15 抽象函数模型分类聚焦&16 巧妙应用指数函数、对数函数的单调性解题-《中学生数理化》高一数学2025年11月刊

高一数学细阳售种与相骨中学生最理化 抽象涵数模型分类聚焦 ■何敏 模型一：过原点的直线型函数（正比例型） B.函数f(x)有对称中心(0,4) 例1f(x)对任意x,y∈R总有f(x十 C.函数g(x)为奇函数 y)=f(x)十f(y),当x<0时，f(x)<0, D.函数g(x)为减函数 ,则下列命题正确的是()。 f(1)=1 解：利用赋值法，结合函数的奇偶性、对 称性即可判断。对任意实数x,y,都有 A.f(x)是偶函数 f(x+y)=f(x)+f(y)-4,令x=y=0,则 B.(x)是R上的减函数 f(0)=f(0)十f(0)-4,即f(0)=4。令x C.f(x)在[一6,6]上的最小值为一2 =2023,y=-2023,则f(0)=f(2023)十 D.若f(x)十f(x一3)≥一1，则实数x f(-2023)-4,即f(2023)+f(-2023)= 的取值范围为[3，十∞) 8,A正确。令y=一x,则f(0)=f(x)十 解：利用赋值法得到奇函数，再利用题设 f(-x)一4，即f(x)十f(一x)=8,则f(x) 探究单调性，进而求解函数不等式。 有对称中心(0,4)，B正确。由g(x)=∫(x) 令x=0,y=0,则f(0)=f(0)十f(0), -4,可得g(x)十g(-x)=f(x)-4十 解得f(0)=0。令y=一x,则f(0)=f(x) f(一x)一4=0，即g(x)是奇函数，C正确。 十f(一x),即一f(x)=(一x),所以函数 对任意y∈R,x>0,可得x十y>y。当x f(x)是奇函数，A错误。设x1,x2∈R,且x1 0时，f(x)>4,则f(x+y)一f(y)=f(x) <x2,即x1一x2<0,因为当x<0时，f(x) 一4>0，所以f(x)单调递增，即g(x)单调递 <0,所以f(x1-x2)<0,所以f(x1) 增，D错误。应选ABC。 f(x2)=f(x1)十f(-x2)=f(x1-x2)<0, 聚焦：函数f(x)对任意x,y∈R,都有 即f(x1)<f(x2),所以f(x)是R上的增函 f(x+y)=f(x)十f(y)士b,则函数f(x) 数，B错误。因为f(x)是R上的增函数，所 以f(x)在[一6,6]上的最小值为f(一6)。 的对称中心为0，士合） 因为f(-6)=f(-3)+f(-3)=2f(-3), 模型三：一元二次型函数 f(-3)=-f(3),f(3)=f(2)十f(1)= 例3已知函数f(x)的定义域为R,满 3f(1)=1,所以f(一6)=-2，所以f(x)在 足f(x十y)+2xy=f(x)+f(y),且f(1) [一6,6]上的最小值为一2，C正确。由∫(x) =2,则下列说法不正确的是( )。 十f(x-3)≥-1，可得f(2x-3)≥f(-3)。 A.f(0)=0 因为f(x)是R上的增函数，所以2x一3≥ B.f(-2)=-10 一3，可得x≥0，即实数x的取值范围为[0， C.y=f(x)十x2是奇函数 十∞)，D不正确。应选C。 D.y=∫(x)一x是偶函数 聚焦：赋值法是判断抽象函数奇偶性的 解：利用赋值法，结合函数的奇偶性即可 常用方法。 判断。令x=y=0,可得f(0)=0,A正确。 模型二：不过原点的直线型函数 令x=y=1得f(2)+2=2f(1),即f(2)= 例2（多选题）设函数f(x)满足：对任 2,令x=-2,y=2得f(0)-8=f(2)十 意实数x,y都有f(x十y)=(x)十f(y)- (一2)，即（一2）=一10，B正确。由 4,且当x>0时，f(x)>4。设g(x)=f(x) f(x+y)+2xy=f(x)+f(y),可得f(x+ 一4，则下列命题正确的是()。 y)+(x+y)=f(x)+x2+f(y)十y2,令 A.f(-2023)+f(2023)=8 g(x)=f(x)十x2,则g(x十y)=g(x)十 23 中学生款理化架皱掉与新车1月 g(y),令x=y=0得g(0)=0,令y=-x =f(x1-x2)+(x1-x2)(x十x员-2x1x2) 得g(0)=g(x)十g(一x)=0,所以g(x)是 =f(x1-x2)十(x1-x2)3。由Hx>0, 奇函数，即y=f(x)十x是奇函数，C正确。 f(x)十x3>0,x1-x2>0,可得f(x1-x2) 因为f(2)=2,f(-2)=-10,所以f(2) 十(x1-x2)>0,即h(x1)-h(x2)>0,也即 22≠f(一2)一(-2)，所以y=f(x)一x2不 h(x1)>h(x2),故函数y=h(x)在R上单调 是偶函数，D不正确。应选D。 递增，即y=f(x)十x3在R上单调递增，D 聚焦：由一元二次型抽象函数∫(x)对任 正确。应选ABD。 意x,y∈R,满足f(x十y)十2xy=f(x)+ 聚焦：研究一元三次型抽象函数的性质， f(y)的特征，对条件变形构造函数g(x)= 利用赋值法探究奇偶性；判断单调性时，若不 f(x)十x,从而得到y=f(x)十x2是奇函 成立则举反例即可，若成立则需借助单调性 数，y=∫(x)一x不是偶函数。 定义和题设的对应法则验证。 模型四：一元三次型函数 例4（多选题）已知定义在R上的函数 感悟与 f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y) 已知函数y=f(x)的定义域为（一∞， 3xy(x十y),则下列结论正确的是()。 0)U(0,十∞)，且满足f(xy)=f(x)十 A.y=f(x)是奇函数 f(y)-1。 B.若f(1)=1,则f(一2)=4 (1)判断函数f(x)的奇偶性并证明。 C.若f(1)=一1，则y=f(x)+x为增 函数 (2)若f2)=子求f1020的值. D.若Hx>0,f(x)十x3>0,则y= (3)当x>1时，f(x)<1,解不等式 f(x)十x3为增函数 f(2x+1)>1。 解：利用赋值法，结合函数的奇偶性、单 提示：(1)令x=1,y=1,则f(1)=1;令 调性即可判断。对于A,函数f(x)的定义域 x=-1,y=-1,则f(-1)=1;令y=-1, 为R,即定义域关于原点对称。令x=y=0, 则f(一x)=f(x)。因为x∈（一∞，0）U 可得f(0)=2f(0),解得f(0)=0。令y= (0,十∞)，所以y=f(x)(x≠0)为偶函数。 -x,可得f(0)=f(x)+f(-x),即f(x) (2)因为f(xy)=f(x)+f(y)一1，所 十f(一x)=0,所以y=f(x)是奇函数，A正 以f(1024)=f(21)=f(2")+f(2)-1= 确。对于B,令x=y=1,可得f(2)=2f(1) f(2*)+2f(2)-2=f(2)+3f(2)-3= -3×2=2f(1)-6,结合f(1)=1得f(2) =10f(2)-9=-4。 =2×1一6=-4。由A知y=f(x)为奇函 (3)任取x1,x2∈(0，十∞)，设x1<x2, 数，所以f(一2)=一f(2)=4,B正确。对于 则>1，所以fx:)=f(x)+f(任)-1< C,由f(0)=0,f(1)=-1,结合y=f(x)+ x3得y=f(0)+0=0(令x=0),y=f(1)+ f(x1),所以y=f(x)(x≠0)在(0，+∞)上为 1=0(令x=1),所以y=f(x)十x3不是单 诚函数。由(1)知y=f(x)(x≠0)为偶函数， 调增函数（取f(1)=一1时），C错误。对于 且f(1)=1,所以f(2x+1)>1等价于f(|2x D,在R上任取x1>x2,令h(x)=f(x)+ 十1)>f(1),所以|2x十1<1，解得一1< x3,则h(x1)一h(x2)=f(x1)十x-f(x2) x<0。又y=f(x)的定义域为(-∞，0)U(0, -x=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)+(x1 十○)，即2x十1≠0，所以x≠-2， 故原不等 x,)(x1十x十x1xg)=f(x1一x2)+f(x,)一 3(x1一x2)x2[(x1-x2)+x2]-f(x2)十 式的解集为(-1，-)U(-20)。 (x1一x2)(x1十x十x1x2)=f(x1一x2) 作者单位：陕西省洋县中学 3x1x2(x1-x2)十(x1一x2)(x员十x十x1x2) (责任编辑王琼霞) 24 高一数学识核构气屑中学生表理化 巧妙应用指数函数、对数函数的单调性解题 ■曹文钊 三、利用单调性解不等式 函数的单调性即函数的增减性，是函数 3e1,x<2, 例3设函数f(x)= 独有的性质。函数的单调性应用十分广泛， 1og(.x2-1),x≥2， 在解方程和不等式问题时，灵活运用函数的 则不等式f(x)<3的解集为。 单调性，可以达到事半功倍的效果。 解：已知不等式f(x)<3,当x<2时，可 一、利用单调性解方程 x2, 例1解方程ln(x一1)十e-2一1=0。 得 解得x<1;当x≥2时，可得 3e-1<3, 解：方程ln(x一1)十e2-1=0是超越 x2, 方程，不能直接解出，可构造函数求解。构造 解得2≤x<3。综上得不 {log2(.x2-1)<3, 函数g(x)=ln(x一1)+e-1,函数g(x) 等式f(x)<3的解集为(-∞，1)U[2,3)。 是由y1=1n(.x-1),y2=e-2,y=一1这三 点评：处理指数不等式或对数不等式，常 个函数构成的，前两个函数都是增函数，最后 化为同底数的形式，利用指数函数或对数函 一个函数是常数函数。由复合函数的单调 数的单调性求解，但要注意对数的真数大于 性，可知函数g(x)=ln(x一1)十e-1在 零这一隐含条件。 定义域内是增函数。观察得g(2)=0,结合 四、利用单调性比较大小 函数的单调性知方程1ln(x-1)十e-2一1=0 例4已知实数a,b,满足a=log6十 只有一个解，即x=2。 1og2625,3十4“=5，则关于a,b下列判断正 点评：单调函数是一一对应函数，已知 确的是()。 f(x)在定义域D上是单调函数，若a∈D, A.a<b<2 B.b<a<2 f(x)=f(a),则x=a。 C.2<a<b D.2<ba 二、利用单调性求值 解：a=1og:6+1og2s25>1og:6+1ogs25 例2已知x1满足3十3x=4,x2满足 1 1 3=3x一5，则x1十x2=( =log;6+ 10g6>2√1og:6·1og6 =2,即 )。 A.2 B.3 a>2.由十-5两边同除以5得（停）】 C.4 D.前三个答案都不对 3+3x1=4, 解：由题意得 整理得 +()广=5。构造函数f(x)=(停)广+ 33-=3x2-5, /31=4-3x1, (传)广，x∈R,易知f(x)是R上的减函数，且 所以x=x1与x=3 3-=4-3(3-x2), f(2)=1。由a>2,可得f(a)<f(2)=1,即 x2都是方程3=4一3x的实数根。令函数 (得广+（号）扩广<1，也即5<1，所以b-a< f(x)=3十3x一4，显然f(x)在R上单调递 0,则a>b。又5=3“十4°>32+42=25，所 增。因为f(0)=-3<0,f(1)=2>0,所以 以b>2,所以a>b>2。应选D。 f(0)f(1)<0。由零点存在定理可知，存在 点评：由3十4“=5，构造函数f(x)= 唯一实数x。∈(0,1)，使得f(x。)=0,所以方 程3=4一3x有唯一的实数根x=x。,所以 (停)广+（售）广x∈R,再利用函数的单调性 x1=3一x2=x0,所以x1十xg=3。应选B。 即可求得结果 点评：解答本题的关键是构造结构相似 作者单位：陕西省汉阴县汉阴中学 的函数，利用函数的单调性求值。 (责任编辑王琼霞) 25