24 指数函数与对数函数常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2025年11月刊

中学生款理化餐集贺翠被方德车1月 指数函数与对数函数常见典型考题赏析 ■张文伟 ■邵长军 题型二：指数函数图像的应用 题型一：指数幂的运算 指数函数的图像要注意底数a与1的大 指数幂运算的几个性质：同底数幂相乘， 小关系，当a>1时，指数函数呈现增长态势， 底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不 如指数函数y=2是逐渐上升的曲线；当 变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相 0<a<1时，指数函数呈现衰减态势，如指数 乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘 函数y=0.5的图像是逐渐下降的曲线。特 方，再把所得的幂相乘；所有数（除零外）的零 别地，当底数a与1的大小关系不确定时，应 次幂等于1；一个数的一n次幂等于这个数的 注意分类讨论。 n次幂的倒数。 例2（多选题）已知实数a,b满足等式 计算：(66》°-2×(2》 3“=6,则下列关系式可能成立的为( )。 例1 A.a=b B.0<b<a 2x(2+元)°+（传）。 C.a<b<0 D.0<a<b 解：在同一平面直角坐标系中，分别画出 解：原式= ()-2×（ 函数y=3和y=6的图像，如图1所示。 y=3 ()-[(2)]-2×[)]1 2十16 9一2× -2+16= 9 9 16 16 跟踪训练1：（多选题）下列计算正确的 y=m 是( )。 -1O1 A./-3)=/3 图1 Ba6)(-3a6÷(gaw) 由图可知，当a=b=0时，3“=6=1，A 9a(a>0,b>0) 正确。作出直线y=k,当k>1时，若3“= C.√丽=5 6=k,则0<b<a,B正确。作出直线y= m,当0<m1时，若3=6=m,则a<b D.已知x2十x2=2,则x十x-1=2 0,C正确。当0<a<b时，易得2>1，则 提示：对于A,/-3)=93=3= 3“3<2·3=6,显然不成立，D错误。 3=3≠-3，A错误。对于B,(ab7)· 21 应选ABC。 （3a6)÷(Gaw)=-a片. 跟踪训练2：（多选题）已知函数f(x)= a一b(a>0且a≠1，b≠0)的图像不经过第 三象限，则a,b的取值范固可能为()。 一9a(a>0,b>0),B正确。对于 A.0<a<1,b<0 C,√丽=√0=9=3-=，C正确。对于 B.0<a<1,0<b≤1 D,因为(x十x1)=x2十2十x2=4,所以 C.a>1,b<0 x十x1=士2，D错误。应选BC。 D.a>1,0b1 42 高一数学经典是方清中学生款理化 提示：若0一a1,则函数y=a的图像 增函数，可得p:{x|x<0}。对于不等式 如图2所示。 2+1<x+2,作出函数y=2+1与y=x+2 的图像，如图4所示。 =X+2 图2 图3 要使f(x)=a一b的图像不经过第三 -10 象限，需要向上平移或向下平移不超过1个 图4 单位长度，则一b>0或一1≤一b<0,解得 由图可知，不等式2+1<x十2的解集为 b<0或0<b≤1，A,B正确。若a>1,则函 {x|-1<x<0},可得q:{x一1<x<0}。 数y=a的图像如图3所示，要使f(x)= 因为{x一1<x<0}三{x|x<0},所以 a一b的图像不经过第三象限，需要向上平 p是q的必要不充分条件。应选B。 移，且满足一b>0,解得b<0,C正确，D错 题型四：指数函数性质的应用 误。应选ABC。 指数函数y=a的单调性：当a>1时， 题型三：比较指数式的大小、解简单的指 函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递 数方程或不等式 减。求解与指数函数有关的复合函数问题， 利用指数函数的性质比较大小，最重要 要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区 的是“同底”原则，借助中间量也可以比较大 间、最值等问题时，要借助“同增异减”的法则 小。解简单的指数方程或不等式的关键是指 进行分析与判断。 数函数的单调性和奇偶性的灵活应用。 例3已知a=1.3,b=（3》 4 一0.1 例4已知函数f(x)=8十a·2 C a·4r2(a为 常数，且a≠0，a∈R)是奇函数。 (经)则 ）。 (1)求a的值。 A.c<b<a B.a<b<c (2)若Hx∈[1,2]，都有f(2x)一 C.c<a<b D.b<c<a mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围。 解：已知a=1.3>1.3°=1，b= 解：1已知f(x)=日·2十之.因为 ()“-(保)“c=(任)。因为指数函 f(x)是奇函数，所以f(-x)=一f(x),即 数y=() 是减函数，所以()<() ·是+=-（日2+》，所以 a·2 <(保)广=1，所以b<c<1,所以b<c<a (日+1)(2+2)=0，所以2+1=0，解得 应选D。 a=-1。 跟踪训练3：已知命题p:a<1(a>1), (2)由(1D知a=-1,所以f(x)=2 q:2+1一x<2,则p是q的()。 2,x∈[1,2]。因为f(2x)-mf(x)≥0，所 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 以克-2*≥n(侵-2）所以m≥士+2。 C.充要条件 x∈[1,2]。令t=2,t∈[2,4]。设g(t)= D.既不充分也不必要条件 提示：已知a*<1,当a>1时，y=a是 1+}4∈[2,41。因为g)=1十在[2,4 43 中学生款理化餐典李酸方蓝年月 上单渭透增，所以m≥g(4)=4十片-只，所 将不同底的对数式转化成同底的对数，要注 意换底公式的正用、逆用及变形应用。 以实数m的取值范围 [+) 例5 已知了=5=m,且2+名=2，则 a 跟踪训练4：(1)（多选题）已知函数 实数m的值为 f(x)= 。+,则下列结论正确的是( e-1 )。 解：由3“=5=m,可知m>0,显然m≠ A.函数f(x)的定义域为R 1,则a=1ogm=1gm 之 B.函数f(x)的值域为（一1,1） 以1=1g3,11g5 C.函数f(x)是奇函数 a1gm·b1g2。☒为 +1=1,所 D.函数f(x)为减函数 以21g3+1g5_1g45 (2)若函数f(x)=a(a>0,且a≠1)在 1g m 1g m =1ogn45=2,所以m”= 区间[1,2]上的最大值比最小值大号，则a的 45。由m>0知m=√45。 值为 跟踪训练5：若a>0,a-号，则1og20 提示：(1)因为e>0,所以e十1≠0，所 等于( )。 以函数f(x)的定义域为R,A正确。函数 A.2 B.3 C.4 D.5 2 f(x)三e=1一+7’由e>0,可得 e+1 提示：由a导 可得。-（）”。因为 4 e+1>1,所以0<1 <1,所以一2< a>0,所以a= ,所以1oga=log() e+1 2 <0,所以-1<1 e+1<1,所以函 2 =3。 应选B。 e+1 题型六：对数函数图像的应用 数f(x)的值域为（一1,1），B正确。因为 在识别函数图像时，要善于利用函数的 1 性质及函数图像上的特殊点（与坐标轴的交 -1 f(-x)=e- -e 1-e -f(x), 点、最高点，最低点等)，排除不符合要求的选 e*+1 1+e +1 e 项。涉及对数方程、不等式问题，可转化为相 所以函数f(x)是奇函数，C正确。因为y= 应的函数图像，利用数形结合法求解。 例6(1)已知函数f(x)=1og。(2十 。十1是增函数，所以y=一2是减函数，所 e"+1 b-1)(a>0且a≠1)的大致图像如图5所 以y=一2是增函数，所以f(x)=一」 示，则a,b满足的关系是( )。 e+1 e*+1 2 =1 e十是增函数，D不正确。应选ABC。 (2)当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上 单调递增，由题意得f(2)一f(1)=a一a= 号解得a=2成a=0(舍去)。当0<a<1 图5 时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，由题 A.0<a1<b<1B.0<b<a1<1 意得f)-f(2)=a-a=受，解得a=2或 1 C.0<bl<a<1D.0<a1<b1<1 (2)已知函数f(x)=|1ogx|,若a<b, a=0(台去).综上所述a号或a宁 且f(a)=f(b),则a十4b的取值范围是 题型五：对数式的运算 ( )。 对数式运算的关键是换底公式的应用， A.[2√2，+o∞) B.(2√2，+∞) 44 高一数学是酸方清中学生教理化 经典题突破方法 C.[5,+∞) D.(5,+o∞) 函数的图像得a>1,则0<上<1，即函数 解：(1)由函数图像可知，f(x)为增函 a 数，则a>1。因为函数图像与y轴的交点坐 g(x)在(0，十∞)上单调递减，C正确。对于 标为(0，logb),且-1<1og.b<0,所以 1∠ D,由指数函数的图像得a>1,则0<上<1， a b<1。综上可得，0<a1<b<1。应选A。 即函数g(x)在(0，十∞)上单调递减，D错 (2)画出函数f(x)=1ogx|的图像，如 误。应选C。 图6所示。 题型七：对数函数性质的应用 对数函数y=logx的单调性：当a>1 时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调 递诚。求与对数函数有关的函数值域或复合 函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是 b 定义域，二是底数与1的大小关系，三是复合 图6 函数的构成。 因为a<b,且f(a)=f(b),所以 例7设函数f(x)=ln2x十1一 -1og:a=1ogb,即1=b,且0<a<1。令函 ln2x-1|,则f(x)( ）。 a A,是偶函数，且在（分，十）上单调递增 数y=a十4h,则y=a十专。由对钩函数的 B.是奇函数，且在(-，2)上单调递减 性质知y=a十4在(0,1)上单调递减，所以 C是偶函数，且在(-0，一)上单调 y=a+吾>1+-5，所以a十仙的值范 递增 围是(5，十∞)。应选D。 跟踪训练6：我国著名数学家华罗庚先 D.是奇函数，且在(-∞，-2)上单调 生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难人微， 递诚 数形结合百般好，隔离分家万事休。”在数学 解：由f(x)=ln2x+1|-l1nl2x-1|, 的学习和研究中，常用函数的图像来研究函 可得f(x)的定义城为：x≠士}，且关于 数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数 的图像特征，则函数f(x)=a与g(x)= 坐标原点对称。由f(一x)=1n|1一2x| log1x(a>0且a≠1)在同一坐标系中的大 lnl-2x-1|=ln2x-1|-ln|2x+1|= 一f(x),可得f(x)是定义域上的奇函数，排 致图像是( 除A,C,当xe(名号)时函数fx) 1n(2x+1)-1n(1-2x),由y=ln(2x+1)在 (-2,)上单调递增，y=1n(1-2x)在 提示：对于A,由指数函数的图像得a> (一2,2)上单调递减，可得函数f(x)在 1,则0<1<1，即函数g(x)在(0，+∞)上 a (-,)上单调递增，排除B。当x∈ 单调递减，A错误。对于B,由指数函数的图 像得0<a<1,则上>1，即函数g(x)在(0， (-,-2)时，函数fx)=ln(-2x-1) n1-2x)=n2-1n+2z2）,由 2x+1 十∞)上单调递增，B错误。对于C,由指数 45 中学生数理化餐塞翠破方清车山月 u=1+2在(，-）上单调递减， 较大小，有时可以简化比较的步嚎，也有一些 题目需要选择特殊的常数对所比较的数值进 f(u)=lnu在(0，十∞)上单调递增，结合复 行估计。 合函数单调性知f(x)在(-○，一2)上单调 例8 设a(告)b-(传)产c=(侵). 递减，D正确。应选D。 则a,b,c的大小关系是( )。 跟踪训练7：(1)已知函数f(x)= A.ac-b B.ab>c log(x’一2x)在(a,十∞)上单调递增，则a C.c>b>a D.b>c>a 的取值范围是( o A.[2,+o∞) B.[1,+o∞) 解：因为函数y=(兮)为增函数，所以 C.(-o∞，1] D.(-∞，0] (2)若函数f(x)=log。x2-2ax十 ()<(传)，即a<b。又因为幂函数y 2a一1)有最大值，则a的取值范围为( 5 为增函数，所以（）广<() ,即b<c, 所以c>b>a。 A(o,) B(经) 应选C。 跟踪训练8：设a=e",b=ln√2一 c(层》 D.(1,2) 1n3,c=元，则a,b,c的大小关系 3 提示：(1)由x2一2x>0,可得定义域为 是( )。 x∈(-∞，0)U(2,十∞)。因为函数y= A.a>c>b B.c>a>b x2一2x的对称轴为x=1,所以函数y=x2 C.c>b>a D.a>b>c 2x在（一∞，1）上单调递减，在(1，十∞)上单 调递增。根据复合函数“同增异减”的法则得 提示：因为6=ng-寻n8-2 2 3 函数∫(x)的单调递增区间为(2，十∞)。又 8 函数f(x)在(a,十∞)上单调递增，所以a∈ 3ln2-21n3 [2,十∞)。应选A。 6 ln9n1=0,而a=-e> 6 6 (2)令t=x-2ax+8a-1。根据复合 0,c=元>0，所以b最小。又1na=lne= 函数的单调性，要使函数∫(x)= L<1 。lnc=ln元=1n元之，所以lnc e 1og.(k一2ax十多a-)有最大值，需满足函 5 lna,所以c>a,所以c>a>b。应选B。 题型九：利用指数、对数及幂的运算性质 5 数t=x-2ax十2a-1有最小正值，且函 比较大小 数f(t)=log.t为减函数，所以0a<1。要 若两个指数或对数的底数相同，则可通 使函数t=x2-2a.x+ a一1有最小正值， 过真数的大小与指数函数、对数函数的单调 性判断出指数或对数的大小关系，同时要熟 需满足△=4一4（a-1)<0,解得< 练运用指数、对数的运算公式和性质，尽量将 比较的对象转化为某一部分相同的形式。 a<2。综上可得，a的取值范围为(2,1小 例9(1)设a=1og2,b=1og123,c= 应选B。 1ogo5,则( )。 题型八：直接法比较指数、对数、幂的大小 A.a<b<c B.b<a<c 在指数、对数中，通常可优先选择“一1， C.c<a<b D.a<c<b 1 (2)已知a=0.8.1,b=l0g:3,c=1ogs5, 0,21”对所比较的数进行划分，然后进行比 则( )。 46 高一数学经典是方清中学生款理化 A.a<b<c B.b<c<a 数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否 C.c<b<a D.a<c<b 有交点来判断零点所在的区间 解：(1)由 1 =1oga12=1+1og:4=1十 例10方程ln工一。十1=0的根所在 x 1g4 21g2 1 的区间是( )。(参考数据：ln2≈0.69) 1g31+1g3, =1og40=1+1og8=1十 A.(1,2) B.(2,e) ,5=1+3g2 ,可得 11_21g2_31g2 C.(e,3) D.(3,4) 1g5 bc-183 1g5 21g2×1g5-31g2×1g31g2(21g5-31g3) 解：对于方程n工一￡十1=0，由x>0, 1g3×1g5 1g3×1g5 可得x+lnx一e=0。令函数f(x)=x十 1g2se22<0,所以名<是.由 1g3×1g5 lnx一e,其中x>0。因为函数y=x一e和 y=lnx在(0，十∞)上单调递增，所以函数 b>0c>0.可得b>c。由2=1+10g,8<1 f(x)在(0，十)上单调递增。 十logV5-1+10g5-号，可得c>号 由f(1)=1-e<0,f(2)=2+ln2-e< 0,f(e)=1>0,可得f(2)f(e)<0,结合函数 --log26=1+log23>1+log2√8=1+ 零点存在定理可知，函数∫(x)的零点在区间 1oR2-多，可得a<号，所以a<c所以 5 （2,e)内，则方程-三十1=0的根所在的 x 区间是(2，e)。应选B。 acb。应选D。 跟踪训练10：(1)若a<b<c,则函数 b (2)由 log:3 lg3×1g8 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+ c logs5 (1g5)9 (x一c)(x一a)的两个零点分别位于区间 1g3+1g8)(1g24) lg241 \1g25 1,可得 ()。 4(1g5) (1g25) b<c。因为c<1<a=0.8o.1,所以b<c< A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞，a)和(a,b)内 a。应选B。 C.(b,c)和(c,十∞)内 跟踪训练9：已知x,y,之为正数，且2= D.(-∞，a)和(c,十∞)内 3”=5,则()。 (2)已知函数f(x)=log2x十2一6，函 A.3y2x<5 B.2x<3y<5 数f(x)的零点所在的区间为(n,n十1)且 C.3y<5x<2x D.53<2x<3y n∈N,则n=。 提示：令2=3=5=k(k>1),则x= 提示：(1)函数y=f(x)是图像开口向 1og:k,y=logk,之=1ogk,所以2=21o8k 上的二次函数，最多有两个零点。由a<b< 3y 3log:k c,可得a一b<0,a一c<0,b一c<0,所以 21gk 1g 3 1g2 =1g9>1,所以2x>3y。又 31g k 1g 8 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b 2z_210gk-21gk.g5=g25<1,所以 -a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0。所以 5 5log;k 1g 2 51g k 1g 32 f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,所以f(x)在 2x<5x,所以3y<2x<5x。应选A。 区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点。应 题型十：函数零点所在区间的判断 选A。 利用函数零点存在定理判断零点所在的 (2)函数f(x)=1og2x+2-6的定义域 区间，先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的 为(0，十∞)，且在(0，十∞)上单调递增。因 图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)< 为f(2)=log22+2-6=-1<0,f(3)= 0,若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必 1og3+23-6=1og3+2>0,所以f(2)f(3) 有零点。也可以利用数形结合法，通过画函 <0,所以函数f(x)的唯一零点在(2,3)内， 47 中学生数理化高数学202年1月 经典题突破方法 所以n=2。 A.(o,) B(0,) 题型十一：函数零点个数的判断 判断函数零点个数的三种方法：直接法， C.(-∞，0) n.(停t∞) 令f(x)=0,方程有多少个不同的实数根，则 ∫(x)有多少个零点；定理法，利用函数零点 解：令f(x)=3*-1十ax =0,可得a= x 存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇 偶性等；图像法，一般是把函数拆分为两个简 设函数g2)=3-},其中x6 3*一1 单函数，依据两个函数图像的交点个数得出 （一∞，一1)。若存在x。∈(-∞，一1)，使得 函数的零点个数。 f(x)=0,则实数a的取值范围即为函数 x2-1,x0, g(x)在(-∞，-1)上的值域。 例11函数f(x)= 的 x-2+Inx,>0 因为函数y=3和y=一是在区间 零点个数为()。 A.5B.4C.3D.2 (一∞，一1)上单调递增，所以函数g(x)在 解：当x≤0时，由x2一1=0，解得x= (一∞，一1)上单调递增。所以当x∈（一∞， -1。当x>0时，f(x)=x-2+lnx在(0， ←1)时，g(z)=31之g(-1)=31+1 +∞)上单调递增，且f(1)=1一2+1n1= -1<0,f(2)=2-2+ln2=ln2>0,所以 3。又当x∈(-∞，-1)时，g(x)=3- 4 f(1)f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2) >0,所以函数g(x)在（一∞，一1）上的值域 上必有一个零点。综上可得，函数f(x)的零 为(0，号)，故实数a的取值范国是(0，) 点个数为2。应选D。 应选B。 跟踪训练11：函数f(x)=√36一x· 跟踪训练12：函数f(x)=2 a log:x+ cosx的零点个数为一。 提示：由36一x2≥0，解得一6≤x≤6，所 a·4十3在区间（受1）上有零点，则实数a 以f(x)的定义域为[一6,6]。令f(x)=0 的取值范围是 得36-x2=0或c0sx=0。由36-x2=0得 提示：当a=0时，f(x)=3,不符合题意。 x=士6。由c0sx=0得x=2十kt,k∈Z, 当a>0时，函数y=2alog2x和y=a·4十3 结合x[一6,6]得x的取值为-警，-三 在(})上均单调递增，所以函数f(x)在 受，。综上得函数f(x)共有6个零点. (合，1)上单调递增。当a<0时，函数y- 题型十二：根据函数零点的范围求参数 2 alog和y=a·+3在（号，1）上均单调 的值（范围） 递减，所以函数了(x)在（分，1上单调递减。 解答这类问题的两种常用方法：直接法， 根据题设条件构建关于参数的不等式（组）， 又函数了(x)在区间（合，1）上有零点，所 通过解不等式确定参数的值（范围）；分离参 数法，先将参数分离，再转化为求函数的值 以f(分)f(1)<0,即3(4a+3)<0,解得 域，从而确定参数的值（范围）。 a<- 例12已知函数f(x)=3-1+a工，若 是，即实数a∈(-，-）： 作者单位：1.河南省开封高级中学 存在x。∈(-∞，一1)，使得f(x)=0,则实 2.深圳市富源学校 数a的取值范围是( ）。 (责任编辑郭正华) 48