． （2）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求出解析式，再令，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，灯带的最低点距离钢丝米， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． （2）解：∵米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同）， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 令，则， ∴O与C的距离是． 25．（8分）（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． （）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得； （）由平行线的性质可得，，又平分，则有，证明，，即可得结论； （）证明，即可得，又由可得，从而，由，可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又由（）可得， ∴， 由（）知， ∴． 26．（9分）（2025·广东东莞·二模）某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题： (1)小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分． ①图2中弧的长为______，弧的长为______； ②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数． (2)小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长． 【答案】(1)①，；②12，； (2)正方形纸片的边长为． 【分析】（1）①直接根据圆的周长公式计算； ②设它所对的圆心角的度数为，根据弧长公式得到的长，的长，然后把它们相比即可得到，得，加上，可求得，再利用弧长公式得到，于是可求出； （2）如图4，连接，，它们相交于点，先证明为等边三角形得到，再证明得到，则，于是可判断垂直平分，所以，由勾股定理计算出，由为等腰直角三角形和得到，则，然后根据正方形的性质得． 【详解】（1）解：①杯口圆的半径为，杯底圆的半径为， ，， 故答案为，； ②证明：设它所对的圆心角的度数为， 的长，的长， 所以， ， 而， 解得， 即， 因为， 解得； （2）解：如图4，连接，，它们相交于点， 四边形为正方形， ，， ，， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 即正方形纸片的边长为． 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的有关性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，记住弧长公式；学会把几何题展开成平面图形的方法解决几何体的问题． 27．（10分）（2025·广东·一模）如图所示，抛物线交轴于两点，将在轴下方部分翻折得到抛物线，将抛物线与整体视作曲线，以下设问均不考虑抛物线在轴下方的部分． 【知识技能】 （1）直接写出抛物线的解析式； 【数学理解】 （2）记曲线交轴于点，连接，点为在上方且在曲线上的一个动点，连接，求面积的最大值； 【拓展探究】 （3）设平面内存在动直线 ①讨论并直接写出动直线与曲线的交点个数； ②若动直线与曲线有四个交点，记这四个交点的横坐标从左往右分别为，问是否存在这样的动直线，使满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）①当或时有2个交点；当时有4个交点；当时有3个交点 ②不存在这样的，理由见解析 【分析】（1）先求出的顶点是，结合即可求解； （2）作交于点Q，求出，设，则，可得，记边上的高为，则，记边上的高为，则，根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）①根据函数图象解答即可； ②令，可求得，令，可求得，代入求出n的值，结合n的取值范围即可求解． 【详解】（1）∵ ∴的顶点是 ∴的顶点是 （2）作交于点Q，如图所示 设     依题可知 则     解得        ∴ 设，则 ∴ 记边上的高为，则，记边上的高为，则 ∴ 可知为关于的二次函数，其最大值在对称轴处取得 ∴最大值为 （3）①当或时有2个交点   当时有4个交点 当时有3个交点   ②令，即 解得 同理令，即     解得 若，即 即，即     ∴ 由①可知，若动直线与曲线有四个交点，则有     ∴不存在这样的使得 【点睛】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与几何综合，二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解答本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $