14 根据函数的零点个数求参数问题-《中学生数理化》高一数学2025年11月刊

高一数学以栋构气新肾中学生款理化 恨据函数的零点个数求参数▣题 ■王健 一、无零点问题 ln(x十a)的图像是由函数y=lnx的图像向 例1若函数f(x)=mx-m十1在区 右平移|a|个单位长度得到，此时在(0，十∞) 间[0,1]上无零点，则实数m的取值范围为 上y=e与g(x)的图像恒有交点，满足 ()。 条件。 A.0m1 B.m>1 综上可得，a<e,即实数a的取值范围是 C.m<0 D.m<1 (-∞，e)。 解：当m=0时，则f(x)=1,此时f(x) 评注：对于函数f(x),当a>0时，函数 无零点，符合题意；当m≠0时，令f(x)=0, f(x十a)的图像是由∫(x)的图像向左平移 可得x=m,则x=m一1<0或x=m一1 a个单位长度得到；当a<0时，函数f(x十 m 77 a)的图像是由f(x)的图像向右平移|a|个 >1,解得0m<1或m<0。 单位长度得到。 综上可知，f(x)=mx一m十1在区间 三、一个零点问题 [0,1]上无零点，则m<1。应选D。 例3函数f(x)=ax2一x一1有且仅 评注：解答本题的关键是不忽视m=0 有一个零点，则实数a的值为。 的情况。 解：对于f(x)=a.x2-x-1,当a=0 二、存在零点问题 时，f(x)=一x-1,令f(x)=0得x=-1, 例2若函数f(x)=e一ln(x十a)在 即f(x)只有一个零点为一1；当a卡0时，要 (0,十∞)上存在零点，则实数a的取值范围 使∫(x)有且仅有一个零点，则对应方程满足 为 解：由题意可知，函数y=er与g(x)= △=1十4a=0,可得a=- 4。 ln(x十a)的图像在(0，十∞)上有交点。画出 综上可得，满足条件的实数a的值为0 这两个函数的大致图像，如图1所示。 或子 评注：利用△=b2一4ac可以判断一元二 次方程根的个数，当△=0时，方程有两个相 g(x)=In(x+a) 等的实根：当△>0时，方程有两个不相等的 实根；当△<0时，方程无实根。 四、两个零点问题 …7 例4 已知函数f(x)= (x十1)2，x≤0， 函数g(x)=f(x)十2x十 In z,x>0, 图1 a,若g(x)存在两个不同的零点，则实数a 当a>0时，g(x)=ln(x十a)的图像是 的取值范围为一。 由函数y=lnx的图像向左平移a个单位长 解：作出函数 f(x)= 度得到，根据图像可知此时只需满足g(0)= 1(x十1)2，x≤0， 的大致图像，如图2所示。 lna<1,即0<a<e;当a≤0时，g(x)= In z,x>0 21 中学生数理化高数学025年1月 知识结构与拓展 令g(x)=0,可得f(x)=-2x-a,作出直 当a≥-1时，y=a与y=f(t)的图像 线y=一2x一a的大致图像（如图2）。 有两个交点。设交点的横坐标为t1,t2(不妨 设t2>t1),则t1<一1，t2≥一1。 当t1<一1时，t1=f(x)有一解；当t2≥ 一1时，t2=f(x)有两解。 综上可得，当a≥一1时，函数g(x)= f[f(x)]一a有三个不同的零点，即实数a 的取值范围是[一1，十∞)。 -2-1O/个 评注：在复合函数中，内层函数的值域是 -2 外层函数的定义域。 图2 s括易限是 若g(x)存在两个不同的零点，则f(x) 1.已知方程1gx十x一2=0的根在区间 =一2x一a有两个不同的实数根，即函数 (1,3)上，第一次用二分法求其近似解时，其 f(x)的图像与直线y=一2x一a有两个交 根所在的区间应取为 点。 提示：令f(x)=lgx+x-2,f(x)在定 当直线经过点(0,1)时，可得-a=1,即 义域内单调递增，且f(1)=一1<0，f(3)= a=一1；当直线y=-2x一a与y=(.x十1)2 1g3+1>0,f(2)=1g2>0。因为f(1)· (x≤0)的图像相切时，由x2十4x十1十a= f(2)<0,所以第一次用二分法求其近似解 0,结合△=16-4(a十1)=0得a=3。 时，其根所在的区间应取(1,2)。 由图可知，当a<一1或a=3时，直线 2.已知入∈R,函数f(x)= y=一2x一a和f(x)的图像有两个交点。 |x-4,x≥， 所以实数a的取值范围为{aa<一1或 当入=2时，不等式f(x) x2-4x十3，x<入， a=3}。 <0的解集是；若函数f(x)恰有2个零 评注：分段函数的零点个数是各段函数 零点个数之和。 点，则入的取值范围是■ 五、三个零点问题 提示：因为入=2，所以函数∫(x)= 例5已知函数f(x)= |x-4,x≥2， 当x≥2时，由x一4<0， ln(-x-1),x<-1, x2-4x+3,x<2。 若函数g(x)= 2x+1,x≥-1， 可得2x<4;当x<2时，由x2-4x十3 f[f(x)]一a有三个不同的零点，则实数a 0,可得1<x<2。综上可得，不等式的解集 的取值范围是 为{x|1<x<4}。 解：设t=f(x)。令f[f(x)]-a=0, 易知函数y=x一4(x∈R)有1个零点 则a=f(t)。在同一平面直角坐标系内画出 x1=4,函数y=x2一4x十3(.x∈R)有2个零 函数y=a和y=f(t)的图像，如图3所示。 点x2=1,x=3。在同一坐标系中作出函数 y=x-4和函数y=x2一4x+3的图像（图 V桌 略)。由图像可知，当入≤1时，函数f(x)有 1个零点；当1<入≤3时，函数f(x)有2个 零点；当3<入≤4时，函数f(x)有3个零点； y=0.2 当入>4时，函数f(x)有2个零点。 综上可得，入∈{入|1<入≤3或λ>4}。 作者单位：湖北省巴东县第三高级中学 图3 (责任编辑王琼霞) 22